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2014-2015学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷


2014-2015 学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷
一、填空题(每题 4 分,共 48 分) 2 1.设集合 M={﹣1,0,1},N={a,a },则使 N?M 成立的 a 的值是 2.不等式 ,当且仅当 a= 时,等号成立.



3.已知函数 g(x)=x﹣ 解析式是 f(x)= .

,那么函数 f(x)=g(x)+h(x)的

4.求值:

=



5.函数

的定义域为



6.函数 y=x +1(x≤﹣1)的反函数为
2

2



7.设函数 f(x)=ax +bx+1(a、b∈R) ,若 f(﹣1)=0,且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立, 则 a+b= . 8.函数 f(x)=ax +bx+6 满足条件 f(﹣1)=f(3) ,则 f(2)的值为 9.若函数 y= 的反函数的图象的对称中心是点(1,3) ,则实数 a 的值为
2

. .

10.在同一平面直角坐标系中,函数 y=g(x)的图象与 y=e 的图象关于直线 y=x 对称.而函 数 y=f (x) 的图象与 y=g (x) 的图象关于 y 轴对称, 若f (m) =﹣1, 则 m 的值是 . 11. 设f (x) 是连续的偶函数, 且当 x>0 时, f (x) 是单调的函数, 则满足 的所有的 x 的和为 12.定义两种运算:a⊕b= 奇偶性为 . . ,则函数 f(x)= 的

x

二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 13.“a=0”是“函数 f(x)=x +ax 在区间(0,+∞)上是增函数”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若函数 f (x)在 (4,+∞) 上为减函数,且对任意的 x∈R, 有 f(4+x) =f (4﹣x) ,则 ( ) A. f(2)>f(3) B. f(2)>f(5) C. f(3)>f(5) D. f(3)>f(6) 15.已知函数 f(x)=( ) ﹣log2x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f (x1) ( ) A. 恒为负值
x 2

B. 等于 0

C. 恒为正值

D. 不大于 0

16.若一系列的函数解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.那么 2 函数解析式为 y=2x +1,值域为{3,19}的“孪生函数”共有( ) A. 15 个 B. 12 个 C. 9 个 D. 8 个

三、解答题 17.已知 loga484=m,loga88=n,试用 m、n 表示 log211.

18.f(x)=

(1)作出函数的大致图象; (2)求不等式 f(x)>f(1)的解集.

19.如果函数 y=x+

的最小值为 6,求 b 的值.

20.通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问 题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持 理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用 f(x)表示学生掌握和 接受概念的能力(f(x)的值越大,表示接受能力越强) ,x 表示提出和讲授概念的时间(单

位:分) ,可以有以下公式:f(x)=

(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少分钟? (2)开讲 5 分钟与开讲 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? (3)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 分钟的时间,老师能否及时在学生一直达到 所需接受能力的状态下讲授完这个难题?

21.已知函数 f(x)= (1)求 a 的值; (2)求 f(x)的反函数 f (x) ; (3)解关于 x 的不等式:f (x)>log2
﹣1 ﹣1

为奇函数,



22.已知函数

,其中 x>0.

(1)当 0<a<b 且 f(a)=f(b) ,求 ab 的取值范围; (2)是否存在实数 a、b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域和值域都是,若存在,求出 a、 b 的值,若不存在,说明理由; (3)若存在 a、b(a<b) ,使得 y=f(x)的定义域为,值域为(m≠0) ,求 m 的取值范围.

2014-2015 学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(每题 4 分,共 48 分) 1.设集合 M={﹣1,0,1},N={a,a },则使 N?M 成立的 a 的值是 ﹣1 . 考点:集合的包含关系判断及应用. 专题:集合. 分析:由真子集的定义即知 N 的元素都是集合 M 的元素,从而分别让 a 取﹣1,0,1,看得 到的集合 N 能否满足 N?M,以及能否符合集合元素的性质,从而便得到 a 的值. 解答: 解:N?M,∴N 的元素都是 M 的元素; 若 a=0,1 时,显然不满足集合的互异性; 若 a=﹣1,则 N={﹣1,1},满足 N?M; ∴a 的值是﹣1. 故答案为:﹣1. 点评:考查列举法表示集合,真子集的定义,以及集合元素的性质. 2.不等式 ,当且仅当 a= ±1 时,等号成立.
2

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:不等式 ,当且仅当 a =1,即 a=±1 时,等号成立.
2

故答案为:±1. 点评:本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.

