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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)阶段性测试题12(算法初步、复数、推理与证明)


阶段性测试题十二(算法初步、复数、推理与证明)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 2+i 1.(2015· 武汉市武昌区调研)已知 i 是虚数单位,则 =( 3-i 1 1 A. - i 2 2 1 1 C. + i 2 2 [答案] C [解析] 2+i ?2+i??3+i? 5+5i 1 1 = = = + i. 10 2 2 3-i ?3-i??3+i? ) 7 1 B. - i 2 2 7 1 D. + i 2 2 )

i 2.(文) (2014· 济南模拟)复数 z= 在复平面上对应的点位于( 1+ i A.第一象限 C.第三象限 [答案] A i?1-i? 1+i 1 i i [解析] z= = = = + , 2 2 2 1+i ?1+i??1-i? 1 1 所以复数 z 对应的点为( , ),在第一象限. 2 2 B.第二象限 D.第四象限

z (理) (2014· 郑州六校质量检测)设复数 z=a+bi(a,b∈R),若 =2-i 成立,则点 P(a, 1+i b)在( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限 [答案] A

z [解析] 因为 =2-i,所以 z=(2-i)(1+i)=3+i,所以点 P(a,b)在第一象限. 1+i 3. (文)(2014· 福建高考)阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的 n 的值为( )

-1-

A.1 C .3 [答案] B

B.2 D.4

[解析] 本题考查了程序框图的相关概念. S1:n=1,21>12→是, S2:n=2,22>22→否, 输出 n=2. 关键是理解赋值语句 n+1 及条件 2n>n2. (理)(2014· 福建高考)阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的 S 的值等于( )

A.18 C.21 [答案] B

B.20 D.40

[解析] 本题考查程序框图,当 n=1 时,S=3,当 n=2 时,S=3+22+2=9,当 n=3 时,S=9+23+3=20>15,故输出 S=20. 4.若下边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为( )

-2-

A.n≤15 C.n≤7 [答案] B [解析] 由程序框图可知这是计算

B.n≤6 D.n≤8

2?1-2n? n+1 S=0+2+22+…+2n= =2 -2 的程序, 1-2 当 S=2n 1-2=126 时,即 2n 1=128,解得 n=6,
+ +

此时 n=n+1=7,不满足条件,所以选 B. 5.(文)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→ 明文(解密),已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明 文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文为( A.4,6,1,7 C.6,4,1,7 [答案] C a+2b=14 ? ?2b+c=9 因加密规则可得? 2c+3d=23 ? ?4d=28 B.7,6,1,4 D.1,6,4,7 )

[解析]

a=6 ? ?b=4 ?? c=1 ? ?d=7

.故明文为 6,4,1,7.

1 1 1 (理)设 M=( -1)( -1)( -1),且 a+b+c=1(a,b,c 均为正数),由综合法得 M 的取值 a b c 范围是( ) 1 B.[ ,1) 8
-3-

1 A.[0, ] 8

C.[1,8] [答案] D

D.[8,+∞)

b c a c a b [解析] 由 a+b+c=1,M=( + )( + )( + )≥8(当且仅当 a=b=c 时取等号.) a a b b c c 6.(2015· 济南模拟)下面有四个命题: ①集合 N 中最小的数是 1; ②若-a 不属于 N,则 a 属于 N; ③若 a∈N,b∈N,则 a+b 的最小值为 2; ④x2+1=2x 的解集可表示为{1,1}. 其中真命题的个数是( A.0 C .2 [答案] A 1 [解析] ①假命题,集合 N 中最小的数是 0;②假命题,如 a= 时,命题不成立;③假命 2 题,如 a=0,b=1,则 a+b=1;④假命题,{1,1}与集合中元素的互异性矛盾,其解集应为 {1}. 2 7.(文) 设 z=1-i(i 是虚数单位),则复数 +i2 的虚部是( z A.1 C .i [答案] A 2 2 [解析] 因为 z=1-i(i 是虚数单位),所以复数 +i2= +i2=1+i-1=i, z 1-i 2 所以复数 +i2 的虚部是 1. z (理)设复数 z=1+bi(b∈R)且|z|=2,则复数 z 的虚部为( A. 3 C .± 1 [答案] B [解析] z=1+bi,且|z|=2,即 1+b2=4,解得 b=± 3. 2tan22.5° - 8.(文)已知 M 是 ex+e x 的最小值,N= ,则下图所示程序框图输出的 S 为 1-tan222.5° ( ) B.± 3 D.± 3i ) B.-1 D.-i ) ) B.1 D.3

