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正弦和余弦函数的图像及性质..


授课教师:谷元芳

正弦函数.余弦函数的图象和性质

想一想?

1. sinα、cosα、tanα的几何意义.

y
T 1 P

正弦线MP

余弦线OM

o

M

A 1

x

正切线AT

三角问题

几何问题

正弦函数.余弦函数的图象和性质

新课:
1.函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ? 图象的几何作法

利用三角函数线 作三角函数图象

....

描点法: 查三角函数表得三角函数值,描点 ( x, sin x),连线.
y ? sin ? 如: x ? ? 3 ? 0.8660 3 查表 ) 描点 ( ? 3 ,0.8660

y

P
?
3

y 1 1

O

M

x 0

?

2

?

的从 点而 确 定 对 应
1

-? 3 2

2?

-

x

?1 -

坐巧 标妙 系地 内移 ,动 到 直 角

几何法: 作三角函数线得三角函数值,描点 ( x, sin x) ,连线
? 如: x ? ? 作 3 的正弦线 MP, 3 平移定点 ( x, MP)

用几 单何 位法 圆作 中图 角的 的关 正键 弦是 线如 ,何 利

(x,sinx).

x

正弦函数.余弦函数的图象和性质 函数

y ? sin x, x ? ?0,2? ? 图象的几何作法

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线

y

1
/ p1

?

-

o-1

6

-A

o
-1

?
6

?

3

-

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

正弦函数.余弦函数的图象和性质

2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的?
(1).列表
y ? sin x, x ? ?0,2? ?
?
1 2

x
y

0

6

?

?

3

2

2? 3
3 2

5? 6
1 2

?
0

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

0

3 2

1

?1 2

?

3 2

?1

? 23

?1 2

0

(2).描点

y 1 0

?

2

?

-? 3 2

2?

-

x

(3).连线

?1 -

y

正弦曲线
1
-

? 4?

? 2?

o
-

2?

4?

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象 形状相同

-

-

-

-

-

-1

用诱导公式来作余弦函数y=cosx,x∈R的的图像 y= cosx = cos(-x) = sin[
y

?
2

-(-x)] = sin(x+ 2 )
从图像中我们看到cosx由sinx ? 向左平移 2 个单位后得到

?

1
-

? 4?

? 2?

o
-

2?

4?

x

-

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象 形状相同

-

-

-

-

-

-1

想一想

请观察正弦曲线、余弦曲线的形状 和位置,说出它们的异同点.
y 正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 y ? sin x , x ? R 的图象
1-

它们的形状相 同,且都夹在 两条平行直线 y=1与y=-1 之间。但它们 的位置不同, 正弦曲线交y 轴于原点,余 弦曲线交y轴 于点(0,1).

o

x

? 6?
-

? 4?

? 2?

2?
-1 -

4?

6?

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2 ? , 0 ?, ? 0 , 2 ? ? , ? 2 ? , 4 ? ?,         y ……与y=sinx,x∈[0,2π ]的图象相同

正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
o x
1-

-

-

-

-

-

? 6?
-

? 4?

? 2?

2?
-1 -

4?

6?

-

?? 4 ? ,? 2? ? 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 y=cosx的图象在……, , ? ? 2 ? , 0 ?,         ……与y=cosx,x∈[0,2π ]的图象相同
余弦函数 y

? cos x , x ? R 的图象

-

?0

-

-

-

-

,2?

?, ? 2 ?

, 4 ? ?,

y 正弦函数 .余弦函数的图象和性质

1-

图象的最高点
?
2

(? 1) 2 ,

o
-1
-

?

3? 2

2?

x

与x轴的交点
(0,0) (? ,0) (2? ,0)
( 32?, ? 1)

图象的最低点

简图作法 (五点作图法) (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
1

图象的最高点

(0,1) (2? ,1)

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

3? 2 ,0) ( 2 ,0) 与x轴的交点( ?

图象的最低点 (? ,?1)

正弦函数.余弦函数的图象和性质

例题
作函数y=sinx+1,x∈[0,2π]的简图 解: 列表
x
sin x sin x ? 1
0
0
?
2

描点作图
?
0
3? 2

y
2 1 -

2?

1 2

?1

1

1

0

0 1

?1 -

o

?
2

?

3? 2

2?

x

练习 : 作函数 y=-cosx,x∈[0,2π]的草图
作函数 y= sinx + 小值
1 2
3 2

cosx草图,求y的最大值和最

练习:作函数y= -cosx,x∈[0,2π]的草图 解: 列表 cosx -cosx
X

0

1
?1

? 2

?
?1

3? 2

2?
1

0 0

0

y
2 1 -

1

0

1

?1 -

o

?
2

?

