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高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线(含详解) (2)


高考数学 140 分难点突破训练——圆锥曲线
1. 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 y ?

1 2 x 的焦点,离心率为 4

2 5 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 A、B 为椭圆上的两个动点, OA OB ? 0 ,过原点 O 作直线 AB 的垂线 OD,垂 足为 D,求点 D 的轨迹方程.

2. 设直线 l : y ? ax ? 1 与双曲线 C : 3x2 ? y 2 ? 1 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点. (I) a 为何值时,以 AB 为直径的圆过原点. (II)是否存在实数 a ,使 OA ? OB 且 OA ? OB ? ? (2,1) ,若存在,求 a 的值,若不存 在,说明理由.

3. (理)设双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的离心率为 e,若准线 l 与两条渐近线 a2 b2

相交于 P、Q 两点,F 为右焦点,△FPQ 为等边三角形. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的值;

(2)若双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为

b 2e 2 求双曲线 c 的方程. a

(文)在△ABC 中,A 点的坐标为(3,0) ,BC 边长为 2,且 BC 在 y 轴上的区间[-3,3] 上滑动. (1)求△ABC 外心的轨迹方程; (2)设直线 l∶y=3x+b 与(1)的轨迹交于 E,F 两点,原点到直线 l 的距离为 d, 求

| EF | 的最大值.并求出此时 b 的值. d

4. 已知点 N (1, 2) , 过点 N 的直线交双曲线 x 2 ? (1)求直线 AB 的方程;

1 y2 ? 1 于 A、 B 两点,且 ON ? (OA ? OB) 2 2

(2)若过 N 的直线 l 交双曲线于 C、D 两点,且 CD ? AB ? 0 ,那么 A、B、C、D 四点是 否共圆?为什么?

5. 设 f ( x ) ?

x 1 x ( b, c 为常数) ,若 f (2) ? ,且 f ( x) ? ? 0 只有唯一实数根 bx ? c 2 2

(1)求 f ( x) 的解析式 (2)令 a1 ? 1, an ? f (an?1 ) 求数列 ?an ? 的通项公式。

6. 已知点 C(-3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满足

CP ? PM ? 0, PM ?

1 MQ 2

(1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)是否存在一个点 H,使得以过 H 点的动直线 L 被轨迹 C 截得的线段 AB 为直径的圆始终 过原点 O。若存在,求出这个点的坐标,若不存在说明理由。

7. 设 x, y ? R, i , j 为直角坐标平面内 x,y 轴正方向上的单位向量,若向量

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? a ? xi ? ( y ? 2) j , b ? xi ? ( y ? 2) j , 且 a ? b ? 8 .
(1)求点 M(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 的交于 A、B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在这样的 直线 l ,使得四边形 OAPB 为矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

8. 已知倾斜角为 45 的直线 l 过点 A ?1, ?2 ? 和点 B ,点 B 在第一象限, AB ? 3 2 。 (1)求点 B 的坐标; (2)若直线 l 与双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 相交于 E , F 两点,且线段 EF 的中点坐标为 a2

? 4,1? ,求 a 的值;
(3) 对于平面上任一点 P , 当点 Q 在线段 AB 上运动时, 称 PQ 的最小值为 P 与线段 AB 的距离。 已知 P 在 x 轴上运动, 写出点 P ? t ,0 ? 到线段 AB 的距离 h 关于 t 的函数关系式。

9. 如图,已知定点 F (1,0) ,动点 P 在 y 轴上运动,过点 P 作 PM ? PF 交 x 轴于点 M,延长 MP 到 N,使 PN ? PM . ⑴求动点 N 的轨迹 C 的方程; ⑵设直线 l 与动点 N 的轨迹 C 交于 A,B 两点,若 OA ? OB ? ?4. 若线段 AB 的长度满足:
4 6 ? AB ? 4 30 ,求直线 l 的斜率的取值范围。

y N
P

M

O

F

x

10. 在 ?OAB 中, | OA |?| OB |? 4, 点 P 分线段 AB 所成的比为 3 ,以 OA 、 OB 所在的直线 为渐近线且离心率为 2 的双曲线 M 恰好经过点 P . ⑴求双曲线 M 的标准方程; ⑵若直线 y ? kx ? m (mk ? 0) 与双曲线 M 交 于不同的两点 E 、 F ,且 E 、 F 两点都在以点

Q(0,?3) 为圆心的同一圆上,求实数 m 的取值范围.

11. 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线 L 与该抛物线交于 A,B 两点. (1) 若线段 AB 的斜率为 k,试求中点 M 的轨迹方程; (2) 若直线的斜率 k>2,且点 M 到直线 3 x+4y+m=0 的距离为

1 ,试确定 m 的取值范围。 5

12. 一束光线从点 F1 (?1, 0) 出发,经直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 上一点 P 反射后,恰好穿过 点 F2 (1 , 0) . (Ⅰ)求点 F1 关于直线 l 的对称点 F1? 的坐标; (Ⅱ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程; (Ⅲ)设直线 l 与椭圆 C 的两条准线分别交于 A 、 B 两点,点 Q 为线段 AB 上的动点,求 点 Q 到 F2 的距离与到椭圆 C 右准线的距离之比的最小值, 并求取得最小值时点 Q 的坐标.

