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高二下期末考试题文科数学

2009-2010 学年度杭州第十四中学高二年级下学期期末考试

(文)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的) 一、选择题

1. ?2 ? i 的值是 1? 2i

A. ? 4 ? i 5

B. ? 4 ? 3 i 55

C.i

2.当 2 ? m ? 1时,复数 m?3 ? i? ? ?2 ? i? 在复平面内对应的点位于
3

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

3.若 x, y ? R ,且满足 x ? 3y ? 2 ,则 3x ? 27y ?1的最小值是

D. ?i D.第四象限

A. 33 9

B.1? 2 2

C.6

D.7

4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是

A.有两个内角是直角

B.有三个内角是直角

C.至少有两个内角是直角

D.没有一个内角是直角

5.数列 ?1,3, ?7 ,15,( ),63,…,括号中的数字应为

A.33

B. ?31

C. ?27

D. ?57

6.“因对数函数 y ? loga x 是增函数(大前提),而 y ? log1 x 是对数函数(小前提),所以 3

y ? log1 x 是增函数(结论).”上面的推理的错误是
3

A.大前提错导致结论错

B.小前提错导致结论错

C.推理形式错导致结论错

D.大前提和小前提都错导致结论错

7.设 P ? 2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P,Q,R 的大小顺序是

A. P ? Q ? R

B. P ? R ? Q

C. Q ? P ? R

D. Q ? R ? P

8.已知点列如下:P1 ?1,1? ,P2 ?1, 2? ,P3 ?2,1? ,P4 ?1,3? ,P5 ?2, 2? ,P6 ?3,1? ,P7 ?1, 4? ,P8 ?2,3? ,

P9 ?3, 2? , P10 ?4,1? , P11 ?1,5? , P12 ?2, 4? ,……,则 P60 的坐标为

A. ?3,8?

B. ?4,7?

C. ?4,8?

D. ?5,7?

9.设 a ? b ? c , n? N ,且 1 ? 1 ? n 恒成立,则 n 的最大值是
a?b b?c a?c

A.2

B.3

C.4

D.6

10.一位同学画出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…….如果

将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的●的个数是

A.12

B.13

C.14

D.15

二、填空题(本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.)

11.若 a ? b ? 0 , m ? 0 , n ? 0 ,则 a , b , b ? m , a ? n 按由小到大的顺序排列为 .
b a a?m b?n

12.设

A

?

1 210

?

1 ?
210 ?1

1 210 ? 2

?

?

1 211 ?1

,则

A



1

的大小关系是



13.函数

f

?x?

?

3x

?

12 x2



x

?

0

)的最小值为



14.如果关于 x 的不等式 x ? 4 ? x ? 5 ? b 的解集为空集,则实数 b 的取值范围为 .

15.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对边的边长分别为 a,b,c,其外接圆的半径为 5 6 , 36

? ? 则

a2 ? b2 ? c2

?

1 sin2

A

?

1 sin2

B

?

1 sin2

C

?

的最小值为



16.已知

f

?n?

?1?

1 2

?

1 3

?????

1( n

n?

N?

),经计算得

f

?2?

?

3 2

,f

?4?

?

2

,f

?8?

?

5 2

,f

?16?

?

3,

f ?32? ? 7 ,推测当 n ? 2 时,有不等式 成立.
2

17.在等差数列 ?an ? 中,若 a10 ? 0 ,则有等式 a1 ? a2 ? ? an ? a1 ? a2 ? ? a19?(n n ? 19 ,n ? N? )

成立.类比上述性质,相应地,在等比数列?bn? 中,若 b9 ? 1 ,则有等式 成立.

三、解答题(本大题有 4 小题,前三小题 10 分,最后一小题 12 分,共 42 分)

? ? ? ? 18.实数 m 取什么值时,复平面内表示复数 z ? m2 ? 8m ?15 ? m2 ? 5m ?14 i 的点

(1) 位于第四象限?(2)位于第一、三象限?(3)位于直线 x ? 2y ?16 ? 0 上?

19.用适当方法证明:已知: a ? 0 , b ? 0 ,求证: a ? b ? a ? b .
ba 20.求函数 y ? 3 x ? 2 ? 4 6 ? x 的最大值.
21.已知: f ? x? ? x2 ? px ? q . (1)求证: f ?1? ? f ?3? ? 2 f ?2? ? 2 ;

(2)求证: f ?1? , f ?2? , f ?3? 中至少有一个不小于 1 .
2 四、附加题:(每小题 10 分,共 20 分)
23.已知 x2 ? 4y2 ? kz2 ? 36 ( k ? 0 ),且 x ? y ? z 的最大值为 7,求 k 的值.
24.已知实数 x,y,z 满足 x ? y ? 2z ?1 ,设 t ? x2 ? y2 ? 2z2 .

