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2016成才之路·人教B版数学·选修2-2练习:第1章 1.3 第1课时 Word版含解析

第一章

1.3

第 1 课时

一、选择题 1.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调增区间是 导学号 05300199( A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) 答案] D 解析] f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令 f′(x)>0,解得 x>2,故选 D. 2.函数 f(x)=2x-sinx 导学号 05300200( A.是增函数 B.是减函数 C.在(0,+∞)上增,在(-∞,0)上减 D.在(0,+∞)上减,在(-∞,0)上增 答案] A 解析] f′(x)=2-cosx>0 在(-∞,+∞)上恒成立.故选 A. 3.函数 y=xlnx 在区间(0,1)上是 导学号 05300201( A.单调增函数 B.单调减函数 1? ?1 ? C.在? ?0,e?上是减函数,在? e,1?上是增函数 1? ?1 ? D.在? ?0,e?上是增函数,在?e,1?上是减函数 答案] C 1 解析] f′(x)=lnx+1,当 0<x< 时,f′(x)<0, e 1 当 <x<1 时,f′(x)>0. e 1? ?1 ? ∴函数在? ?0,e?上是减函数,在?e,1?上是增函数. 4.函数 y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能是 导学号 05300202( ) ) ) )

D.(2,+∞)

答案] D 解析] 当 x∈(-∞,0)时,f(x)为减函数,则 f′(x)<0,当 x∈(0,+∞)时,f(x)为减函数, 则 f′(x)<0.故选 D. 1 5.(2016· 全国卷Ⅰ文,12)若函数 f(x)=x- sin2x+asinx 在(-∞,+∞)单调递增,则 a 3 的取值范围是 导学号 05300203 ( A.-1,1] 1 1 C.- , ] 3 3 答案] C 1 2 解析] 函数 f(x)=x- sin2x+asinx 在(-∞,+∞)单调递增,等价于 f′(x)=1- cos2x 3 3 4 5 +acosx=- cos2x+acosx+ ≥0 在(-∞,+∞)恒成立.设 cosx=t, 3 3 4 5 则 g(t)=- t2+at+ ≥0 在-1,1]恒成立, 3 3 ) 1 B.-1, ] 3 1 D.-1,- ] 3

?g?1?=-3+a+3≥0 所以? 4 5 ?g?-1?=-3-a+3≥0

4

5



1 1 解得- ≤a≤ .故选 C. 3 3 6.若在区间(a,b)内有 f′(x)>0,且 f(a) ≥0,则在(a,b)内有 导学号 05300204( A.f(x)>0 C.f(x)=0 答案] A 解析] ∵在区间(a,b)内有 f′(x)>0, ∴函数 f(x)在区间(a,b)内是递增的, ∵f(a)≥0,∴f(x)>f(a)≥0.故选 A. 7.(2015· 湖南文,8)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是 导学号 05300205( A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 答案] A 解析] 求出函数的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),函数的定义域为(-1,1),函数 f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-ln(1+ x)-ln(1-x)]=-f(x),所以函数是奇函数.f′(x)= >0,所以 f(x)在(0,1)上单调递增,故选 A. f?x? 8.设函数 F(x)= x 是定义在 R 上的函数,其中 f(x)的导函数 f ′(x)满足 f ′(x)<f(x)对于 e x∈R 恒成立,则 导学号 05300206( A.f(2)>e2f(0),f(2015)>e2015f(0) B.f(2)<e2f(0),f(2015)>e2015f(0) C.f(2)<e2f(0),f(2015)<e2015f(0) D.f(2)>e2f(0),f(2015)<e2015f(0) 答案] C f?x? 解析] ∵函数 F(x)= x 的导数 e f ′?x?ex-f?x?ex f ′?x?-f?x? F′(x)= = <0, ex ?ex?2 f?x? ∴函数 F(x)= x 是定义在 R 上的减函数, e f?2? f?0? ∴F(2)<F(0),即 2 < 0 ,故有 f(2)<e2f(0). e e ) 1 1 2 + = ,已知在(0,1)上 f′(x) 1+x 1-x 1-x2 ) B.f(x)<0 D.不能确定 )

