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2.3.1《等差数列的前n项和》课件(新人教A版必修5) 2


2.3《等差数列的前n项和》

复习回顾
1.等差数列的概念

an-an-1=d (n∈N*且 n≥2)
2.等差数列的通项公式

an=a1+(n-1)d

3.等差数列的常用性质

若数列{an}是公差为d的等差数列
1、d>0, {an}是递增数列;

d<0, {an}是递减数列;
d=0, {an}是常数列 2、d=(an-a1)/(n-1)=(am-an)/(m-n) 3、an=am+(n-m)d

4、若m+n=p+q则am+an=ap+aq 5、m+n=2k,则am+an=2ak
6、{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距 离的两 项之和都相等,且等于首末两项之 和 即a1+an=a2+an-1=…=ai+ai-1=… 7、数列{kan+b}(k、b是常数)是公差为kd 的等差数列

8、下标成等差数列且公差为m的项 ak,ak+m,ak+2m, …组成公差为md的等差数列
9、{bn}也成等差数列,则{an+bn}, {kan+bn} (k为非零常数)也是等差数列 10、{an}是等差数列,则a1,a3,a5…仍成等 差数列(首项不一定选a1) 11、{an}是等差数列,则 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍成等差数列

200多年前,德国古代著名数学家高斯10岁 的时候很快就解决了这个问题。

高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老 师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过 了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6; 4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+…+100=5050.”
你知道高斯是怎样计算的吗?

1+2+3+ …… +100 = ?
高斯的算法是: 首项与末项的和: 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: …… 1+100=101 2+99 =101 3+98 =101

第50项与倒数第50项的和: 50+51=101 于是所求的和是:101× =5050

高斯的算法实际上法解决了等差数列:1, 2,3· · · · ,n,· · · 的前n项和问题

问题

探究发现 : 如何求等差数列?an ?的前n项和?

等差数列?an ?的前n项和,用Sn表示, 记作:

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an
Sn ? an ? an?1 ? an?2 ? ?? a2 ? a1
如果把两式左右两端相加,将会有什么结果?

探究发现

倒序相加法

如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ?
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ? [a1 ? (n ?1)d ]

Sn ? an ? (an ? d ) ?
2Sn ? n(a1 ? an )
an ? a1 ? (n ?1)d

? [an ? (n ?1)d ]
n(a1 ? an ) 公式1 S n ? 2
n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2

等差数列前n项和公式
公式1 公式2

n(a1 ? an ) Sn ? 2
比较两个公式的异同:

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

公式应用 之
求 a1 及 a 20 .

知三求二

a1,d , n, an , Sn

例 在等差数列 ?an ?中,已知: d ? 4 , n ? 20 , sn ? 460
n(n ? 1) 解: 利用 公式2 Sn ? na1 ? d 2

a=
1

再根据 公式1

n( a1 ? an ) Sn ? 2

a20=

练 习一
根据条件,求相应等差数列{an}的Sn:

①a1=5, an=95, n=10;
②a1=100, d=-2, n=50;
答案:①500; ②2550;

练 习 二 (2004.全国文)等差数列 ?an ?的前 n 项 和记为 sn .已知 a10 ? 30 , a20 ? 50 .

(1)求通项 an ;
(2)令 sn ? 242 ,求 n .

例1. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中 小学实施“校校通”的工程通知》.某市据此提 出了实施 “校校通”小学工程校园网.据测 算,2001年该市用于“校校通”的总目标:从 2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同 标准的校园网。据测算,2001年该市用于“校 校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的 顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在 “校校通”工程中的总投入是多少?

例2. 己知一个等差数列{an}前10项的和 是310,前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗?
a1 ? an 解:由题意知 S10 ? ? 10 ? 310 2 得 a1 ? a10 ? 62;
a1 ? a20 S 20 ? ? 20 ? 1220 2



所以

a1 ? a20 ? 122; ②-①,得 10 d ? 60
代入①得:




所以有

( n n ?1 ) 2 S n ? a1n ? d ? 3n ? n 2

a1 ? 4

d ?6

例3. 已知数列 ?an ? 的前 项和 2 为 sn ? n ? 1 2 n , 求这个数列的通项公 式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项 与公差分别是什么?

n

例4.己知等差数列 5,
2 4 4 , 3 ,… 7 7

的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的项数n的值.
2 4 解:由题意知,等差数列5, 4 , 3 , …的公差 7 7
5 n ? 为 7,所以sn= 2

[2×5+(n-1)( ?
7 5n ? 5n 2 14

5 7

)]
15 2 1125 n- 2 ) + 56

=

=

?

5 ( 14

课堂小结
等差数列前n项和公式

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

公式的推证用的是倒序相加法 在两个求和公式中,各有五个元素,只要知 道其中三个元素,结合通项公式就可求出另 两个元素.


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