3.已知函数 g(x)=x﹣ 解析式是 f(x)= x+ , (x≥﹣ ,且 x≠0) .

,那么函数 f(x)=g(x)+h(x)的

考点:函数解析式的求解及常用方法. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据已知,求出函数 g(x) ,h(x)的定义域,进而可得函数 f(x)=g(x)+h(x)的 解析式. 解答: 解:∵函数 g(x)=x﹣ h(x)= , (x≥﹣ ) ,

, (x≥﹣ ,且 x≠0)

∴函数 f(x)=g(x)+h(x)=x+ 故答案为:x+

, (x≥﹣ ,且 x≠0)

, (x≥﹣ ,且 x≠0)

点评:本题考查的知识点是函数的解析式及求法,函数的定义域,解答时一定要注意两个基 本函数定义域对复合函数定义域的影响.

4.求值:

= 4 .

考点:对数的运算性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:直接利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质计算. 解答: 解: = = = .

故答案为:4. 点评:本题考查对数的运算性质,关键是对对数运算法则的记忆与运用,是基础题.

5.函数

的定义域为 (0,7) .

考点:对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 专题:计算题. 分析:根据使函数 的解析式有意义的原则,我们可以构造出自变量 x 的不等

式组,解不等式组,求出 x 的取值范围,即可得到函数

的定义域.

解答: 解:要使函数 自变量必须满足:

的解析式有意义,

解得:0<x<7 故函数 故答案为: (0,7) 的定义域为(0,7)

点评:本题考查的知识点是对数函数的定义域,函数的定义域及其求法,其中正确理解,求 函数的定义域即求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围,是解答本题的关键.
2

6.函数 y=x +1(x≤﹣1)的反函数为

(x≥2) .

考点:反函数. 专题:函数的性质及应用. 分析:由原函数求得 x,把 x,y 互换求得原函数的反函数. 解答: 解:由 y=x +1(x≤﹣1) ,得 x =y﹣1,∴x= x,y 互换得:
2 2 2

(y≥2) ,

(x≥2) , (x≥2) ,

∴函数 y=x +1(x≤﹣1)的反函数为 故答案为: (x≥2) .

点评:本题考查函数的反函数的求法,注意反函数的定义域为原函数的值域,是基础题. 7.设函数 f(x)=ax +bx+1(a、b∈R) ,若 f(﹣1)=0,且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立, 则 a+b= 3 . 考点:二次函数的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 f (﹣1) =0, 可得 b=a+1, 又对任意实数 x 均有 f (x) ≥0 成立, 可得 恒成立,可求出 a,b 的值; 2 解答: 解:∵函数 f(x)=ax +bx+1(a、b∈R) ,f(﹣1)=0, ∴a﹣b+1=0 即 b=a+1, 又对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立 ∴
2 2

恒成立,即(a+1) ﹣4a≤0,

2

可得(a﹣1) ≤0 恒成立 ∴a=1,b=2; a+b=3. 故答案为:3. 点评:本题考查了函数的恒成立问题及二次函数的性质的应用,难度一般,关键是掌握二次 函数的性质. 8.函数 f(x)=ax +bx+6 满足条件 f(﹣1)=f(3) ,则 f(2)的值为 6 . 考点:函数的值;函数解析式的求解及常用方法.
2

专题:计算题. 分析:由题意应对 a 进行分类:a=0 时和 a≠0 时,再由条件分别判断出函数为常函数和二次函 数的对称轴,再由函数的性质求值. 解答: 解:①当 a=0 时,∵f(﹣1)=f(3) , ∴函数 f(x)是常函数,即 a=b=0,∴f(x)=6,则 f(2)=6, ②当 a≠0 时,则函数 f(x)是二次函数,∵f(﹣1)=f(3) , ∴f(x)的对称轴是:x=1, ∴f(2)=f(0)=6, 综上得,f(0)=6 故答案为:6. 点评:本题考查了利用常函数和二次函数的性质求值, 特别再求出对称轴后, 不用 a 和 b 的值 直接由 f(2)=f(0)求解,易错点易忘对 a 进行讨论. 9.若函数 y= 的反函数的图象的对称中心是点(1,3) ,则实数 a 的值为 3 .

