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高二下数学第一次月考h


正阳高中高二下期第一次月考数学试题 第一卷 试题卷


一、选择题: (每小题只有一个选项正确,每小题 5 分,共 60 分) 1.如图所示, U 是全集, A , B 是 U 的子集,则阴影部分所表示的集合为(

(A) A ? B (C) A ? B
? ?
? ?

(B) A ? ( C U B ) (D) B ? ( C U A ) ( D.
?
2

2.已知向量 a ? (1,1), b ? ( 2 , 0 ) ,则向量 a , b 的夹角为 A.
?
3
2



B.

?
6

C.

?
4

3.已知ξ ~N(0,6 ),且 P(-2≤ξ ≤0)=0.4,则 P(ξ >2)等于 ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.6 D.0.8 X k b 1.C om
2 2 4.若直线 3 x ? y ? a ? 0 过圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心,则 a 的值为(



A. ? 1

B. 1

C. 3

D. ? 3 )

5.“ a ? ? 1 ”是“直线 a x ? 2 y ? 6 ? 0 和 x ? ( a ? 1) y ? 3 ? 0 平行”的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6.已知 s in ? ? A. ?
4 3

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( D.
4 3

4 5

,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan 2 ? 的值等于 B.
24 7



C. -

24 7

7.若直线 l 不平行于平面 ? ,且 l ? ? ,则 ( A. ? 内的所有直线与 l 异面 B. ? 内不存在与 l 平行的直线 C. ? 内存在唯一的直线与 l 平行 D. ? 内的直线与 l 都相交 8.下列命题中错误的个数是 ( ①命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 则 x=1”的否命题是“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 则 x≠1” ②命题 P: ? x 0 ? R ,使 s i n x 0 ? 1 ,则 ? P : ? x 0 ? R ,使 s i n x 0 ? 1 ③若 P 且 q 为假命题,则 P、q 均为假命题 ④"? ?
?
2 ? 2 k ? ( k ? Z ) " 是函数 y ? s in ( 2 x ? ? ) 为偶函数的充要条件

)



A.1 B.2 C.3 D.4 9.有 6 人被邀请参加一项活动,必然有人去,去几人自行决定,共有( )种不同 去法 A. 36 种 B. 35 种 C. 63 种 D. 64 种 x k b 1. c o m 10.二项式 ( a x ?
3 6 ) 的展开式的第二项的系数为 ?
3

3 2

2 ,则 ? x d x 的值为( ?2

a



A. 3

B.

7 3

C. 3 或

7 3

D. 3 或 ?

10 3

2 11.已知点 F 是抛物线 y ? x 的焦点, A , B 是抛物线上的两点, A F ? B F ? 3 ,则

线段 A B 的中点到 y 轴的距离为 A.
3 4

( C.
5 4



B. 1

D.

7 4

9 10 12. 若多项式 x 2 ? x 10 = a 0 ? a 1 ( x ? 1 ) ? ? ? ? ? a 9 ( x ? 1 ) ? a 10 ( x ? 1 ) , a 9 ? ( 则



A.9 B.10 C. ? 9 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分)

D. ? 10

0 13. 如图, A , B , C 是圆 O 上的点, 且 A B ? 4 , ? A C B ? 4 5 , 点 则圆 O

的面积等于



14.设向量 a ? (1, ), b ? ( 2,) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? ( ? 4, 7 ) 共 2 3 ? 线,则 ? ?
新 课 标 第 一 网

15.已知数列 ? a n ? 为等差数列,若 a 3 ? a 4 ? a 5 ? 9 ,则 S 7 ?



16 . 如 果 一 条 直 线 l 和 平 面 ? 内 的 一 条 直 线 平 行 , 那 么 直 线 l 和 平 面 ? 的 关 系 是 . 三、解答题: (写出必要的解题过程,6 大题共 70 分) 17.(本题满分 10 分) 设 X 是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求随机变量 ? 的期望 EX 与方差 DX. X -1
1 2

0 1-2q

1

P

q2

18.(本题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x ) ? 2 3 s in x c o s x ? 2 c o s x ? 1

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间; 分) (6

(Ⅱ)在 ? A B C 中,若 f (

A 2

) ? 2 , b ? 1 , c ? 2 ,求 a 的值.(6 分)

19.(本题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ?
9 ? 2an 2
n

1 2

n ? k n ( k ? N ) ,且 Sn 的最大值为 8.
2

?

(1)确定常数 k,求 an; 分) (5 (2)求数列 { (7 } 的前 n 项和 Tn。 分)

20.(本题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人, 现在采用分层抽样法(层内采用不放回的简单随机抽样)从甲,乙两组中共抽取 3 人进 行技术考核. (1)求甲,乙两组各抽取的人数; 分) (2 (2)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工的概率; 分)x k b 1 .c o m (3 (3)令 X 表示抽取的 3 名工人中男工人的人数,求 X 的分布列及数学期望. 分) (7

21.(本题满分 12 分)

设椭圆 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

( a ? b ? 0 ) 过点 P (1 ,

3 2

) , 且离心率 e ?