3? 2

2?

x

作函数 y= sinx + 小值
y= sinx+
1 2

1 2

3 2

cosx草图,求y的最大值和最

解:用辅角公式化简函数
3 cosx 2

= sinxcos 3 + cosxsin 3 = sin(x+ 3 )
换元法

?

?

?

? X+ 3

0 -
? 3

x y

? 2 ? 6

?
2? 3

3? 2
7? 6

2?
5? 3

0

1

0

-1

0

y=sin(x+ 3 )图像如下所示
y

?

最大值为 1,最小值为-1

2
-

1

??
-

?

? 3

2? 3

?

2?

x

-

-

-

-

o

-

1
2

想一想?

正弦曲线、余弦曲线,它们图象有何特征?
y

正弦函数 y ? sin x , x ? R

的图象

? 6?

? 4?

? 2?

o

1-

2?

4?

6?

x

-

? 6?

余弦函数

-

正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
y
o x

? 4?

y ? co s x , x ? R
的图象

? 2?

-

-1-

-

-

2?
1-

4?

6?

-

-

-

-1-

-

-

正弦函数.余弦函数的图象和性质

y 正弦函数.余弦函数的图象和性质 y 正弦函数 .余弦函数的图象和性质 正弦函数 y ? sin x , x ? R 的图象

? 6?
-

1-

? 4?

-1

o
-1 -

2? y=sinx ? x的图象在 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 ……, 与 x轴的交点 ?? 4? ,?2? ? , ?? 2 ? , 0 ?, ? 0 , 2 ? ? , ? 2 ? , 4 ? ?, (? , 0 ) (2? ,0)         ……与y=sinx,x∈[0,2 π y (0 , 0] )的图象相同

?

6

?

?

3

2

2? 3

本节课小结
o
1-

x

? 2?

-1-

2?

4?

6?

-

-

-

-

-

图象的最高点

-

(? 2 ,1 )

y 正弦函数 .余弦函数的图象和性质

1-

简图作法 (五点作图法) 正弦、余弦函数 y=sinx,y=cosx的图象 o x (1) 列表 ( 列出对图象形状起关键作用的五点坐标 ) y (2) 描点(定出五个关键点) ( 0 ,1 ) y ? sin x , x ? R ? 6? ? 4? ? 2? 2? 4? 6? (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点 ) 图象的最高点
1正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 的图象
y

-

-

5? 6

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

本节课小结
-

( ? 1) 图象的最低点
3? 2,

-

-

1-1

-

-

-

-1-

图象的最高点
3? 2 5? 3 11 ? 6

(? 2 ,1 )

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

1-

o
-1 -

2?

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 y=sinx的图象在……, ? y=cosx ? ?? ? ?? 4 ( 0 , 0 ) (? , 0 ) (2? ,0) ? , ? 2? ? 3 ? 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 的图象在 …… ? ? 0…… ), ? ? ? ? ?( ? ? ,? (         与y=sinx,x∈[0,2π ]的图象相同 , ? ? 2 ? , 0 ?, 2 ,0 ) 2 图象的最低点 ( ? 1) (? ,?1)         ……与y=cosx,x ∈[0,2π ]的图象相同 简图作法 (五点作图法) o 2? ? x -1 (1) 正弦、余弦函数 y=sinx,y=cosx的图象 y 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 图象的最低点 y ? cos x , x ? R (2) 描点(定出五个关键点)
-

o

?

6

?

?

3

2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

2?

x x轴的交点 与

?0

,2?

?, ? 2 ?
7? 6

, 4 ? ?,

与x轴的交点
,0 , 0 ,2 , 2
y

(2? ,1)
4?
-

6 ? x

-

-

-

-

? 4 ,? 2

, ? 2

,4

,

-1 -

?

6

?

3

?

2

2? 3

5? 6

3? 2,

-

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点) -1 余弦函数 1-1

图象的最高点 (2? ,1)
(? ,0 ) ( ? ,0 ) 与x 轴的交点
2 3 2
11 ? 6

( 0 ,1 )

? 6?
-

? 4?

? 2?

o

2?

4?

1-

6? x

-

-

-

-

-

-

的图象

-1 -

o
-1 -

?

6

?

3

?

2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

2?

图象的最低点

x

(? ,?1)

, ? ? 2 ? , 0 ?, 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 y=cosx的图象在……, ? 0 , 2 ? ?, ? 2 ? , 4 ? ?,         ……与y=cosx,x∈[0,2π ]的图象相同

?? 4? , ? 2? ?

-

余弦函数 y

? cos x , x ? R 的图象

思考题;用五点发作出下面函数的图象(只画出一 个周期) ( 1). y=2sinx (2).y=2sinx+1

(3).y=sin2x


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