考点:反函数. 专题:函数的性质及应用. 分析:由题意可得函数 f(x)= 是(a,1 ) ,比较可得 a 的值 解答: 解:由题意可得函数 f(x)= 又函数 f(x)= ∴a=3, 故答案为:3. 点评:本题考查函数与反函数的图象间的关系,函数的对称中心,由函数 y= 心为(a,1)是解题的关键,是基础题. 10.在同一平面直角坐标系中,函数 y=g(x)的图象与 y=e 的图象关于直线 y=x 对称.而函 数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象关于 y 轴对称,若 f(m)=﹣1,则 m 的值是 .
x

的对称中心是(3,1) ,再由函数的解析式可得对称中心

的对称中心是(3,1) ,

=1+

的对称中心是(a,1 ) ,

得到对称中

考点:反函数. 专题:计算题. x x 分析:由函数 y=g(x)的图象与 y=e 的图象关于直线 y=x 对称,则 y=g(x)的图象与 y=e 互为反函数,易得 y=g(x)的解析式,再由函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象关于 y 轴 对称,进而可以得到函数 y=f(x)的解析式,由函数 y=f(x)的解析式构造方程 f(m)=﹣1, 解方程即可求也 m 的值. x 解答: 解:∵函数 y=g(x)的图象与 y=e 的图象关于直线 y=x 对称 x ∴函数 y=g(x)与 y=e 互为反函数 则 g(x)=lnx,

又由 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象关于 y 轴对称 ∴f(x)=ln(﹣x) , 又∵f(m)=﹣1 ∴ln(﹣m)=﹣1,

故答案为﹣ . 点评: 互为反函数的两个函数图象关于线 y=x 对称,有 f(x)的图象上有(a,b)点,则 (b,a)点一定在其反函数的图象上; 如果两个函数图象关于 X 轴对称,有 f(x)的图象上有(a,b)点,则(a,﹣b)点一定在 函数 g(x)的图象上; 如果两个函数图象关于 Y 轴对称,有 f(x)的图象上有(a,b)点,则(﹣a,b)点一定在 函数 g(x)的图象上; 如果两个函数图象关于原点对称,有 f(x)的图象上有(a,b)点,则(﹣a,﹣b)点一定在 函数 g(x)的图象上. 11. 设f (x) 是连续的偶函数, 且当 x>0 时, f (x) 是单调的函数, 则满足 的所有的 x 的和为 ﹣8 . 考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:计算题. 分析:f(x)为偶函数?f(﹣x)=f(x) ,x>0 时 f(x)是单调函数?f(x)不是周期函数.所 以若 f(a)=f(b)?a=b 或 a=﹣b,再结合已知条件可得正确答案. 解答: 解:∵f(x)为偶函数,且当 x>0 时 f(x)是单调函数 ∴若
2 2

时,即





得 x +3x﹣3=0 或 x +5x+3=0, 此时 x1+x2=﹣3 或 x3+x4=﹣5. ∴满足 的所有 x 之和为﹣3+(﹣5)=﹣8,

故答案为﹣8. 点评:本题属于函数性质的综合应用,属于中档题.解决此类题型要注意变换自变量与函数 值的关系,还要注意分类讨论和数形结合的思想方法的应用. 12.定义两种运算:a⊕b= 奇偶性为 奇函数 . 考点:函数奇偶性的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用新定义把 f(x)的表达式找出来,在利用函数的定义域把函数化简,根据函数奇 偶性的定义进行判断即可. ,则函数 f(x)= 的

解答: 解:由定义知 f(x)=
2

=



由 4﹣x ≥0 且|x﹣2|﹣2≠0,得﹣2≤x<0 或 0<x≤2, 即函数 f(x)的定义域为{x|﹣2≤x<0 或 0<x≤2},关于原点对称; 此时 f(x)= = = ,