3 2



(Ⅰ)求椭圆C的方程; 分) (4 (Ⅱ)学生做:过右焦点 F 的动直线交椭圆于点 A 、 B ,若以 AB 为直径的圆经过短轴上 端点 M ,求直线 AB 的方程; 分) (8 教师做:过右焦点 F 的动直线交椭圆于点 A 、 B ,设椭圆的左顶点为 C ,连接 求 CA 、 CB 且交动直线 l : x ? m 于 M 、 N ;若以 MN 为直径的圆恒过右焦点 F, m 的值.

22.(本题满分 12 分)
2 设函数 f ( x ) ? a ln x ? b x , a , b ? R 。新 |课| 标| 第 |一|网

(1)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? ①求实数 a , b 的值; 分) (3

1 2

相切;

②求函数 f ( x ) 在 [ , e ] 上的最大值;(4 分)
e
2 (2)学生做:当 a ? 1, b ? 0 时,若不等式 f ( x ) ? m ? x 对所有的 x ? ?1 , e ? 都成立,

1

求实数 m 的取值范围.(5 分) 教师做:当 b ? 0 时,若不等式 f ( x ) ? m ? x 对所有的 a ? [ 0 , 求实数 m 的取值范围.
3 2 ], x ? 1 , e

?

2

? 都成立,

高二下期第一次月考数学参考答案 一、DCABC;BBCCC;CD. 二、 13、 8 ? 14、2 三、17.【解析】
由分布列性质得 2? 2 又 1 ? 1 - 2 q ? 0且 q ? q ? 2? 2 2
2

15、21
1 2

16、 l ? ? 或 l // ?

? 1 - 2q ? q

2

?1

? q ?

2

?1

? E? ? 1 ?

2,D ? ?

2 ?1

18.【解析】 (Ⅰ) f ( x ) ?
?
6

3 sin 2 x ? cos 2 x

2分

? 2 sin(2 x ?

)

4 分 w ww.Xk b1.coM

T

?

2?

?

? ?

5分

由2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

得, k ? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

( k ? Z )., 7 分

故 f ( x ) 的单调递增区间为 ? k ? ?
?

?

?
6

,k? ?

? ?

? ( k ? Z ). 3?

8分

(Ⅱ) f (

A 2

) ? 2 ,则 2 s in ( A ?

?
6

) ? 2 ? s in ( A ?

?
6

)? 1

9分

? A ?

?
6

?

?
2

? 2k? , A ?

2? 3

? 2k? , k ? Z

10 分

又 0 ? A ? ? ,? A ?

2? 3

11 分

a

2

? b ? c ? 2bc cos A ? 7
2 2

? a ?

7

12 分

考点:三角函数的性质

点评:解决的关键是利用二倍角公式将表达式化为单一函数,同时能结合性质来得到结论, 属于基础题。 19.【解析】 (1) k ? 4 , a n ?
9 2

(2) T n ? 4 ? ?n;

n? 2 2
n ?1

20.【解析】本题考查离散形随机变量及其分布列的求法,期望的求法,考查了等可能事件 概率的求法公式,是一道应用概率解决实问题的应用题,此类题型随着高考改革的深入,在 高考的试卷上出现的频率越来越高,应加以研究体会此类题的规范解法. (1)求甲,乙两组各抽取的人数,根据分层的规则计算即可;x k b 1. c o m (2)“从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工”这个事件表明是从甲组中抽取了一男一女,计 算出总抽法的种数与) “从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工”的种数, 用古典概率公式即可 求解; (3)令 X 表示抽取的 3 名工人中男工人的人数,则 X 可取值:0,1,2,3,依次算出每和 种情况的概率,列出分布列,据公式求出其期望值即可. 解: (1)
3 15 ? 10 ? 2 3 15 ?5 ? 1

答:从甲组抽取 2 名,从乙组抽取 1 名 (2)从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工的概率为 (3)X 可取值:0,1,2,3
P ( X ? 0) ? C4C3
2 2 1 1

C 4C 6C 5 C 10 C 5
2 1

1

1

1

?

8 15

?

2 25
1 1 1

P ( X ? 1) ?

C 6C 4C 3 ? C 2C 4
1 1 1 1

2

C 10 C 5
2 1

C 10 C 5 31 75 C6C2
2 2 1 1

2

1

?

28 75

P ( X ? 2) ?

C 6 C 3 ? C 2C 6C 4 C 10 C 5
2 1

?