-4-

A.2 1 C. 2 [答案] A

B.1 D.0

2tan22.5° - - [解析] ∵ex+e x≥2 ex· e x=2,∴M=2,N= =tan45° =1,所以 M>N,又 1-tan222.5° 框图的功能是求 M,N 中的较大值,故输出的值为 2. 1 tan22.5° (理) 已知函数 y= 与 x=1,x 轴和 x=e 所围成的图形的面积为 M,N= ,则 x 1-tan222.5° 程序框图输出的 S 为( )

A.1 1 C. 2 [答案] C

B.2 D.0

2tan22.5° 1 1 [解析] 因为 2N= =tan45° =1, 所以 N= , M=?e dx=lnx|e 所以 M>N, 1=1, 2 1-tan222.5° ?x
1

1 又框图的功能是求 M,N 中的较小值,故输出的值为 . 2 9.(2014· 新课标Ⅱ)执行下图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S=( )

-5-

A.4 C .6 [答案] D [解析] 本题考查程序框图的基础知识. x=2,t=2,变量变化情况如下: M 1 2 2 故选 D.

B.5 D.7

S 3 5 7

k 1 2 3

2 1 10.(文)设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=2,a2+b=4,则 + 的最大值为( x y A.1 C .3 [答案] B [解析]
2

)

B.2 D.4

2 1 因 为 ax = by = 2 , 所 以 x = loga2 , y = logb2 , 所 以 + = 2log2a + log2b = x y

a2+b 2 log2(a b)≤log2( ) =2,当且仅当 a2=b=2 时取等号. 2 3 (理) 定义在 R 上的函数 y=f(x), 满足 f(3-x)=f(x), (x- )f′(x)<0, 若 x1<x2, 且 x1+x2>3, 2 则有( ) B.f(x1)>f(x2) D.不确定

A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) [答案] B

-6-

3 [解析] 因为函数 y=f(x),满足 f(3-x)=f(x),所以函数 y=f(x)的对称轴为 x= .又因为(x 2 3 3 3 3 - )f′(x)<0,所以 x< 时,f′(x)>0,x> 时,f′(x)<0,所以函数 y=f(x)在(-∞, ]上单调递 2 2 2 2 3 3 增;在[ ,+∞)上单调递减.又因为 x1<x2,且 x1+x2>3,所以 3-x2<x1<x2,且 x2∈( ,+∞), 2 2 观察图像,得 f(x1)>f(x2).

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11.(文)(2014· 北京高考)若(x+i)i=-1+2i(x∈R),则 x=________. [答案] 2 [解析] 本题考查了复数乘法、复数相等的知识. (x+i)i=-1+xi=-1+2i,x=2. 1+i 2 (理)(2014· 北京高考)复数( ) =________. 1-i [答案] -1 [解析] 本题考查了复数的运算. 1+i ?1+i?2 2i 复数 = = =i, 1-i ?1-i??1+i? 2 1+i 2 2 故( ) =i =-1. 1-i 3 12.在复平面上,复数 对应的点到原点的距离为________. ?2-i?2 [答案] 3 5

3 3 3 [解析] 复平面上复数 z 对应的点到原点的距离就是它的模,而| 2|= 2= ,本题 ?2-i? |2-i| 5 不需要把复数化简为 a+bi(a,b∈R)形式. 13.程序框图如下:

