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【高考领航】2016高三数学一轮复习 第3章 第6课时 正弦定理、余弦定理及解三角形课时训练 文 新人教


【高考领航】2016 高三数学一轮复习 第 3 章 第 6 课时 正弦定理、 余弦定理及解三角形课时训练 文 新人教版

A 级 基础演练 1 1.(2013·高考北京卷)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B=( 3 1 A. 5 5 B. 9 C. 5 3 D.1 )

解析:选 B.利用正弦定理求解. 在△ABC 中,由正弦定理 , sin A sin B

a



b

1 5× 3 5 bsin A 得 sin B= = = . a 3 9 2.若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC( A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 解析:选 C.在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,∴a∶b∶c=5∶11∶13, 故令 a=5k,b=11k,c=13k(k>0),由余弦定理可得 cos C= )

a2+b2-c2 25k2+121k2-169k2 23 = =- <0, 2 2ab 2×5×11k 110

?π ? 又∵C∈(0,π ),∴C∈? ,π ?,∴△ABC 为钝角三角形. ?2 ?
3.(2013·高考山东卷)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 B=2A,a=1,

b= 3,则 c=(
A.2 3

) B.2 C. 2 D.1

1 3 3 3 3 解析:选 B.由已知及正弦定理得 = = = ,所以 cos A= , sin A sin B sin 2A 2sin Acos A 2

A=30°.结合余弦定理得 12=( 3)2+c2-2c× 3×
或 c=2.

3 2 ,整理得 c -3c+2=0,解得 c=1 2

当 c=1 时,△ABC 为等腰三角形,A=C=30°,B=2A=60°,不满足内角和定理,故 c= 2. 4.(2015·辽宁五校联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ABC 1 2 2 2 的面积,若 acos B+bcos A=csin C,S= (b +c -a ),则角 B 等于( 4 A.90° C.45° B.60° D.30° )

解析:选 C.由正弦定理得 sin Acos B+sin Bcos A=sin Csin C,即 sin(B+A)=sin Csin

C,因为 sin(B+A)=sin C,所以 sin C=1,C=90°.由 S= bcsin A,b2+c2-a2=2bccos A,代入已知得 bcsin A= ·2bccos A,所以 tan A=1,A=45°,因此 B=45°.
5.(2014·高考江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-b) π +6,C= ,则△ABC 的面积是( 3 A.3 3 3 C. 2 ) B. 9 3 2
2 2

1 2

1 2

1 4

D.3 3

解析:选 C.利用所给条件以及余弦定理整体求解 ab 的值,再利用三角形面积公式求解. ∵c =(a-b) +6,∴c =a +b -2ab+6.① π π 2 2 2 2 2 ∵C= ,∴c =a +b -2abcos =a +b -ab.② 3 3 由①②得-ab+6=0,即 ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC= absinC= ×6× = . 2 2 2 2 6.(2014·高考福建卷)在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 3,则 AB 等于__________. 解析:利用余弦定理直接求解. ∵A=60°,AC=2,BC= 3,设 AB=x,由余弦定理,得 BC =AC +AB -2AC·ABcos A, 化简得 x -2x+1=0,∴x=1,即 AB=1. 答案:1 7.(2015·潍坊模拟)小明的爸爸开汽车以 80 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,小明 坐在车里向外观察,在点 A 处望见电视塔 P 在北偏东 30°方向上,15 分钟后到点 B 处望见 电视塔在北偏东 75°方向上,则汽车在点 B 时与电视塔 P 的距离是________km.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

解析:∠PAB=30°,∠PBC=75°, 1 ∴∠APB=45°,AB=80× =20, 4 ∴ = , sin 45° sin 30°

AB

PB

∴PB=10 2. 答案:10 2 8.已知 a、b、c 分别为△ABC 三个内 4 角 A、B、C 的对边,若 cos B= , 5

a=10,△ABC 的面积为 42,则 b+

的值等于__________. sin A

a

3 1 2 2 解析:依题可得 sin B= ,又 S△ABC= acsin B=42,则 c=14.故 b= a +c -2accos B= 5 2 6 2,所以 b+ =b+ =16 2. sin A sin B 答案:16 2 9.(2014·高考浙江卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 4sin +4sin Asin B=2+ 2. (1)求角 C 的大小; (2)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 解析:(1)由已知得 2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+ 2,化简得-2cos Acos B+2sin
2

a

b

A-B
2

Asin B= 2,
故 cos(A+B)=- 2 3π π ,所以 A+B= ,从而 C= . 2 4 4

1 π (2)因为 S△ABC= absin C,由 S△ABC=6,b=4,C= , 2 4 得 a=3 2.由余弦定理 c =a +b -2abcos C,得 c= 10. B 级 能力突破 1.(2014·高考江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 3a=2b,则 2sin B-sin A 的值为( 2 sin A 1 A. 9 C.1
2 2 2 2 2