P ( X ? 3) ?

?

2 15

C 10 C 5

X 的分布列为
X 0 1 2 3
2 28 31

2

P

25 75 75 15

? EX ?

8 5

21.【解析】 (Ⅰ)由题意知
c a ? 3 2



1 a
2

?

3 4b
2

? 1 ,解得 a ? 2 , b ? 1

? 椭圆方程为:

x

2

? y

2

?1

5分

4

(Ⅱ)设 A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? AB : x ? ky ?
(4 ? k ) y ? 2
2 2

3

与椭圆方程联立得

3 ky ? 1 ? 0 3k ? 4 , y1 y 2 ? ?1 k
2

? y1 ? y 2 ?

? 2 k
2

? 4
新 |课| 标| 第 |一|网

? x1 x 2 ? k y1 y 2 ?
2

3 k ( y1 ? y 2 ) ? 3

因为 AB 为直径的圆过点 M(0,1),所以
? ? M A ? M B ? ( x 1 , y 1 ? 1 )( x 2 , y 2 ? 1 ) ? 0 ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? ( y 1 ? y 2 ) ? 1 ? 0
(k
2

? 1) y 1 y 2 ? (
2

3 k ? 1 )( y 1 ? y 2 ) ? 4 ? 0

(k -

? 1) ? (

3 k ? 1 )( ? 2 k
2

3k ) ? 4(k

2

? 4)

? 4

? 0

? 3k

2

? 2

3 k ? 15 ? 0 3或 5 3
5 3 3

? k ? ?

3

AB 方程为

x ? ?

3y ?

3或 x ?

y ?

3

老师做:请你仿此自己改一下;设 A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? K 存在时,设直线 A B : y ? k ? x ?
?x y ? ?1 ? 4 2 ? ?y ? k x? 2 联立 ?
2 2

2

?

?

?

得 ? 2 k 2 ? 1? x 2 ? 4 2 k 2 x ? 4 k 2 ? 4 ? 0
4k 2k
2 2

x1 ? x 2 ?

4 2k

2k
2

2

?1
y1

, x1 x 2 ?

? 4 ?1

8分

又C A : y ?

x1 ? 2

?x

? 2?

? ? y1 ? M ? m, ? m ? 2 ? ? X k b 1.C om x1 ? 2 ? ? ???? ? ? ? FM ? ? m ? ?
? m ?

2,

y1 x1 ? 2
y1 y 2

?m

? ? 2?? ?

同理 F N ? ? m ?
?

????

?

2,

y2 x2 ? 2

?m

? ? 2?? ?

10 分

?

2

?

2

?

? x1
?

? 2 ? ? x2 ? 2 ?

?m

? 2? ? 0
2

y1 y 2

k ? 2?

2

?x x
1

2

?

2 ? x1 ? x 2 ? ? 2

?

? x1 ? 2 ? ? x 2

x1 x 2 ? 2 ? x1 ? x 2 ? ? 4

? ?

3?2 2

2

? m ?

?

2

?

2

?

?

2 ?1 2

?

2

?m

? 2? ? 0
2

解得 m ? 2 2 当 k 不存在时, ? M N F 为等腰 R t ?
? M

?m,m ?

2

? A?

2 ,1

?,

由 C、B、M 三点共线易得到 m ? 2 2

综上 m ? 2 2 . 考点:直线与椭圆的位置关系 点评:解决的关键是熟练椭圆的几何性质来得到方程,以及联立方程组的思想,结合韦达定 理来得到根与系数的方法,属于基础题。 22.【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 (1)因为 f '( x ) ?
a x ? 2 b x ∵函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 1 2

相切? ?

? f '(1) ? a ? 2 b ? 0 ? 1 ? f (1) ? ? b ? ? ? 2 ,

解得 a,b 的值。并且 f ( x ) ? ln x ? 性的关系得到最值。

1 2

x , f '( x ) ?
2

1 x

? x ?

1? x x

2

,求导数的符号与函数单调

(2)学生做: m ? (ln x ? x ) min ? 2 ? e

2

老 师 做 : 因 为 当 b=0 时 , f ( x )?
? 3? 0 , ? ? ? 2?

al n若 x

不 等 式 f (x) ? m ? x 对 所 有 的

a?

,x?

?

1 e?, 都成立, ?
2

2 则 a ln x ? m ? x 对所有的 a ? ? 0 , ? , x ? ? 1, e ? 都成立, ? ? 2?

?

3?

即 m ? a ln x ? x , 对所有的 a ? [ 0 , ], x ? ?1, e 2 ? 都成立转化与化归思想的运用。
3 2
? 1 ? x ? e ,? ? e
2 2

? ? x ? ? 1, ? m ? ( ? x ) m i n ? ? e

2

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