13. 已知椭圆 E:
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ,点 P ( x, y ) 是椭圆上一点。 25 16

(1)求 x ? y 的最值。 (2)若四边形 ABCD 内接于椭圆 E,点 A 的横坐标为 5,点 C 的纵坐标为 4,求四边形面积 的最大值。

14. 已知椭圆的一个焦点 F 1 (0,?2 2 ) ,对应的准线方程为 y ? ?

2 9 2 ,且离心率 e 满足 , 4 3

4 e , 成等比数列. 3
(1)求椭圆的方程; (2)试问是否存在直线 l , 使 l 与椭圆交于不同的两点 M 、N , 且线段 MN 恰被直线 x ? ? 平分?若存在,求出 l 的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由.

1 2

15. 已知向量 a ? ( x, 3 y), b ? (1,0), 且(a ? 3b) ? (a ? 3b) . (Ⅰ)求点 Q( x, y) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 设曲线 C 与直线 y ? kx ? m 相交于不同的两点 M、 N, 又点 A(0, ?1) , 当 A M 时,求实数 m 的取值范围。

? A N

16. 设直线 l : y ? k ( x ? 1) 与椭圆 x 2 ? 3 y 2 ? a 2 (a ? 0) 相交于 A、B 两个不同的点,与 x 轴相交于点 C,记 O 为坐标原点. (I)证明: a ?
2

3k 2 ; 1 ? 3k 2

(II)若 AC ? 2CB, 求?OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.

17. 如图, 已知⊙ O? :? x ? 2? ? y2 ? 8 及点 A ? 2,0 ? , 在 ⊙ O?
2

上任取一点 A′,连 AA′并作 AA′的中垂线 l,设 l 与直线 O? A′ 交于点 P,若点 A′取遍⊙ O? 上的点. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; ( 2 ) 若 过 点 O? 的 直 线 m 与 曲 线 C 交 于 M 、 N 两 点 , 且

O?N ? ? O?M , 则当 ? ? [6, ?? ) 时 , 求直线 m 的斜率 k 的取值范
围.

? 6 ? y ? m? ? 4m 2 ? m ? 0 ? 及点 M 18. 如图,已知⊙ O? : x 2 ? ? ? ? 3 ? ?

2

? 6 ? ,在 ⊙ O? 上任取 0, ? ? 3 m? ? ? ?

一点 M ′,连 M M ′,并作 M M ′的中垂线 l,设 l 与 O? M ′交于点 P, 若点 M ′取 遍⊙ O? 上的点. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程;

(2) 设直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与轨迹 C 相交于 A、 B 两个不 同的点,与 x 轴相交于点 D.若 AD ? 2DB, 求?OAB 的面积取得最大 值时的椭圆方程.

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦 19. 点 A、B 分别是以双曲线 16 20
点的椭圆 C 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且位于 x 轴上方,

PA ? PF ? 0
(1)求椭圆 C 的的方程; (2)求点 P 的坐标; (3)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,点 M 到直线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到 M 的 距离 d 的最小值。

20. 已知正方形的外接圆方程为 x2 ? y 2 ? 24x ? a ? 0 ,A、B、C、D 按逆时针方向排列,正 方形一边 CD 所在直线的方向向量为(3,1). (1)求正方形对角线 AC 与 BD 所在直线的方程; (2)若顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线 E 经过正方形在 x 轴上方的两个顶点 A、B,求 抛物线 E 的方程.

答案: 1. (1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? . a 2 b2

由题意可得: b ? 1,

x2 c 2 5 2 ? ,? a ? 5 ,? ? y ? 1 5 a 5

(2) (1)当直线 AB 的斜率 k 存在时,

设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 ,? ? 5k ? 1? x ? 10kmx ? 5m ? 5 ? 0 ?5 ? y ? kx ? m ?
? x1 ? x2 ? ? 10km 5k 2 ? 1

? y1 y2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m? ? k 2 x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2
OA OB ? 0 ,? x1x2 ? y1 y2 ? 0
即 k ? 1 x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m
2

?

?

2

?k ?0,

2

? 1?? 5m2 ? 5? 10k 2 m2 ? 2 ? m2 ? 0 2 5k ? 1 5k ? 1

? 6m2 ? 5k 2 ? 5 ? 0




OD ? AB, 设D ? x, y ? ,? k ? ?

x y





点 D ? x, y ? 在直线 AB 上,? y ? kx ? m

? m ? y ? kx ? y ?

x2 y


2

? x2 ? x2 x2 ? y 2 ? 6 x 2 ? y 2 ? 5? ? 0 ? 5 ? 5 ? 0 把②③代入①得 6 ? y ? , ? ? 2 2 ? ? y y y ? ?

?

?

? 点 D 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ?

5 ? y ? 0? 6

(2)当直线 AB 的斜率不存在时, D ? ?

? ? ?

5 30 ? 2 2 ,0? ,满足 x ? y ? ? 6 6 ?

