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余弦函数图像与性质


定义 编辑

角 A 的邻边比斜边 叫做∠A 的余弦,记作 cosA(由余弦英文 cosine 简写得来) ,即 cosA= 角 A 的邻边/斜边(直角三角形) 。记作 cos=x/r。 余弦是三角函数的一种。它的定义域是整个实数集,值域是[-1,1]。它是周期函数,其最小 正周期为 2π 。在自变量为 2kπ (k 为整数)时,该函数有极大值 1;在自变量为(2k+1)π 时,该函数有极小值-1。余弦函数是偶函数,其图像关于 y 轴对称。 2 定理 编辑 简介 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即 在余弦定理中,令 C=90°,这时 cosC=0,所以 (1)已知三角形的三条边长,可求出三个内角; (2)已知三角形的两边及夹角,可求出第三边; (3)已知三角形两边及其一边对角,可求其它的角和第三条边。 (见解三角形公式,推导过 程略。 ) 性质 对于任意三角形, 任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两 倍积,若三边为 a,b,c 三角为 A,B,C ,则满足性质——

(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到) 第一余弦定理(任意三角形射影定理) 设△ABC 的三边是 a、b、c,它们所对的角分别是 A、B、C,则有 a=b·cos C+c·cos B, b=c·cos A+a·cos C, c=a·cos B+b·cos A。 两根判别法 若记 m(c1,c2)为 c 的两值为正根的个数,c1 为 c 的表达式中根号前取加号的值,c2 为 c 的 表达式中根号前取 减号的值 ①若 m(c1,c2)=2,则有两解; ②若 m(c1,c2)=1,则有一解; ③若 m(c1,c2)=0,则有零解(即无解) 。

注意:若 c1 等于 c2 且 c1 或 c2 大于 0,此种情况算到第二种情况,即一解。 角边判别法 1、当 a>bsinA 时 ①当 b>a 且 cosA>0(即 A 为锐角)时,则有两解; ②当 b>a 且 cosA<=0(即 A 为直角或钝角)时,则有零解(即无解) ; ③当 b=a 且 cosA>0(即 A 为锐角)时,则有一解; ④当 b=a 且 cosA<=0(即 A 为直角或钝角)时,则有零解(即无解) ; ⑤当 b<a 时,则有一解 2、当 a=bsinA 时 ①当 cosA>0(即 A 为锐角)时,则有一解; ②当 cosA<=0(即 A 为直角或钝角)时,则有零解(即无解) ; 3、当 a<bsinA 时,则有零解(即无解) 3 证明方法 编辑 平面向量证法 ∵如图,有 a+b=c (平行四边形定则:两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b) · (a+b) ∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π -θ ) (以上粗体字符表示向量) 又∵Cos(π -θ )=-CosC ∴c2=a2+b2-2|a||b| Cosθ (注意:这里用到了三角函数公式) 再拆开,得 c2=a2+b2-2abCosC 即 CosC= 同理可证其他,而下面的 CosC=(c2-b2-a2)/(2ab)就是将 CosC 移到左边表示一下。 平面几何证法 在任意△ABC 中 做 AD⊥BC,交 BC 于 D ∠C 所对的边为 c,∠B 所对的边为 b,∠A 所对的边为 a 则有 BD=c*cosB,AD=c*sinB,DC=BC-BD=a-c*cosB 根据勾股定理可得: AC2=AD2+DC2 b2=(c*sinB)2+(a-c*cosB)2 b2=(c*sinB)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sin2B+cos2B)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac 4 三角恒等变换 编辑 用其它三角函数来表示余弦

函数

两个角的和及差的余弦

二倍角公式

三倍角公式

半角公式

幂简约公式

和差化积公式

万能公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系: 平方关系: tanα · cotα =1 sinα · csc α =1 cosα ·secα =1 sinα /cosα =tanα =secα /cscα cosα /sinα =cotα =cscα /secα sin2α +cos2α =1 1+tan2α =sec2α 1+cot2α =csc2α (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割, 左正右余中间 1” ;记忆方法“对角线上两个函数的积为 1;阴影三角形上两顶点的三角函数 值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方; 任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的 三角函数值的乘积。 ” ) 诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。 ) sin(-α )=-sinα cos(-α )=cosα tan(-α )=-tanα cot(-α )=-cotα sin(π /2-α )=cosα cos (π /2-α )=sinα tan(π /2-α )=cotα cot(π /2-α )=tanα sin(π /2+α )=cosα cos

(π /2+α )=-sinα tan(π /2+α )=-cotα cot(π /2+α )=-tanα sin(π -α )=sin α cos(π -α )=-cosα tan(π -α )=-tanα cot(π -α )=-cotα sin(π +α )= -sinα cos(π +α )=-cosα tan(π +α )=tanα cot(π +α )=cotα sin(3π /2-α ) =-cosα cos(3π /2-α )=-sinα tan(3π /2-α )=cotα cot(3π /2-α )=tanα sin (3π /2+α )=-cosα cos(3π /2+α )=sinα tan(3π /2+α )=-cotα cot(3π /2+α )= -tanα sin(2π -α )=-sinα cos(2π -α )=cosα tan(2π -α )=-tanα cot(2π -α )=-cotα sin(2kπ +α )=sinα cos(2kπ +α )=cosα tan(2kπ +α )=tanα cot (2kπ +α )=cotα (其中 k∈Z) 两角和与差的三角函数公式 万能公式 sin(α +β )=sin α cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ cos(α +β )=cosα cosβ -sin α sinβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ tanα +tanβ tan(α +β )=—————— 1 -tanα ·tanβ tanα -tanβ tan(α -β )=—————— 1+tanα ·tanβ 2tan(α /2) sin α =—————— 1+tan2(α /2) 1-tan2(α /2) cosα =—————— 1+tan2(α /2) 2tan(α /2) tanα =—————— 1-tan2(α /2) 半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式 二 倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α =2sinα cosα cos2α =cos2 α - sin2 α =2cos2 α - 1=1 - 2sin2 α 2tan α tan2 α = ————— 1 - tan2 α sin3 α =3sinα -4sin3α cos3α =4cos3α -3cosα 3tanα -tan3α tan3α =—————— 1-3tan2 α 三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式 sinα -sinβ =2cos———·sin—— — α +β α -β cosα +cosβ =2cos———· cos——— α +β α -β cosα -cosβ =-2sin ———·sin——— sinα ·cosβ =-[sin(α +β )+sin(α -β )] cosα ·sinβ =-[sin(α + β )-sin(α -β )] cosα ·cosβ =-[cos(α +β )+cos(α -β )] sinα ·sinβ =— -[cos (α +β )-cos(α -β )]


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