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一类函数不等式问题的探究与拓展


一类函数不等式问题的探究与拓展

问题探究
已知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? x ,
x

e 试证明:

f ( x ?2)

? g ( x) .

视角1 构造函数证明
证明1:

证明2

视角2

可以利用上述不等式的适当放缩证明

证明3

证明4

解题反思

? 我们研究了什么问题?

---函数不等式证明问题;
? 解决问题的策略? ---转化为函数问题,研究其 最值(普适同法);

反思解题过程 梳理解决思路

---辅助不等式适度放缩; ? 用到了哪些思想方法? ---等价转化、分类讨论、数

形结合;
? 涉及哪些技能? ---函数零点判定定理、零点 的整体代换、不等式性质.

解题反思
? 零点的整体代换实施两次 ---将指数式、对数式都化 优化思维过程 积累解题经验 为有理式;

? 不等式的应用一个就行
---另一个通过代换完成.

解题反思
? 问题本质 ---证明不等式 e x ? ln(x ? 2);

概括问题本质 促进方法迁移

? 方法迁移
---相关问题,都可以用前面 的方法证明.

变式1
已知函数 f ( x) ? e x ? ln(x ? m). (1)设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求m,并讨论
f ( x) 的单调性;

(2)当 m ? 2 时,证明: f ( x ) ? 0.

思考分析:
当m ? 2,x ? (?m,??)时, ln(x ? m) ? ln(x ? 2)
故只需证明当 m ? 2时,f ( x) ? e x ? ln(x ? 2) ? 0即可

即证明不等式: e ? ln(x ? 2)
x

变式2
已知函数f ( x) ? e x ? m ? ln(x ? 1). (1)若曲线y ? f ( x)在点(0,f (0))处的切线方程为 y ? 1, 求函数f ( x)的单调区间; (2)当m ? 1时,证明f ( x) ? 2.

变式2中,本质是证明不等式 e x ? ln x ? 2.
小结:本节课 ,问题结构实质是证明不 等式

e ? ln(x ? 2)
x

e ? ln x ? 2.
x

这两个不等式的证明通 法是构造函数(并适度 放缩) .

问道 高考

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感谢您的聆听与参与!


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