? 点 D 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ?
2. 解(I)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

5 6

? y ? ax ? 1 ?3x ? y ? 1
2 2

? (3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 ? 0

?? ? 4a 2 ? 8(3 ? a 2 ) ? 0 ? 2 ?3 ? a ? 0 ? ? ? x ? x ? 2a 1 2 3 ? a2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 a ?3 ?

a2 ? 6 且 a2 ? 3 ,

又以 AB 为直径的圆过原点.既 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? (a2 ? 1) x1 ? x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0

? a ? ?1
(II)
y1 ? y2 ?a x1 ? x2

OA ? OB ? ? (2,1) ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? (2,1) ?

y1 ? y2 1 ? x1 ? x2 2

OA ? OB ? x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 0
1 1 ?1 ? ? a ? 0 ? a ? ? 2 2
右准线 l 的方程为:x=

b a2 ,两条渐近线方程为: y ? ? x . a c

∴ 两交点坐标为

P(

ab ab a2 a2 ). , ) 、 Q( , ? c c c c

∵ △PFQ 为等边三角形,则有 | MF |?

3 | PQ | (如图) . 2

a2 3 ab ab c2 ? a2 3ab ∴ c? . ? ? ( ? ) ,即 ? c 2 c c c c
解得

b ? 3a ,c=2a.∴ e ?

c ? 2. a

(2)由(1)得双曲线 C 的方程为把

x2 y2 ? ? 1. a 2 3a 2

把 y ? ax ? 3a 代入得 (a 2 ? 3) x 2 ? 2 3a 2 x ? 6a 2 ? 0 . 依题意
2 ? ?a ? 3 ? 0, ? 4 2 2 ? ?? ? 12a ? 24(a ? 3)a ? 0



a 2 ? 6 ,且 a 2 ? 3 .

∴ 双曲线 C 被直线 y=ax+b 截得的弦长为

2 l ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? a 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? a 2 ) [x( 1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ]

? (1 ? a 2 )

12 a 4 ? 24(a 2 ? 1)a 2 (a 2 ? 3) 2



l?

b 2c 2 ? 12a . a



144a 2 ? (1 ? a 2 ) ?

72a 2 ? 12a 4 . (a 2 ? 3) 2

整理得 ∴

13a 4 ? 77a 2 ? 102 ? 0 .
51 . 13

a2 ? 2 或 a2 ?

∴ 双曲线 C 的方程为:

x2 y2 13x 2 13y 2 ? ?1或 ? ? 1. 2 6 51 153

(文) (1)设 B 点的坐标为(0, y0 ) ,则 C 点坐标为(0, y0 +2) (-3≤ y0 ≤1) , 则 BC 边的垂直平分线为 y= y0 +1 ①

y?
2

y0 3 3 ? (x ? ) 2 y0 2



由①②消去 y0 ,得 y ? 6x ? 8 . ∵

? 3 ? y0 ? 1 ,∴

? 2 ? y ? y0 ? 1 ? 2 .
2

故所求的△ABC 外心的轨迹方程为: y ? 6 x ? 8(?2 ? y ? 2) . (2)将 y ? 3x ? b 代入 y ? 6x ? 8 得 9 x ? 6(b ?1) x ? b ? 8 ? 0 .
2 2 2 2 由 y ? 6 x ? 8 及 ? 2 ? y ? 2 ,得

4 ?x?2. 3

所以方程①在区间 [ ,2 ] 有两个实根. 设 f ( x) ? 9 x ? 6(b ?1) x ? b ? 8 ,则方程③在 [ ,2 ] 上有两个不等实根的充要条件
2 2

4 3

4 3

是:

?? ? [6(b ? 1)]2 ? 4 ? 9(b 2 ? 8) ? 0, ? ? f ( 4 ) ? 9 ? ( 4 ) 2 ? 6(b ? 1) ? 4 ? b 2 ? 8 ? 0, ? 3 3 3 ? 2 2 ? f (2) ? 9 ? 2 ? 6(b ? 1) ? 2 ? b ? 8 ? 0, ? 4 ? 6(b ? 1) ? 2. ? ? 2?9 ?3 之得 ? 4 ? b ? ?3 .


2 b2 ? 8 2 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? [ (b ? 1)]2 ? 4 ? ? ? 2b ? 7 3 9 3
2

∴ 由弦长公式,得 | EF |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 又原点到直线 l 的距离为 d ?

2 10 ? ? 2b ? 7 3

|b| , 10



| EF | 20 ? 2b ? 7 20 7 2 20 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? 7( ? ) 2 ? 2 d 3 b 3 b b 3 b 7 7
? 4 ? b ? ?3 ,∴

1 1 1 ? ? ?? . 3 b 4 1 1 EF 5 |max ? . ∴ 当 ? ? ,即 b ? ?4 时, | b 4 d 3
∵ 4. (1)设直线 AB: y ? k ( x ? 1) ? 2 代入 x 2 ?
y2 ? 1得 2

(*) (2 ? k 2 ) x2 ? 2k (2 ? k ) x ? (2 ? k )2 ? 2 ? 0 令 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1、x2 是方程的两根 2k (2 ? k ) ∴ 2 ? k 2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 2 ? k2 1 x ?x ∵ ON ? (OA ? OB) ∴ N 是 AB 的中点 ∴ 1 2 ? 1 2 2 ∴

k (2 ? k ) ? ?k 2 ? 2

k = 1

∴AB 方程为:y = x + 1
x ? ?1 或 x ? 3

(2)将 k = 1 代入方程(*)得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 由 y ? x ? 1 得 y1 ? 0 , y2 ? 4 ∴ A(?1, 0) , B ( 3, 4 ) ∵