(1) 求 t 的最小值;(2)当 t ? 1 时,求 z 的取值范围. 2
杭十四中第二学期阶段性测试 高二年级数学(文科)参考答案
一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

D

D

C

B

A

B

D

C

D

二、填空题

11. b ? b ? m ? a ? n ? a a a?m b?n b
12. A?1 13.9 14. b ? 9

15. 25 6
? ? 16. f 2n ? n ? 2 2

17. b1 ? b2 ? ? bn ? b1 ? b2 ? ? b17?n ( n ?17 , n ? N? )

三、计算题
? ? ? ? 18.实数 m 取什么值时,复平面内表示复数 z ? m2 ? 8m ?15 ? m2 ? 5m ?14 i 的点
(1)位于第四象限?(2)位于第一、三象限?(3)位于直线 x ? 2y ?16 ? 0 上?

解:(1)

??m2 ???m2

? ?

8m 5m

? 15 ? 14

? ?

0 0

?

?m ? 3 or m ???2 ? m ? 7

?

5

?

?2

?

m

?

3 or

5

?

m

?

7

? ?? ? (2) m2 ? 8m ?15 m2 ? 5m ?14 ? 0 ? (m ? 3)(m ? 5)(m ? 2)(m ? 7) ? 0

? ? ? ? (3) m2 ? 8m ?15 ? 2 m2 ? 5m ?14 ?16 ? 0 ? m ?1? 2 15

19.用适当方法证明:已知: a ? 0 , b ? 0 ,求证: a ? b ? a ? b .
ba

证明: a ? b ? 2 a , b ? a ? 2 b ,两式相加,得证。

b

a

20.求函数 y ? 3 x ? 2 ? 4 6 ? x 的最大值. 解法一:函数定义域为 x ?[2,6]

解法二:设 x ? 2 ? 2cos?, 6 ? x ? 2sin? (? ?[0, ? ]) 2
则 y ? 6cos? ? 8sin? ?10sin(? ??)

所以 ymax ? 10
21.已知: f ? x? ? x2 ? px ? q . (1)求证: f ?1? ? f ?3? ? 2 f ?2? ? 2 ; (2)求证: f ?1? , f ?2? , f ?3? 中至少有一个不小于 1 .
2
证明:(1) f ?1? ? f ?3? ? 2 f ?2? ? 1? p ? q ? 9 ? 3 p ? q ? 2(4 ? 2 p ? q) ? 2

(2)反证:假设 f ?1? , f ?2? , f ?3? 都小于 1
2

那么 2 ? f ?1? ? f ?3? ? 2 f ?2? ? f ?1? ? f ?3? ? 2 f ?2? ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2
22 2

矛盾,所以假设不成立,即 f ?1? , f ?2? , f ?3? 中至少有一个不小于 1
2 附加题:
23.已知 x2 ? 4y2 ? kz2 ? 36 ( k ? 0 ),且 x ? y ? z 的最大值为 7,求 k 的值.

解: (x ? y ? z)2 ? (x ?1? 2y ? 1 ? k z ? 1 )2 ? (x2 ? 4y2 ? kz2 )(1? 1 ? 1) ? 36(5 ? 1)

2

k

4k

4k

所以 72 ? 36(5 ? 1) ? k ? 9 4k
24.已知实数 x,y,z 满足 x ? y ? 2z ?1 ,设 t ? x2 ? y2 ? 2z2 .

(1)求 t 的最小值;(2)当 t ? 1 时,求 z 的取值范围. 2

? ? 解:(1) (x ? y ? 2z)2 ? (x ?1? y ?1? 2z ? 2)2 ? (x2 ? y2 ? 2z2 )(12 ?12 ?

2
2 ) ? 4t

所以 t

?

1 4

,所以 tmin

?

1 4

(2)

x

?

y

?1?

2z



xy

?

(x

?

y)2

?

(x2

?

y2)

?

(1 ?

2z)2

?

(1 2

?

2z2)

?

3z2

?

2z

?

1

2

2

4

所以 x, y 是方程 t2 ? (2z ?1)t ? (3z2 ? 2z ? 1) ? 0 的两实根, 4

所以 ? ? (2z ?1)2 ? 4(3z2 ? 2z ? 1) ? 0 ? 0 ? z ? 1

4

2


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