则 f(﹣x)=

=﹣

=﹣f(x) ,

故 f(x)是奇函数. 故答案为:奇函数 点评:本题主要考查函数奇偶性的判断,根据新定义将函数进行化简是解决本题的关键. 二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 13.“a=0”是“函数 f(x)=x +ax 在区间(0,+∞)上是增函数”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数的单调性及单调区间. 2 分析:函数 f(x)=x +ax 在区间(0,+∞)上是增函数,结合二次函数的图象求出 a 的范围, 再利用集合的包含关系判充要条件. 解答: 解:函数 f(x)=x +ax 在区间(0,+∞)上是增函数, 反之不成立. 故选 A 点评:本题考查充要条件的判断,属基本题. 14. 若函数 f (x)在 (4,+∞) 上为减函数,且对任意的 x∈R, 有 f(4+x) =f (4﹣x) ,则 ( ) A. f(2)>f(3) B. f(2)>f(5) C. f(3)>f(5) D. f(3)>f(6) 考点:抽象函数及其应用. 分析:因为所给选项为比较函数值的大小,所以要根据已知条件将所给函数值都转化到同一 个单调区间上去,因此分析 f(4+x)=f(4﹣x)的含义也就成了解答本题的关键. 解答: 解:∵f(4+x)=f(4﹣x) , ∴f(x)的图象关于直线 x=4 对称, ∴f(2)=f(6) ,f(3)=f(5) , 又∵f(x)在(4,+∞)上为减函数, ∴f(5)>f(6) , ∴f(5)=f(3)>f(2)=f(6) . 故选 D. 点评: (1)f(a+x)=f(a﹣x)?函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称; (2)f(a+x)=﹣f(a﹣x)?函数 f(x)的图象关于点(a,0)对称;
2 2

0,a≥0,“a=0”?“a≥0”,

(3)f(a+x)=f(b﹣x)?函数 f(x)的图象关于直线 x= (4)f(a+x)=﹣f(b﹣x)?函数 f(x)的图象关于点

对称; 对称.

特别地,当 a=b=0 时,有 f(﹣x)=f(x)及 f(﹣x)=﹣f(x) ,f(x)分别表示偶函数与奇 函数.
x

15.已知函数 f(x)=( ) ﹣log2x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f (x1) ( ) A. 恒为负值

B. 等于 0

C. 恒为正值

D. 不大于 0

考点:函数单调性的性质. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:由于 y=( ) 在 x>0 上递减,log2x 在 x>0 上递增,则 f(x)在 x>0 上递减,再由 条件即可得到答案. 解答: 解:由于实数 x0 是方程 f(x)=0 的解, 则 f(x0)=0, 由于 y=( ) 在 x>0 上递减,log2x 在 x>0 上递增, 则 f(x)在 x>0 上递减, 由于 0<x1<x0,则 f(x1)>f(x0) , 即有 f(x1)>0, 故选 C. 点评:本题考查函数的单调性及运用,考查运算能力,属于基础题. 16.若一系列的函数解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.那么 2 函数解析式为 y=2x +1,值域为{3,19}的“孪生函数”共有( ) A. 15 个 B. 12 个 C. 9 个 D. 8 个 考点:函数的定义域及其求法;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同即可. 2 2 解答: 解:由 y=2x +1=3,得 x =1,即 x=1 或 x=﹣1, 2 2 由 y=2x +1=19,得 x =9,即 x=3 或 x=﹣3, 即定义域内﹣1 和 1 至少有一个,有 3 种结果, ﹣3 和 3 至少有一个,有 3 种结果, ∴共有 3×3=9 种, 故选:C. 点评:本题主要考查函数定义域和值域的求法,利用“孪生函数”的定义是解决本题的关键. 三、解答题 17.已知 loga484=m,loga88=n,试用 m、n 表示 log211.
x x

考点:对数的运算性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:把已知利用对数的运算性质变形求解 loga2,loga11 的值,然后利用对数的换底公式得 到 log211. 解答: 解:∵loga484=m,∴ ,即 ①,

又 loga88=n,∴loga8+loga11=n,即 3loga2+loga11=n②, 联立①②得: , .

∴log211=

=

=



点评:本题考查对数的运算性质,考查了对数的换底公式,是基础的计算题.

18.f(x)=

(1)作出函数的大致图象; (2)求不等式 f(x)>f(1)的解集. 考点:其他不等式的解法;函数的图象. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)分类讨论化简函数的解析式,从而画出函数的图象. (2)结合函数 f(x)的图象可得 f(﹣3)=f(1)=f(3)=0,数形结合可得不等式 f(x)> f(1)的解集.