CD ? AB ? 0

∴ CD 垂直平分 AB

∴ CD 所在直线方程为

y ? ?( x ? 1) ? 2 即 y ? 3 ? x 代入双曲线方程整理得 x 2 ? 6 x ? 11 ? 0

令 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) 及 CD 中点 M ( x0 , y0 ) x ? x4 则 x3 ? x4 ? ?6 , x3 ? x4 ? ?11 , ∴ x0 ? 3 ? ?3 , 2 1 |CD| = 4 10 , | MC | ? | MD | ? | CD | ? 2 10 2

y0 ? 6

| MA | ? | MB | ? 2 10 ,即 A、B、C、D 到 M 距离相等 ∴ A、B、C、D 四点共圆 12 分

5. (1)直线 l 方程为 y ? x ? c 代入

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 得 a2 b2

(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 c 2 ? a 2b 2 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则
x1 ? x2 ? 2a 2 c 2b 2 c , y ? y ? ? 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2

? OC ? OA ? OB

2a 2 c 2b 2 c ? C 点的坐标为 ( 2 ,? ) a ? b2 a2 ? b2
? C 在椭圆上?

4c 2 4a 4 c 2 4b 4 c 2 ?1 即 ? ? 1 a2 ? b2 (a 2 ? b 2 ) 2 (a 2 ? b 2 ) 2

? 4c 2 ? a 2 ? b 2

?

5c 2 ? 2a 2

?e ?

10 5

? AB ? AF ? BF ? (a ? ex1 ) ? (a ? ex2 ) ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ? 2a ?
(2)

c 2a 2 c ? a a2 ? b2

? 2a ?

2ac2 3 ? a 2 2 2 a ?b
? a ? 10, e ?
x2 y2 ? ?1 100 60
2 1 ? 2b ? c 2 ? c ? 4 ? 2b ,又 f ( x) ? x x(2 ? c ? bx ) ? 2 2bx ? 2c

已知

3 a ? 15 2

10 , a ? 2 10 , ? b 2 ? 60 5

? 椭圆方程为

22. (1)? f (2) ? 令 f ( x) ?

2?c b 当 b ? 0 时 c ? 4 方程有唯一实数根 x ? 0 x x ? f ( x) ? 或 f ( x) ? 2? x 4
当 b ? 0 时得方程的实数根 x ? 0 和 x ? (2)当 f ( x) ?

x ? 0 得 x(2 ? c ? bx) ? 0 2

于是 c ? 2, b ? 1

an?1 x 1 , 则 bn ? 2bn?1 ? 1 , 时, a n ? ,令 bn ? 2? x an an?1 ? 2

?bn ? 1 ? 2(bn?1 ? 1)
? bn ? 2 n ? 1 ? an ? 1 2 ?1
n

当 f ( x) ?

?

x 1 1 n ?1 时, a n ? a n ?1 ??an ?为等比数列, a n ? ( ) 4 4 4 1 an ? n 或 an ? 41?n 2 ?1

6. (1)设 M(x,y), P(0, t), Q(s, 0) 则 CP ? (3, t ), PQ ? (s,?t ) 由 CP ? PQ ? 0 得 3s—t =0……………………………………………………①
2

又由 PM ?

1 1 MQ 得 ( x, y ? t ) ? ( s ? x,? y ) 2 2

1 ? x ? ( s ? x) ? ? 2 ?? , ? y ? t ? 1 (? y ) ? 2 ?
把②代入①得 9 x ? (

?s ? 3 x ? ? ? 3 ……………………………………② t? y ? ? 2

3 2 y ) =0,即 y2=4x,又 x≠0 2
2

∴点 M 的轨迹方程为:y =4x(x≠0) (2)如图示,假设存在点 H,满足题意,则

OA ? OB 即OA? OB ? 0
设 A(
2

y1 y , y1 ), B( 2 , y2 ) ,则由 OA? OB ? 0 可 4 4
2

2

2



y1 y2 ? y1 y2 ? 0 解得 y1 y2 ? ?16 16
又 k AB ?

y2 ? y1 4 ? 2 2 y2 y1 y1 ? y2 ? 4 4

则直线 AB 的方程为: y ? y1 ?
2

4 y (x ? 1 ) y1 ? y2 4
2

2

即 ( y1 ? y2 ) y ? y1 ? y1 y2 ? 4x ? y1 把 y1 y2 ? ?16 代入,化简得

(4 x ?16) ? ( y1 ? y) y ? 0
令 y=0 代入得 x=4,∴动直线 AB 过定点(4,0) 答,存在点 H(4,0) ,满足题意。 7. (1)? a ? ( x, y ? 2), b ? ( x, y ? 2), 且 a ? b ? 8

?

?

?

?

即点 M(x,y)到两个定点 F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为 8, ? 点 M(x,y)的轨迹 C 为以 F1(0,-2)、F2(0,2)为焦点的椭圆,其方程为

y2 x2 ? ? 1. 16 12
(2)由题意可设直线 l 方程为 y ? kx ? 3, A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

? y ? kx ? 3 ? 2 由 ? y2 消去 y 得:(4+3k)x +18kx-21=0. x2 ?1 ? ? ? 16 12
18k ? x1 ? x 2 ? ? ? ? 4 ? 3k 2 2 2 此时,△=(18k) -4(4+3k (-21)>0 恒成立,且 ? ? x x ? ? 21 1 2 ? 4 ? 3k 2 ?
由 OP ? OA ? OB 知:四边形 OAPB 为平行四边形. 假设存在直线 l ,使得四边形 OAPB 为矩形,则 OA ? OB,即OA ? 0B ? 0 . 因为 OA ? ( x1 , y2 ),OB ? ( x2 , y 2 ) ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , 而 y1 y2 ? (kx1 ? 3) ? (kx2 ? 3) ? k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 , 故 (1 ? k )( ?
2

21 18k 5 5 ) ? 3k (? ) ? 9 ? 0 ,即 k 2 ? , 得k ? ? . 2 2 4 ? 3k 4 ? 3k 18 4

所以,存在直线 l : y ? ?

