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高中数学向量结论

如何利用向量的几何表示三角形的各种心

向量的几何表示是高考的热点问题,特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题

的素材,常见的结论如下:



PG

?

1 3

(PA ?

PB

?

PC)

?

G



?ABC

的重心,

特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重心;

?(AB ? AC), ? ?[0, ??) 是 BC 边上的中线 AD 上的任意向量,过重心;
? ? AD ? 1 AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线. 2 ② PA? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心;

?( AB ? AC ) ? ?[0, ??) 是△ ABC 边 BC 的高 AD 上的任意向量,过垂心. | AB | cos B | AC | cos C
③ | A B | P ?C | B C| ?P A| C| A ? P B?0 ?ABPC 的内心;

向量 ?( AB ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直线).
| AB | | AC |
④ (OA ? OB) ? AB ? (OB ? OC) ? BC ? (OC ? OA) ?CA ? 0 ? OA ? OB ? OC ? OA2 ? OB2 ? OC2 ? O 为 ?ABC 的外心. 4.向量与平行四边形相关的结论
向量的加法的几何意义是通过平行四边形 法则得到,其应用非常广泛.在平行四边形 ABCD中,设 AB ? a, AC ? b ,则有以下的结论: ① AB ? AC ? a ? b ? AD, 通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并;若 AB ? DC ,可 判断四边形为平行四边形; ② a ? b ? AD, a ? b ? CB, 若 a ? b ? a ? b ? a ?b ? 0 对角线相等或邻边垂直,则平行四边形为矩 形; (a ? b) ?(a ? b) ? 0 ? a ? b 对角线垂直.则平行四边形为菱形; ③ a ? b 2 ? a ? b 2 ? 2 a 2 ? 2 b 2 说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和;

④ || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ,特别地,当 a、b 同向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ;当 a、b 反向或有

0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ;

当 a、b 不共线 ? || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | (这些和实数比较类似).

5.解析几何与向量综合时可能出现的结论

(1)

给出直线的方向向量

? u

?

?1,

k

?



? u

?

?m,

n?;

(2)给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点;
?
(3)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点;
? ? (4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P,Q 与 AB 的中点三点共线;
(5) 给出以下情形之一:① AB // AC ; ②存在实数 ?,使AB ? ? AC ; ③若存在实数?, ? , 且? ? ? ? 1,使OC ? ?OA ? ? OB , 等于已知 A, B,C 三点共线.

(6) 给出 OP ? OA ? ?OB ,等于已知 P 是 AB 的定比分点, 1? ?

? 为定比,即 AP ? ? PB

(7) 给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB,即 ?AMB是直角,给出

MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,

等于已知 ?AMB是锐角 ,

(8)给出 ????

MA

?

MB

?? ?

?

MP,等于已知 MP 是 ?AMB的平分线/

?? MA MB ??

(9)在平行四边形 ABCD中,给出 (AB ? AD) ? (AB ? AD) ? 0,

等于已知 ABCD是菱形;

(10) 在平行四边形 ABCD中,给出| AB ? AD |?| AB ? AD |,

等于已知 ABCD是矩形;

(11)在

?ABC

中,给出

2
OA

2
? OB

?

OC2 ,

等于已知 O 是 ?ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平

分线的交点);

(12) 在 ?ABC中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 , 等于已知 O 是 ?ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点); (13)在 ?ABC中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA , 等于已知 O 是 ?ABC的垂心(三角形的垂心 是三角形三条高的交点); (14)在 ?ABC中,给出 OP ? OA ? ?( AB ? AC ) (? ? R? )
| AB | | AC | 等于已知 AP 通过 ?ABC的内心; (15)在 ?ABC中,给出 a ?OA? b ?OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分 线的交点);
? ? (16 在 ?ABC中,给出 AD ? 1 AB ? AC , 2 等于已知 AD是 ?ABC中 BC 边的中线;


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