-7-

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中横线上应填入的数字是________. [答案] 10 [解析] 由题设条件可以看出,此程序是一个求几个数的连乘积的问题,第一次乘入的数 是 12,以后所乘的数依次减少 1,由于 132=11×12,故循环两次,故判断框中应填 k≤10. 3 1 1 3 1 4 1 1 3 1 4 1 14. 观察下列等式: × =1- 2, × + × 2=1- × + × 2 2, 2 2 2 2 2 2 1×2 1×2 2×3 3×2 1×2 2×3 + 5 1 1 3 1 4 × 3=1- , ……, 由以上等式推测到一个一般的结论: 对于 n∈N*, × + 3×4 2 4×23 1×2 2 2×3

n+2 1 1 × 2+…+ × n=________. 2 2 n?n+1? [答案] 1- 1 ?n+1?· 2n

3 1 1 [解析] 由已知中的等式: × =1- 2 2 1×2 2 3 1 4 1 1 × + × 2=1- , 1×2 2 2×3 2 3×22 3 1 4 1 5 1 1 × + × 2+ × 3=1- ,…, 1×2 2 2×3 2 3×4 2 4×23 n+2 3 1 4 1 1 1 所以对于 n∈N*, × + × 2+…+ × n=1- . 1×2 2 2×3 2 n?n+1? 2 ?n+1?2n π 1 15.(2015· 温州适应性测试)已知 cos = , 3 2 π 2π 1 cos cos = , 5 5 4 π 2π 3π 1 cos cos cos = , 7 7 7 8 …… (1)根据以上等式,可猜想出的一般结论是____________________________________; π π 2π π 2π 3π 1023 (2)若数列{an}中, a1=cos , a =cos cos , a =cos · cos cos , …, 前 n 项和 Sn= , 3 2 5 5 3 7 7 7 1024 则 n=________. π 2π nπ 1 [答案] (1)cos · cos · …· cos = n(n∈N*) (2)10 2 2n+1 2n+1 2n+1 [解析] (1)从题中所给的几个等式可知,第 n 个等式的左边应有 n 个余弦相乘,且分母均

-8-

1 为 2n+1,分子分别为 π,2π,…,nπ,右边应为 n,故可以猜想出结论为 2 π 2π nπ 1 cos · cos · …· cos = n(n∈N*). 2n+1 2n+1 2n+1 2 1 1 [1-? ?n] n 2 2 1 1 2 -1 1023 (2)由(1)可知 an= n,故 Sn= =1- n= n = ,∴n=10. 2 1 2 2 1024 1- 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)实数 m 分别取什么数值时, 复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i; (1)与复 2-12i 相等? (2)与复数 12+16i 互为共轭复数? (3)对应的点在 x 轴上方? [解析] (1)根据复数相等的充要条件得
2 ? ?m +5m+6=2, ? 2 解得 m=-1. ?m -2m-15=-12. ? 2 ? ?m +5m+6=12, (2)根据共轭复数的定义得? 2 ?m -2m-15=-16. ?

解得 m=1. (3)根据复数 z 对应的点在 x 轴上方可得 m2-2m-15>0,解得 m<-3 或 m>5. 17. (本小题满分 12 分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提 下,每天销售量为 b 件.经市场调查得到如下规律:若对产品进行电视 广告的宣传,每天的销售量 S(件)与电视广告每天的播放量 n(次)的关系 可用如图所示的程序框图来体现. (1)试写出该产品每天的销售量 S(件)关于电视广告每天的播放量 n(次)的函数关系式; (2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加 90%,则每天电视广告的播放量至少需多少次? [解析] (1)设电视广告播放量为每天 i 次时,该产品的销售量为 Si(0≤i≤n,i∈N). b,i=0, ? ? 由题意,Si=? b * ? ?Si-1+2i,1≤i≤n,i∈N . b b b 1 于是当 i=n 时,Sn=b+( + 2+…+ n)=b(2- n)(n∈N). 2 2 2 2 1 所以,该产品每天销售量 S(件)与电视广告播放量 n(次/天)的函数关系式为 S=b(2- n),n 2

-9-

∈N. 1 (2)由题意,有 b(2- n)≥1.9b?2n≥10?4(n∈N*). 2 所以,要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加 90%,则每天广告的播 放量至少需 4 次. 18.(本小题满分 12 分)求证关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1. [分析] 需证明充分性和必要性.证充分性时,可分 a=0,a<0 和 0<a≤1 三种情况证明; 证必要性,就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件. [证明] 充分性:当 a=0 时,方程为 2x+1=0, 1 其根为 x=- ,方程有一个负根,符合题意. 2 1 当 a<0 时,Δ=4-4a>0,方程 ax2+2x+1=0 有两个不相等的实根,且 <0,方程有一正 a 一负根,符合题意. 当 0<a≤1 时,Δ=4-4a≥0, 方程 ax2+2x+1=0 有实根,

?-a<0 且? 1 ?a>0

2

,故方程有两个负根,符合题意.