5 x ? 3 ,使得四边形 OAPB 为矩形. 4

8. (1)设 B ? x, y ? , x ? 0, y ? 0

y?2 ? ?1 ?x ? 4 ? x ?1 , ?? ? ? y ?1 ? 2 ? x ?1 ? 3 2 ?

? B ? 4,1?
(2)设 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ?

?x ? y ? 3 ? 0 ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 ?1 ? a ? x ? 6a x ? 10a ? 0 , 2 ? 2 ? y ?1 ?a

?1 ? a 2 ? 0 ? ? ??0
x1 ? x2 ?

? a ? ? 0,1?

?1,

10

?

6a 2 ? 8 ,? a ? 2 a2 ?1

(3)设线段 AB 上任意一点 Q ? x, x ? 3? ,1 ? x ? 4

PQ ?

? t ? x ? ? ? x ? 3?
2

2

t ? 3 2 ? t ? 3? ? 2( x ? ) ? 2 2

2

1? x ? 4

?当 1 ?


t ?3 t ?3 t ?3 ? 4 时,即 ?1 ? t ? 5 时,当 x ? 时, PQ min ? ; 2 2 2

t ?3 ? 4 时,即 t ? 5 时,当 x ? 4 时, PQ min ? t 2 ? 8t ? 17 ; 2 t ?3 ? 1 时,即 t ? ?1 时,当 x ? 1 时, PQ min ? t 2 ? 2t ? 5 。 当 2

? t 2 ? 2t ? 5, t ? ?1 ? t ?3 ? ? h ?t ? ? ? , ?1 ? t ? 5 2 ? ? t 2 ? 8t ? 17, t ?5 ?
9. (1) 设动点 N ( x, y), P(0, b), 则 k PF ?
b?0 1 1 ? ?b,? k PM ? , 直线 PN 的方程为 y ? b ? ? x , 0 ?1 b b
?x ? b 2 ? y ? 2b

令 y ? 0得x ? ?b 2 , 即M (?b 2 ,0) 。? P 是 MN 的中点,? N (b 2 ,2b) ,故 ? 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 4 x .

,消去 b 得 N

(2) 直 线 l 的 方 程 为 y ? kx ? b , 直 线 l 与 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 交 点 坐 标 分 别 为
A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,由 OA? OB ? ?4 得 x1 x 2 ? y1 y 2 ? ?4, 即
2 y12 y 2 ? y1 y 2 ? ?4, 则y1 y 2 ? ?8 , 16

又由 ?

? y 2 ? 4x 4 4b 得 ky 2 ? 4 y ? 4b ? 0(k ? 0), 则y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? ? ?8, 即b ? ?2k k k y ? kx ? b ?

由 | AB | 2 ? (1 ?

1 1 ? k 2 16 1? k 2 1 )( y1 ? y 2 ) 2 ? ( 2 ? 32), 可得 6 ? ( ? 2) ? 30 ,解得 k 的取值 2 2 k k k k2 k2

1 1 范围是 [?1,? ] ? [ ,1] 2 2

10. (1)由已知得 y ? 2 x ? 1, 即 L ? {( x, y) | y ? 2 x ? 1} ,∴ P , 1 (0,1) , a1 ? 0, b1 ? 1 ∴ an ? n ? 1, bn ? 2n ? 1. (2)当 n ? 2 时, Pn (n ? 1,2n ? 1), | P ), 1P n |? 5 (n ? 1 ∴ cn ?

5 1 1 1 ? ? ? , n| P n(n ? 1) n ? 1 n 1P n |
n ??

∴ lim(c 2 ? c3 ? … ? c n ) ? lim[(1 ? ) ? (
n ??

1 2

1 1 1 1 ? ) ?…? ( ? )] ? 1. 2 3 n ?1 n

(3) f (n) ? ?

?n ? 1 , (n ? 2k ? 1) ( k ? N ? ),假设存在符合条件的 k 使命题成立,则 ?2n ? 1, (n ? 2k )

① 当 k 为 偶 数 时 , k ? 11 为 奇 数 , 则 f (k ? 11) ? k ? 10, f (k ) ? 2k ? 1 , 由

f (k ? 11) ? 2 f (k ) 得 k ? 10 ? 2(2k ? 1) ? k ? 4 ? N ? .
②当 k 为奇数时, k ? 11 是偶数,则 f (k ? 11) ? 2(k ? 11) ? 1, f (k ) ? k ? 1, 由 f (k ? 11) ? 2 f (k ) 得 2(k ? 11) ? 1 ? 2(k ? 1) ? 23 ? 0, 矛盾. 综合以上知,存在 k ? 4 ? N ? 使得 f (k ? 11) ? 2 f (k ) . 20.解:(1)因为双曲线 M 离心率为 2 ,所以可设双曲线 M 的标准方程

x2 y2 ? ?1 a 2 3a 2

由此可得渐近线的斜率 k ? ? 3 ? ?BOx ? 60?, 从而 B(2,2 3), A(2,?2 3) , 又因为点

P 分线段 AB 所成的比为 3 ,所以 P(2, 3) ,将点 P 的坐标代入双曲线方程的 a 2 ? 3 ,
所以双曲线 M 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 3 9

(2)设 E ( x1 y1 ), F ( x2 , y 2 ), 线段 EF 的中点为 N ( x0 , y0 ) .