) B. D. 1 3 7 2

解析:选 D.先利用正弦定理转化边角关系,再求三角函数式的值.



b sin B b = ,∴ = . sin A sin B sin A a

a

b 3 sin B 3 ∵3a=2b,∴ = .∴ = . a 2 sin A 2
2 2 2 2sin B-sin A ?sin B?2 9 7 ?3? ∴ =2? -1=2×? ? -1= -1= . ? 2 sin A 2 2 ?sin A? ?2?

π 2.(2015·昆明调研)已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,若 A= ,b 3 =2acos B,c=1,则△ABC 的面积等于( A. 3 2 3 6 ) B. 3 4 3 8

C.

D.

π 解析:选 B.由正弦定理得 sin B=2sin Acos B,故 tan B=2sin A=2sin = 3.又 B∈(0, 3 π π 1 1 3 π ),所以 B= .又 A=B= ,则△ABC 是正三角形,所以 S△ABC= bcsin A= ×1×1× 3 3 2 2 2 = 3 . 4 )

3. (2015·大连市高三双基测试)在斜三角形 ABC 中, “A>B” 是“|tan A|>|tan B|” 的( A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A.在斜三角形 ABC 中,|tan A|>|tan B|?|sin A·cos B|>|cos Asin B|?(sin Acos

B)2-(cos Asin B)2>0?(sin Acos B+cos Asin B)(sin Acos B-cos Asin B)>0?sin(A
+B)sin(A-B)>0?sin Csin(A-B)>0?sin(A-B)>0;又-π <A-B<π ,因此 sin(A-B)>0 ?0<A-B<π ,即 A>B.因此,在斜三角形 ABC 中, “A>B”是“|tan A|>|tan B|”的充分必 要条件. 4.如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要测出 AB 的距离, 其方法是在 A 所在的岸边选定一点 C, 可以测出 AC 的距离 m, 再借助仪器, 测出∠ACB =α ,∠CAB=β ,在△ABC 中,运用正弦定理就可以求出 AB.

若测出 AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则 A,B 两点间的距离为__________. 解析:∠ABC=180°-75°-45°=60°,

所以由正弦定理得, ∴AB=

= , sin C sin B

AB

AC

AC·sin C 60×sin 45° = =20 6(m). sin B sin 60°

即 A,B 两点间的距离为 20 6 m. 答案:20 6 m 5.(2015·贵阳监测)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin

C-b-c=0,则 A=__________________.
解析:由题意,得 sin Acos C+ 3sin Asin C=sin B+sin C,∴sin Acos C+ 3sin Asin

C=sin(A+C)+sin C,
∴sin Acos C+ 3sin Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C. ∵sin C≠0,∴ 3sin A-cos A=1, 即 3 1 1 sin A- cos A= , 2 2 2

? π? 1 ∴sin?A- ?= , 6? 2 ?
π π π ∴A- = ,∴A= . 6 6 3 π 答案: 3 6.(2014·高考重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+b+c= 8. 5 (1)若 a=2,b= ,求 cos C 的值; 2 9 2B 2A (2)若 sin Acos +sin Bcos =2sin C,且△ABC 的面积 S= sin C,求 a 和 b 的值. 2 2 2 7 解析:(1)由题意可知 c=8-(a+b)= . 2 2 2 ?5? -?7? 2 2 + ?2? ?2? a2+b2-c2 ? ? ? ? 由余弦定理得 cos C= = 2ab 5 2×2× 2 1 =- . 5 (2)由 sin Acos +sin Bcos =2sin C,可得 2 2
2

B

2

A

1+cos B 1+cos A sin A· +sin B· =2sin C, 2 2 化简得 sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C. 因为 sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C, 所以 sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知 a+b=3c. 又因为 a+b+c=8,故 a+b=6. 1 9 由于 S= absin C= sin C,所以 ab=9, 2 2 从而 a -6a+9=0,解得 a=3,b=3.
2


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