综上知:当 a≤1 时,方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根. 必要性:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根. 当 a=0 时,方程为 2x+1=0 符合题意. 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 应有一正一负或两个负根.

? ?-2<0 1 则 <0 或? a a 1 ? ?a>0

Δ=4-4a≥0 .解得 a<0 或 0<a≤1.

综上知:若方程 ax2+2x+1=0 至少有一负根则 a≤1. 故关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是 a≤1. 19.(本小题满分 12 分)设复数 z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当实数 m 取何值时. (1)z 是纯虚数. (2)z 是实数. (3)z 对应的点位于复平面的第二象限.

- 10 -

[解析]

2 ? ?lg?m -2m-2?=0, (1)由题意知? 2 ?m +3m+2≠0. ?

解得 m=3. 所以当 m=3 时,z 是纯虚数. (2)由 m2+3m+2=0, 得 m=-1 或 m=-2, 又 m=-1 或 m=-2 时,m2-2m-2>0, 所以当 m=-1 或 m=-2 时,z 是实数.
2 ? ?lg?m -2m-2?<0, (3)由? 2 ?m +3m+2>0. ?

m -2m-2>0 ? ? 2 即?m -2m-3<0 ? ?m2+3m+2>0 解得:-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3. 所以当-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3 时,z 对应的点位于复平面的第二象限. 1 20.(本小题满分 13 分)在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + a+b 1 3 = ,试问 A,B,C 是否成等差数列,若不成等差数列,请说明理由.若成等差数 b+c a+b+c 列,请给出证明. [解析] A、B、C 成等差数列. 证明如下: ∵ ∴ ∴ 1 1 3 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c + =3. a+b b+c c a + =1, a+b b+c

2

∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), ∴b2=a2+c2-aC. 在△ABC 中,由余弦定理,得 a2+c2-b2 ac 1 cosB= = = , 2ac 2ac 2 ∵0° <B<180° ,∴B=60° . ∴ A+C=2B=120° . ∴A、B、C 成等差数列.

- 11 -

21. (本小题满分 14 分)已知数列{an}中, Sn 是它的前 n 项和, 并且 Sn+1=4an+2(n=1,2, …), a1=1. (1)设 bn=an+1-2an(n=1,2,…),求证:数列{bn}是等比数列; an (2)设 cn= n(n=1,2,…),求证:数列{cn}是等差数列; 2 (3)(理)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式. [解析] (1)证明:∵Sn+1=4an+2,∴Sn+2=4an+1+2, 两式相减,得 Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,…), 即 an+2=4an+1-4an, 变形得 an+2-2an+1=2(an+1-2an). ∵bn=an+1-2an(n=1,2,…),∴bn+1=2bn. 由此可知,数列{bn}是公比为 2 的等比数列. (2)证明:由 S2=a1+a2=4a1+2,a1=1, ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3, an - 由(1)知 bn=3· 2n 1,又 cn= n. 2 an+1 an an+1-2an bn ∴cn+1-cn= n+1- n= = n+1. + 2 2 2n 1 2 将 bn=3· 2n
-1

3 代入得 cn+1-cn= (n=1,2,…). 4

3 由此可知,数列{cn}是公差 d= 的等差数列. 4 a1 1 3 1 (3)由(2)得:c1= = ,故 cn= n- . 2 2 4 4 3 1 1 ∵cn= n- = (3n-1), 4 4 4 ∴an=2n· cn=(3n-1)· 2n 2(n=1,2,…).


当 n≥2 时,Sn=4an-1+2=(3n-4)· 2n 1+2.


由于 S1=a1=1 也适合于此公式, 所以{an}的前 n 项和公式为 Sn=(3n-4)· 2n 1+2.


- 12 -


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