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 ? (k 2 ? 3) x 2 ? 2km x ? m 2 ? 9 ? 0 y2 ?1 ? ? 9 ?3
则 k ? 3 且 m ? 9 ? 3k
2 2 2



由韦达定理的 x0 ? ?

km 3m , y0 ? ? 2 , 由题意知 NQ ? EF , k ?3 k ?3
2

所以 k NQ ?

y0 ? 3 ? 3m ? 9 ? 3k 2 1 ? ? ? ? 3k 2 ? 4m ? 9. ② x0 ? 0 ? km k
9 ? m ? 0. 4

由①、②得 m ? 4 或 ?

11. .(1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 直线 AB 的方程为 y=k(x-1) (k≠0),代入 y 2 ? 4 x, ,得 k x -(2k +4)x+k =0 设 M(x ,y).则
2 2 2 2

? x1 ? x 2 k 2 ? 2 x ? ? , ? ? 2 k2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 . ? 2 k ?
∴点 M 的坐标为(

K2 ?2 2 , ) k k2

消去 k 可得 M 的轨迹方程为 2 ? 2 x ? 2( x ? 0).

3?
(2)由 得 d=

k2 ? 2 2 ? 4? ? m 2 k k 1 ? , 5 5

6 8 ? ? ?1 ? 3 ? m, k2 k 1 1 即 0< < ,得 k 2 11 0< ?1 ? 3 ? m ? , 2 15 19 ? ? m ? ?2 或 ? ? m ? ?4, 即 2 2 19 故的取值范围为 (- ,?2) 2

n 1 m ?1 n ? ? 且2? ? ? 3 ? 0. m ?1 2 2 2 9 2 9 2 解得 m ? ? , n ? , 因此,点 F1? 的坐标为 ( ? , ) . 5 5 5 5
12. (Ⅰ)设 F1? 的坐标为 (m, n) ,则 (Ⅱ)? PF1? ? PF 1 ,根据椭圆定义, 得 2a ?| PF1? | ? | PF2 |?| F1?F2 | ?

9 2 (? ? 1) 2 ? ( ? 0) 2 ? 2 2 , 5 5

? a ? 2 , b ? 2 ? 1 ? 1.
∴所求椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

(Ⅲ)?

a2 ? 2 ,? 椭圆的准线方程为 x ? ?2 . c

设点 Q 的坐标为 (t , 2t ? 3) (?2 ? t ? 2) , d1 表示点 Q 到 F2 的距离, d 2 表示点 Q 到椭 圆的右准线的距离. 则 d1 ?

(t ? 1) 2 ? (2t ? 3) 2 ? 5t 2 ? 10t ? 10 , d 2 ? t ? 2 .

d1 ? d2

5t 2 ? 10t ? 10 t 2 ? 2t ? 2 ? 5? , t?2 (t ? 2) 2

t 2 ? 2t ? 2 (?2 ? t ? 2) ,则 令 f (t ) ? (t ? 2) 2 f ?(t ) ? (2t ? 2) ? (t ? 2) 2 ? (t 2 ? 2t ? 2) ? 2(t ? 2) ? (6t ? 8) , ? (t ? 2) 4 (t ? 2) 3
4 f ?(t ) ? 0 , t ? ? , f ?(t ) ? 0 . 3

4 4 ? 当 ? 2 ? t ? ? , f ?(t ) ? 0 , ? ? t ? 2, 3 3 4 ∴ f (t ) 在 t ? ? 时取得最小值. 3
因此,

d1 4 1 4 2 最小值= 5 ? f (? ) ? ,此时点 Q 的坐标为 ( ? , ) . 3 3 3 2 d2

注: f (t ) 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得. 说明:求得的点 Q ( ?

d 4 1 , ) 即为切点 P , 1 的最小值即为椭圆的离心率. 3 3 d2

13. (1)由

x2 y 2 x2 ? ? 1 得 y 2 ? 16(1 ? ) ,则 25 16 25

x2 x ? y ? x ? 16(1 ? ), x ? [?5,5] 25
2 2 2

则 16 ? x ? y ? 25
2 2

所以 x ? y 的最大值为 25,最小值为 16。
2 2

(2)如图,由 xA ? 5 及椭圆方程得 A(5,0) 。同理 C(0,4) ,设 B(5cos? , 4sin ? ) 为椭 圆上任一点,又 AC 方程为

x y ? ? 1 ,即 4 x ? 5 y ? 20 ? 0 。所以 B 到 AC 的距离为 5 4

d1 ?

20cos? ? 20sin ? ? 20 41

20 2 sin(? ? ) ? 20 20 2 ? 20 4 ? ? 41 41

?