解答: 解: (1)对于函数 f(x)=

,当 x≥0 时,f(x)=(x﹣3) (x﹣1) ;

当 x<0 时,f(x)=﹣

=﹣(

)=﹣( +

)=﹣ ﹣



故函数 f(x)的图象如图所示. (2)结合函数 f(x)的图象可得 f(﹣3)=f(1)=f(3)=0, 数形结合可得不等式 f(x)>f(1)的解集为{x|﹣3<x<1,或 x>3}.

点评:本题主要考查分段函数的应用,分式不等式的解法,体现了转化、数形结合的数学思 想,属于中档题.

19.如果函数 y=x+

的最小值为 6,求 b 的值.

考点:基本不等式. 专题:不等式. 分析:先求出函数的导数,得到函数的单调区间,结合 x 的范围,从而求出函数取最小值时 的 b 的值. 解答: 解:y′=1﹣ 令 y′>0,解得:x> 令 y′<0,解得:x< ∴函数在(0, ∴函数在 x= = ,

, , ,+∞)递增,

)递减,在( 时取得最小值,
b



+

=6,解得:2 =9,

代入函数的不表达式得:x=3, ∵x≥4,不合题意, ∴x=4 时,函数值最小, 此时:4+ =6,解得:b=3.

点评:本题考查了函数的单调性、最值问题,考查不等式取最小值时的条件,是一道中档题. 20.通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问 题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持

理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用 f(x)表示学生掌握和 接受概念的能力(f(x)的值越大,表示接受能力越强) ,x 表示提出和讲授概念的时间(单

位:分) ,可以有以下公式:f(x)=

(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少分钟? (2)开讲 5 分钟与开讲 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? (3)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 分钟的时间,老师能否及时在学生一直达到 所需接受能力的状态下讲授完这个难题? 考点:函数模型的选择与应用;分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)通过分别求出当 0<x≤10、10<x≤16、x>16 时各自 f(x)的最大值即得结论; (2)通过计算 f(5)与 f(20)的大小即得结论; (3)通过令 f(x)=55,计算出 0<x≤10、x>16 时各自的解并比较两个解的差的绝对值与 13 的大小关系即可. 解答: 解: (1)依题意,①当 0<x≤10 时,f(x)=﹣0.1x +2.6x+43=﹣0.1(x﹣13) +59.9, 2 故 f(x)在 0<x≤10 时递增,最大值为 f(10)=﹣0.1(10﹣13) +59.9=59, ②当 10<x≤16 时,f(x)≡59, ③当 x>16 时,f(x)为减函数,且 f(x)<59, 因此,开讲 10 分钟后,学生达到最强接受能力(为 59) ,能维持 6 分钟时间. (2)∵f(5)=﹣0.1(5﹣13) +59.9=53.5, f(20)=﹣3×20+107=47<53.5, ∴开讲 5 分钟时学生的接受能力比开讲 20 分钟时要强一些. (3)当 0<x≤10 时,令 f(x)=55,解得 x=6 或 20(舍) , 当 x>16 时,令 f(x)=55,解得 x=17 , 因此学生达到(含超过)55 的接受能力的时间为 17 ﹣6=11 <13, ∴老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题. 点评:本题考查函数模型的性质与应用,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的 积累,属于中档题.
2 2 2

21.已知函数 f(x)= (1)求 a 的值; (2)求 f(x)的反函数 f (x) ; (3)解关于 x 的不等式:f (x)>log2
﹣1 ﹣1

为奇函数,



考点:反函数;函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用.

分析: (1)利用函数的奇偶性,得到 f(﹣x)=﹣f(x) ,解方程即可求 a 的值; (2)根据反函数的定义即可 f(x)的反函数 f (x) ; (3)根据对数函数的单调性,结合分式不等式的解法进行求解即可. 解答: 解: (1)∵函数的定义域为{x|x≠0}且 f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 即 f(﹣x)+f(x)=0, 即 + =0,
﹣1



+
x x

=0,

即﹣a﹣2 +a?2 +1=0, x 则(1﹣a) (1﹣2 )=0, ∵x≠0, ∴1﹣a=0.即 a=1. 此时 f(x)= .

