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【精品试卷】2018-2019学年最新高中数学人教B版必修一3.3《幂函数》同步检测

第三章 3.3 幂函数 一、选择题 1.下列命题中正确的是( ) A.幂函数的图象不经过点(-1,1) B.幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1) C. 若幂函数 f(x)=xa 是奇函数, 则 f(x)是定义域上的增 函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 [答案] D [解析]幂函数 y=x2 经过点(-1,1),排除 A;幂函数 y =x-1 不经过点(0,0),排除 B;幂函数 y=x-1 是奇函数,但 它在定义域上不具有单调性,排除 C,故选 D. 2.函数 y=(k2-k-5)x2 是幂函数,则实数 k 的值是 ( ) A.k=3 C.k=3 或 k=-2 [答案] [解析] C 由幂函数的定义知 k2-k-5=1,即 k2-k-6 B.k=-2 D.k≠3 且 k≠-2 =0,解得 k=3 或 k=-2. 3. (2014~2015 学年度江西鹰潭一中高一上学期月考) 已知幂函数 f(x)=kx A. 1 2 α ?1 的图象过点? ?2, ? 2? ?,则 k-α=( ? ? ) B.1 D.2 C 由题意得 k=1,∴f(x)=x ,∴ α 3 C. 2 [答案] [解析] ?1? ?α 2 =? ?2? , ? ? 1 1 3 ∴22 =2-α,∴α=- ,∴k-α= . 2 2 4.(2014~2015 学年度安徽宿州市十三校高一上学期 期中测试)已知幂函数 y=(m2-5m-5)x2m+1 在(0,+∞) 上单调递减,则实数 m=( A.1 C.6 [答案] [解析] B 2 ? ?m -5m-5=1 由题意得? ? ?2m+1<0 ) B.-1 D.-1 或 6 ,解得 m=-1. 1 5.函数 y=|x| 的图象大致为( 2 ) [答案] [解析] C ? x x ≥0 1 ? y=|x|2 = |x|=? ? ? -x x<0 , 1 函数 y=|x|2 为偶函数, 其图象关于 y 轴对称, 排除 A、 1 B,又函数 y=|x|2 的图象向上凸,排除 D,故选 C. 6.如图曲线是幂函数 y=xn 在第一象限内的图象,已知 1 n 取±2,± 四个值,相应于曲线 C1、C2、C3、C4 的 n 依 2 次为( ) 1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 [答案] [解析] B 1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2 根据幂函数性质, C1 、 C2 在第一象限内为增函 数,C3、C4 在第一象限 内为减 函数,因此排除 A、C.又 1 C1 曲线下凸, 所以 C1、 C2 中 n 分别为 2、 , 然后取特殊值, 2 1 1 令 x=2,2 2 >2-2,∴C3、C4 中 n 分别取- 、-2,故选 2 - B. 二、填空题 7.(2014~2015 学年度浙江舟山中学高一上学期期中 测 试 ) 已 知 幂 函 数 y = f(x) 的 图 象 过 点 (2,8) , 则 f(x) = ______________. [答案] [解析] x3 设 f(x)=xα,∴8=2α,∴α=3.∴f(x)=x3. 8.若函数 f(x)=(2m+3)xm2-3 是幂函数,则 m 的值 为________. [答案] [解析] -1 由幂函数的定义可得,2m+3=1, 即 m=-1. 三、解答题 9.已知函数 f(x)=(m2+2m)·xm2+m-1,m 为何值 时,f(x)是 (1)正比例函数; (2)反比例函数; (3)二次函数; (4)幂函数. [解析] (1)若 f(x)为正比例函数,则 2 ? ?m +m-1=1 ? 2 ? ?m +2m≠0 ,解得 m=1. (2)若 2 ? ?m +m-1=-1 f(x)为反比例函数,则? 2 ? ?m +2m≠0 , 解得 m=-1. (3)若 2 ? ?m +m-1=2 f(x)为二次函数,则? 2 ? ?m +2m≠0 , 解得 m= -1± 13 . 2 (4)若 f(x)为幂函数,则 m2+2m=1, 解得 m=-1± 2. 1 - x3-x 3 1 1 - x3+x 3 5 1 10.已知函数 f(x)= 5 ,g(x)= . (1)证明 f(x)是奇函数,并求函数 f(x)的单调区间; (2)分别计算 f(4)-5f(2)g(2)和 f(9)-5f(3)g(3)的值, 由此概括出 f(x)和 g(x)对所有不等于零的实数 x 都成立的一 个等式,并加以证明. [解析] ∞), ∴定义域关于原点对称. (1)∵函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+ 1 x 又∵f(-x)= 1 - x3-x 3 1 3 5 x - 1 3 =- 5 =-f(x), ∴函数 f(x)为奇函数. 在(0,+∞)上任取 x1,x2,且 x1<x2, 1 1 1 1 - - 则 x13 <x23 ,x2 3 <x1 3 ,从而 ∴ 在(0,+∞)上是增函数. 又∵f(x)是奇函数, ∴函数 f(x)在(-∞,0)上也是增函数. 故函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞). 1 - 43-4 3 1 1 - 23-2 3 1 1 - 23+2 3 1 (2)f(4) - 5f(2)g(2) = =0; 1 5 -5× 5 × 5 1 93-9-3 f(9) - 5f(3)g(3) = 0. 5 1 - 33-3 3 1 1 - 33+3 3 1 -5× 5 × 5 = 由此可推测出一个等式 f(x2)-5f(x)g(x)=0(x≠0). 证明如下: 1 x f(x ) - 5f(x)g(x) = 1 - x3+x 3 5 2 - x3-x 3 2 2 - x3-x 3 5 2 1 2

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