同理得 D 到直线 AC 的距离 d 2 ? 所以四边形 ABCD 最大面积 S ?

20 2 ? 20 41

1 AC (d1 ? d 2 ) max ? 20 2 。 2
e? 2 2 3

14. (1)∵

2 4 2 4 , e, 成等比数列 ∴ e 2 ? ? 3 3 3 3

设 p ( x, y ) 是椭圆上任意一点,依椭圆的定义得

x2 ? ( y ? 2 2)2 2 2 ? , 化简得9 x 2 ? y 2 ? 9 9 3 y? 2 4
即x ?
2

y2 ? 1 为所求的椭圆方程. 9
1 相交,不可能垂直 x 轴 2

(2)假设 l 存在,因 l 与直线 x ? ?

因此可设 l 的方程为: y ? kx ? m 由

? y ? kx ? m 消去y, 得9 x 2 ? (kx ? m) 2 ? 9整理得 ? 2 2 ?9 x ? y ? 9
(k 2 ? 9) x 2 ? 2kmx? (m 2 ? 9) ? 0
方程①有两个不等的实数根 ∴ ? ? 4k m ? 4(k ? 9)(m ? 9) ? 0即m ? k ? 9 ? 0
2 2 2 2 2 2





设两个交点 M 、 N 的坐标分别为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) ∵线段 MN 恰被直线 x ? ?

∴ x1 ? x 2 ?

? 2km k2 ?9

1 x ? x2 2km 1 即? 2 ? ?1 平分 ∴ ? ? 1 2 2 2 k ?9

∵k ? 0

∴m ?

k2 ?9 k2 ?9 2 ) ? (k 2 ? 9) ? 0 ③ 把③代入②得 ( 2k 2k

∵k2 ?9 ? 0



k2 ? 9 ?1 ? 0 4k 2

∴ k 2 ? 3 解得 k ?

3或k ?? 3

∴直线 l 的倾斜角范围为 (

? ?

? 2? , )?( , ) 3 2 2 3

15. 由题意得:

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (II)由 ? x 2 得 (3k ? 1) x ? 6mkx ? 3(m ?1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3
由于直线与椭圆有两个不同的交点,?? ? 0 ,即 m ? 3k ? 1
2 2



(1)当 k ? 0 时,设弦 MN 的中点为 P( xp , y p ), xM 、xN 分别为点 M、N 的横坐标,则

yp ?1 xM ? xN 3mk m m ? 3k 2 ? 1 xp ? ?? 2 从而y p ? kx p ? m ? 2 k AP ? ?? 2 3k ? 1 3k ? 1 xp 3mk
m ? 3k 2 ? 1 1 ?? 即2m ? 3k 2 ? 1 ②. 又 AM ? AN ,? AP ? MN , 则 ? 3mk k
2 将②代入①得 2m ? m ,解得 0 ? m ? 2 , 由②得 k ?
2

2m ? 1 1 ? 0, 解得m ? , 3 2

故所求的 m 取值范围是 ( , 2)
2 2 (2)当 k ? 0 时, AM ? AN ,? AP ? MN , m ? 3k ? 1, 解得 ?1 ? m ? 1

1 2

16. 依题意,直线 l 显然不平行于坐标轴,故 y ? k ( x ? 1)可化为 x ?

1 y ? 1. k

将x ?

1 y ? 1代入 x 2 ? 3 y 2 ? a 2 , 消去 x ,得 k 1 2 ( 2 ? 3) y 2 ? y ? 1 ? a 2 ? 0. ① k k ??
2

由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点,得

4 1 ? 4( 2 ? 3)(1 ? a 2 ) ? 0, 2 k k

整理得 (

1 ? 3)a 2 ? 3 , 2 k

即a ?

3k 2 . 1 ? 3k 2

(II)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).由①,得 y1 ? y 2 ?

2k 1 ? 3k 2 ? 2k . 因为 AC ? 2CB, 得y1 ? ?2 y2 ,代入上式,得 y 2 ? 1 ? 3k 2 1 3 于是,△OAB 的面积 S ? | OC | ? | y1 ? y 2 |? | y 2 | 2 2

?

3| k | 3| k | 3 ? ? . 2 2 1 ? 3k 2 3|k|
2

其中,上式取等号的条件是 3k ? 1,即k ? ?

3 . 3

由 y2 ?

? 2k 3 , 可得y 2 ? ? . 2 3 1 ? 3k 3 3 3 3 2 , y2 ? ? 及k ? ? , y2 ? 这两组值分别代入①,均可解出 a ? 5. 3 3 3 3
2 2

将k ?

所以,△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是 x ? 3 y ? 5. 17. (1) ∵l 是线段 A A ? 的中垂线,∴ PA ? PA? , ∴||PA|-|P O? ||=||P A ? |-|P O? ||=| O? A ? |= 2 2 .即点 P 在以 O? 、A 为焦点,以 4 为焦距,以 2 2 为实轴长的双曲线上,故轨迹 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2

(2)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则直线 m 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,则由 O?N ? ? O?M ,得

? y ? k ( x ? 2) x2 ? ? ( x1 ? 2) ? 2 , y2 ? ? y1 . 由 ? 2 , 得 (1 ? k 2 ) y 2 ? 4ky ? 2k 2 ? 0 . ∴ 2 ?x ? y ? 2

y1 ? y2 ?

4k 1? k
2

,

y1 y2 ?