同理可得 f(2015)<e2015f(0).故选 C. 二、填空题 9.函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间为________. 导学号 05300207 答案] (-1,11) 解析] 本题主要考查求导公式和单调区间. f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1), 由(x-11)(x+1)<0 得-1<x<11 ∴f(x)的单调减区间为(-1,11). 10.已知函数 f(x)=ax-lnx,若 f(x)>1 在区间(1,+∞)内恒成立,则实数 a 的取值范围为 ________. 导学号 05300208 答案] a≥1 lnx+1 lnx+1 解析] 由 f(x)>1 得 ax-lnx-1>0, 即 a> 在(1, +∞)上恒成立. 设 g(x)= , g′(x) x x lnx =- 2 . x ∵x>1,∴g′(x)<0,∴g(x)单调递减. 所以 g(x)<g(1)=1 在区间(1,+∞)恒成立. 11.若函数 y=x3-ax2+4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是____________. 导学号 05300209 答案] 3,+∞) 解析] y′=3x2-2ax,由题意知 3x2-2ax≤0 在区间(0,2)内恒成立, 3 即 a≥ x 在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 2 三、解答题 12.(2015· 会宁县校级期中)已知函数 f(x)=ax3+bx2(x∈R)的图象过点 P(-1,2),且在点 P 处的切线恰好与直线 x-3y=0 垂直. 导学号 05300210 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 f(x)在区间 m,m+1]上单调递增,求实数 m 的取值范围. 解析] (1)∵y=f(x)过点 P(-1,2),且在点 P 处的切线恰好与直线 x-3y=0 垂直,
?-a+b=2 ? ∴? , ?3a-2b=-3 ?

∴a=1,b=3, ∴f(x)=x3+3x2. (2)由题意得:f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)>0, 解得 x>0 或 x<-2.

故 f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]和 0,+∞). 即 m+1≤-2 或 m≥0, 故 m≤-3 或 m≥0.

一、选择题 1.已知 f(x)=-x3-x,x∈m,n],且 f(m)· f(n)<0,则方程 f(x)=0 在区间 m,n]上 导学号 05300211( A.至少有三个实数根 B.至少有两个实根 C.有且只有一个实数根 D.无实根 答案] C 解析] ∵f′(x)=-3x2-1<0, ∴f(x)在区间 m,n]上是减函数,又 f(m)· f(n)<0,故方程 f(x)=0 在区间 m,n]上有且只有 一个实数根.故选 C. 2.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能 为 导学号 05300212( ) )

答案] D 解析] 函数 y=f(x)在区间(-∞,0)上单调增,则导函数 y=f′(x)在区间(-∞,0)上函数 值为正, 排除 A、 C, 原函数 y=f(x)在区间(0, +∞)上先增再减, 最后再增, 其导函数 y=f′(x) 在区间(0,+∞)上函数值先正、再负、再正,排除 B,故选 D. 3.(2015· 新课标Ⅱ理,12)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是 导学号 05300213( A.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(-1,0) 答案] A xf′?x?-f?x? f?x? 解析] 记函数 g(x)= ,则 g′(x)= ,因为当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,故当 x x2 B.(-1,0)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞) )

x>0 时,g′(x)<0,所以 g(x)在(0,+∞)单调递减;又因为函数 f(x)(x∈R)是奇函数,故函数 g(x)是偶函数, 所以 g(x)在(-∞, 0)单调递减, 且 g(-1)=g(1)=0.当 0<x<1 时, g(x)>0, 则 f(x)>0; 当 x<-1 时,g(x)<0,则 f(x)>0,综上所述,使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪ (0,1),故选 A. 1 x 1 4.已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(1)=1,且 f(x)的导函数 f′(x)< ,则 f(x)< + 的解集为 2 2 2 导学号 05300214( A.{x|-1<x<1} C.{x|x<-1 或 x>1} 答案] D x+1 1 解析] 该题给出条件 f′(x)< ,要求学生能够联想到不等式 f(x)< 与它的关系,从而 2 2 x+1 1 转化为研究函数的单调性问题.设 F(x)=f(x)- ,则 F′(x)=f′(x)- <0,∴F(x)是减函 2 2 x+1 数.而 F(1)=0,∴f(x)< 的解集为{x|x>1}. 2 二、填空题 5.若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,则 m 的取值范围是________. 导学号 05300215 1 ? 答案] ? ?3,+∞? 解析] f′(x)=3x2+2x+m,依题意可知 f(x)在 R 上只能单调递增,所以 Δ=4-12m≤0, 1 ∴m≥ . 3 6.已知函数 f(x)=x3-ax2-3x 在区间 1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 导学号 05300216 答案] (-∞,0] 解析] ∵f(x)=x3-ax2-3x,∴f ′(x)=3x2-2ax-3,又因为 f(x)=x3-ax2-3x 在区间 1, +∞)上是增函数,f ′(x)=3x2-2ax-3≥0 在区间 1,+∞)上恒成立, a ? ?3≤1, ∴? 解得 a≤0, ?f ′?1?=3×12-2a-3≥0, ? 故答案为(-∞,0]. 1 7.若 f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是________. 2 导学号 05300217 答案] b≤-1 B.{x|x<-1} D.{x|x>1} )

解析] f(x)在(-1,+∞)上为减函数,∴f ′(x)≤0 在(-1,+∞)上恒成立,∵f ′(x)= b b -x+ ,∴-x+ ≤0,∵b≤x(x+2)=(x+1)2-1 在(-1,+∞)上恒成立,∴b≤-1. x+2 x+2 三、解答题 8.求下列函数的单调区间. 导学号 05300218 (1)f(x)=x-lnx; x (2)f(x)= +sinx+3. 2 1 1 解析] (1)函数的定义域为(0,+∞),其导数为 f′(x)=1- ,令 1- >0,解得 x>1. x x ∴(1,+∞)是函数 f(x)的单调递增区间. 1 同理令 1- <0,解得 0<x<1. x ∴(0,1)是 f(x)的单调递减区间. 1 (2)f′(x)= +cosx. 2 1 2π 2π 令 +cosx>0,解得 2kπ- <x<2kπ+ (k∈Z), 2 3 3 2π 2π ∴(2kπ- ,2kπ+ )(k∈Z)是 f(x)的单调递增区间. 3 3 1 2π 4π 令 +cosx<0,解得 2kπ+ <x<2kπ+ (k∈Z), 2 3 3 2π 4π ∴(2kπ+ ,2kπ+ )(k∈Z)是 f(x)的单调递减区间. 3 3 9.(2015· 天津文,20)已知函数 f(x)=4x-x4,x∈R. 导学号 05300219 (1)求 f(x)的单调区间; (2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x),求证: 对于任意的实数 x,都有 f(x)≤g(x). 解析] (1)由 f(x)=4x-x4,可得 f′(x)=4-4x3, 当 f′(x)>0,即 x<1 时,函数 f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>1 时,函数 f(x)单调递减. 所以函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,1),单调递减区间是(1,+∞). 1 (2)设 P(x0,0),则 x0=4 ,f′(x0)=-12,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y=f′(x0)(x 3 -x0), 即 g(x)=f′(x0)(x-x0), 令 F(x)=f(x)-g(x), 即 F(x)=f(x)-f′(x)(x-x0), 则 F′(x)=f′(x) -f′(x0).由于 f(x)=4-4x3 在(-∞,+∞)单调递减,故 F′(x)在(-∞,+∞)单调递减.又 因为 F′(x0)=0,所以当 x∈(-∞,x0)时,F′(x)>0,所以当 x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0. 所以 F(x)在(-∞,x0)单调递增,在(x0,+∞)单调递减,

所以对任意的实数 x,F(x)≤F(x0)=0, 对于任意的正实数 x,都有 f(x)≤g(x).


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