(2)由 y=
x x

得(2 ﹣1)y=2 +1.

x

x

即 y?2 ﹣y=1+2 , x 即(y﹣1)?2 =1+y, 当 y=1 时,方程等价为 0=1,不成立, ∴y≠1, 则2 =
x

,由 2 =

x

>0 得 y>1 或 y<﹣1,

即函数 f(x)的值域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , 由2 =
x

,得 x=log2
﹣1

, ,x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ; . .

即 f(x)的反函数 f (x)=log2 (3)∵f (x)>log2 ∴log2 >log2
﹣1

①若 k>0,则 x+1>0,即 x>﹣1, ∵x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ; ∴此时 x>1, 此时不等式等价为 > ,即 ,

则 0<x﹣1<k,即 1<x<k+1, ②若 k<0,则 x+1<0,即 x<﹣1,

∵x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ; ∴此时 x<﹣1, 此时不等式等价为 > ,即 < ,

则 x﹣1>k,即﹣1>x>k+1, 综上若 k>0,不等式的解集为(1,1+k) , 若 k<0,不等式的解集为(1+k,﹣1) . 点评:本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数反函数的求解,对数不等式的求解,综合性 较强,运算量较大,有一定的难度.

22.已知函数

,其中 x>0.

(1)当 0<a<b 且 f(a)=f(b) ,求 ab 的取值范围; (2)是否存在实数 a、b(a<b) ,使得函数 y=f(x)的定义域和值域都是,若存在,求出 a、 b 的值,若不存在,说明理由; (3)若存在 a、b(a<b) ,使得 y=f(x)的定义域为,值域为(m≠0) ,求 m 的取值范围. 考点:函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题:分类讨论;函数的性质及应用. 分析: (1)讨论 a,b 的范围,确定 a∈(0,1) ,b∈,由此出发探究 a,b 的可能取值,可 分三类:a,b∈(0,1)时,a,b∈(1,+∞)时,a∈(0,1) ,b∈(1,+∞) ,分别建立方程, 寻求 a,b 的可能取值,若能求出这样的实数,则说明存在,否则说明不存在; (3)由题意,由函数 y=f (x)的定义域为,值域为(m≠0)可判断出 m>0 及 a>0,结合(1) 的结论知只能 a,b∈(1,+∞) ,由函数在此区间内是增函数,建立方程,即可得到实数 m 所 满足的不等式,解出实数 m 的取值范围.

解答: 解: (1)f(x)=



若 a,b∈(0,1) ,f(x)递减,f(a)>f(b)不成立; 若 a,b∈, 而 y≥0,x≠0,所以应有 a>0,

又 f(x)=



①当 a,b∈(0,1)时,f(x)在(0,1)上为减函数,

故有

,即



由此可得 a=b,此时实数 a,b 的值不存在. ②当 a,b∈(1,+∞)时,f(x)在∈(1,+∞)上为增函数,

故有

,即
2



由此可得 a,b 是方程 x ﹣x+1=0 的根,但方程无实根, 所以此时实数 a,b 也不存在. ③当 a∈(0,1) ,b∈(1,+∞)时,显然 1∈, 而 f(1)=0∈不可能,此时 a,b 也不存在. 综上可知,符合条件的实数 a,b 不存在; (3)若存在实数 a,b 使函数 y=f(x)的定义域为,值域为(m≠0) . 由 mb>ma,b>a 得 m>0,而 ma>0,所以 a>0, 由(,1)知 a,b∈(0,1)或 a∈(0,1) ,b∈(1,+∞)时, 适合条件的实数 a,b 不存在,故只能是 a,b∈(1,+∞) , ∵f(x)=1﹣ 在∈(1,+∞)上为增函数



,即
2



∴a,b 是方程 mx ﹣x+1=0 的两个不等实根,且二实根均大于 1,



,解之得 0<m< ,

故实数 m 的取值范围是(0, ) . 点评:本题的考点是函数与方程的综合应用,考查了绝对值函数,函数的定义域、值域,构 造方程的思想,二次方程根与系数的关系等,解题的关键是理解题意,将问题正确转化,进行 分类讨论探究,属于难题和易错题.


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