2k

2 2

1? k

,
4k 1? k
2

? ? 16k 2 ? 8k 2 (1 ? k 2 ) ? 8k 2 (1 ? k 2 ) ? 0
2k
2 2 2

.



y2 ? ? y1 , y1 ? y2 ?

, y1 y2 ?
2

1? k

,
1

消去 y1 , y2 , 得 单调递增. ∴
8 1? k
2

8 1? k

?

(1 ? ? )

?
1 49

???

?

? 2 . ∵ ? ? 6 , 函数 g (? ) ? ? ?

1

?

? 2 在 [6, ??) 上

?6? ?2?
6

1

49 6

,

?k

2

? 1 ,所以 ?1 ? k ? ? 或 ? k ? 1 .
7 7 1 7

1

1

故斜率 k 的取值范围为 (?1, ? ] [ ,1) .
7

1

18. (1) ∵l 是线段 MM ? 的中垂线,∴ PM ? PM ? , ∴|PM|+|P O? |=|P M ? |+|P O? |=| O? M ? |=2m ? m ? 0 ? .即点 P 在以 O? 、M 为焦点,以

2 6 y2 x2 m 为焦距, 以 2 m 为长轴长的椭圆上, 故轨迹 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 , 即 3x 2 ?y 2 m ?2 3 m m 3
(2)由 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 得 x ? 将x?

.

1 y ? 1. k


1 3 6 y ? 1 代入 3x2 ? y 2 ? m2 消去 x ,得 ( 2 ? 1) y 2 ? y ? 3 ? a 2 ? 0. k k k
3 3k 2 2 2 ? 1) m ? 3 m ? . ,即 k2 3? k2

由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点,得

??

36 3 ? 4( 2 ? 1)(3 ? m 2 ) ? 0, 2 k k

整理得 (

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ).由①,得 y1 ? y2 ?

6k . 3? k2

∵ AD ? 2DB, 而点 D(?1, 0) , ∴ (?1 ? x1, ? y1 ) ? 2( x2 ? 1, y2 ) ,所以 y1 ? ?2 y2 , 代入上式,得 y2 ?

?6 k . 3? k2

于是,△OAB 的面积 S ?

9| k | 9| k | 3 3 1 3 ? ? . | OD | ? | y1 ? y2 |? | y2 | ? 2 2 2 3? k 2 2 3|k|
2

其中,上式取等号的条件是 k ? 3, 即 k ? ? 3. 由 y2 ?

?6 k . 可得 y2 ? ? 3 . 3? k2
2

将 k ? 3, y2 ? ? 3 及 k ? ? 3, y2 ? 3 这两组值分别代入①,均可解出 a ? 15. ∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是 3x ? y ? 15.
2 2

19. (1)已知双曲线实半轴 a1=4,虚半轴 b1=2 5 ,半焦距 c1= 16 ? 20 ? 6 ,

∴椭圆的长半轴 a2=c1=6,椭圆的半焦距 c2=a1=4,椭圆的短半轴 b2 = 62 ? 42 ?

20 ,

x2 y2 ? ?1 36 20 (2)由已知 A(?6,0) , F (4,0) ,设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则
∴所求的椭圆方程为

AP ? ( x ? 6, y), FP ? ( x ? 4, y), 由已知得 ? x2 y 2 ? ?1 ? 36 20 ? ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ? 3 2 则 2 x ? 9 x ? 18 ? 0 ,解之得 x ? 或x ? ?6 , 2 3 5 ?3 5 ? 3 ,所以点 P 的坐标为 ? , 由于 y>0,所以只能取 x ? ,于是 y ? 3?9 分 2 2 ?2 2 ? m?6 (3)直线 AP : x ? 3 y ? 6 ? 0 ,设点 M 是 (m,0) ,则点 M 到直线 AP 的距离是 , 2 m?6 于是 ? m?6 , 2
又∵点 M 在椭圆的长轴上,即 ? 6 ? m ? 6 ? m ? 2 ∴当 m ? 2 时,椭圆上的点到 M (2,0) 的距离

d 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
又 ?6 ? x ? 6 ∴当 x ?
2

5x2 4 9 ? ( x ? ) 2 ? 15 9 9 2

9 时,d 取最小值 15 2
2

20. (1) 由(x-12) +y =144-a(a<144),可知圆心 M 的坐标为(12,0), π 1 依题意,∠ABM=∠BAM= ,kAB= , 设 MA、MB 的斜率 k. 4 3 则 AB ? (1, ), MA ? (1, k ) 且 cos AB, MA ? 解得 k AC =2, k BD =- 1 . 2

1 3

2 , 2

∴所求 BD 方程为 x+2y-12=0,AC 方程为 2x-y-24=0. 1 (2) 设 MB、MA 的倾斜角分别为θ 1,θ 2,则 tanθ 1=2,tanθ 2=- , 2 设圆半径为 r,则 A(12+
2

5 2 5 2 5 5 ,B(12- , r, r) r, r) 5 5 5 5

再设抛物线方程为 y =2px (p>0),由于 A,B 两点在抛物线上,

5 2 5 ? ( ) =2 p (12 - r r) ? 5 5 ∴? 2 5 5 ( r ) =2p(12+ r) ? ? 5 5
2 2

∴ r=4 5 ,p=2.

得抛物线方程为 y =4x 。

2


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