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青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修2-1导学案 第三章 空间向量与立体几何

第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算学案编号:GEXX2-1T3-1-1
【学习要求】1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示和字母表示. 2.掌握空间 向量的加减运算及其运算律 ,能借助图形理解空间向量及其运算的意义 ,掌握空间向量数乘运 算的定义和运算律. 【学法指导】把平面向量的有关概念和运算推广到空间,空间向量的概念运算与平面向量类 似,学习中要结合直观图形,培养空间想象能力. 1.空间向量的概念

→ → 2.空间向量的运算法则 如图已知两个不平行的向量 a,b,作向量OA=a,OB=b.这时,O, → → → → A,B 三点不共线,于是这三点确定一个平面.有以下结论:(1)a+b=OA+OB=OA+AC= ________; → → → → (2)a-b=a+(-b)=OA+AD=OD=BA=_______________; → → → → (3)当 λ>0 时,λa=QP=λOA;当 λ=0 时,λa=0;当 λ<0 时,λa=MN=λOA. 所以,平面向量求和的__________法则和______________法则,对空间向量同样成立. 3 . 空 间 向 量 的 运 算 律 (1) 加 法 交 换 律 : ________________ ; (2) 加 法 结 合 律 : ________________________;(3)分配律:___________________,____________________. 探究点一 空间向量的概念 问题 1 → → → 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA,OB,OC,它们和以前所

学的向量有什么不同?问题 2 向量可以用有向线段表示,是否可以说向量就是有向线段? 问题 3 若 a∥b,b∥c,则 a∥c,这个结论对吗? 例 1 给出下列命题:①两个空间向量相等,则它们起点相同,终点也相同; → → ②若空间向量 a,b,满足|a|=|b|,则 a=b;③在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,必有AC=A1C1; ④若空间向量 m,n,p 满足 m=n,n=p,则 m=p;⑤空间中任意两个单位向量必相等.其 中不正确的命题的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4 跟踪训练 1 下列说法中正确的是 ( ) A.若|a|=|b|,则 a、b 的长度相同方向相同或相反 B.若向量 a 是向量 b 的相反向量,则|a| =|b|

-1-

C.空间向量的减法满足结合律 → AC

→ → D.在四边形 ABCD 中,一定有AB+AD=

探究点二 空间向量的加减运算 问题 1 怎样计算空间两个向量的和与差? 问题 2 使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求? 例 2 如图,已知长方体 ABCD—A′B′C′D′,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向 → → 量.(1)AA′-CB; → → (2)AA′+AB+B′C′.

→ → → → → → → → 跟踪训练 2 化简:(1)(AB-CD)-(AC-BD);(2)(AB+CD)- (AC+BD). 探究点三 空间向量的数乘运算 问题 思考实数 λ 和空间向量 a 的乘积 λa 的意义? → → → → 1 例 3 设 A 是△BCD 所在平面外的一点,G 是△BCD 的重心.求证:AG= (AB+AC+AD). 3 → → → 1 如图空间四边形 ABCD 中,E、F 分别为 AD、BC 的中点.证明:EF = (AB+DC). 2 )

跟踪 3

→ → → 【达标检测】1.已知空间四边形 ABCD,连接 AC、BD,则AB+BC+CD为( → A. AD → B. BD → C. AC D.0

2.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的中心为 O,则在 下列各结论中正确的共有 (

)

→ → → → → → → → ①OA+OD与OB1+OC1是一对相反向量;②OB-OC与OA1-OD1是一对相反向量; → → → → → → → → ③OA+OB+OC+OD与OA1+OB1+OC1+OD1是一对相反向量; → → → → ④OA1-OA与OC-OC1是一对相反向量.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

→ 3.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,与向量AD相等的向量共有________个. 1 1 4. (2a-2b+c)- (a+3b-c)=____________. 2 3 5.已知点 O 是平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 对角线的交点,点 P 是空间任一点. → → → → → → → → → 证明:PA+PB+PC+PD+PA1+PB1+PC1+PD1=8PO. 【课堂小结】1.空间向量的概念和平面向量类似,向量的模,零向量,单位向量,相等向量 等都可以结合平面向量理解.2.向量可以平移,任意两个向量都是共面向量.因此空间两个 向量的加减法运算和平面向量完全相同,利用平行四边形法则和三角形法则进行.3.空间加 法和数乘运算和平面向量一样,满足交换律、结合律、分配律.

-2-

第三章 §3.1
一、基础过关 1.下列说法正确的是

空间向量与立体几何 空间向量的线性运算

空间向量及其运算 3.1.1

(

)

A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 → → → → 2.设有四边形 ABCD,O 为空间任意一点,且AO+OB=DO+OC,则四边形 ABCD 是( A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.矩形 )

→ 1 → 3.已知空间四边形 ABCD,M、G 分别是 BC、CD 的中点,连接 AM、AG、MG,则AB+ (BD 2 → +BC)等于 → A.AG → B.CG → C.BC 1→ D. BC 2 ( )

→ → → → → 4.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,给出以下向量表达式:①(A1D1-A1A)-AB;②(BC+BB1) → → → → → → → → -D1C1;③(AD-AB)-2DD1;④(B1D1+A1A)+DD1.其中能够化简为向量BD1的是 ( )

A.①② B.②③ C.③④ D.①④ → → → 5.如图,空间四边形 OABC,OA=a,OB=b,OC=c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 是 → BC 的中点,则MN等于( 1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 ) 1 1 2 C. a+ b- c 2 2 3 2 2 1 D. a+ b- c 3 3 2 ( )

2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2

→ → → → → → 6.已知向量AB,AC,BC满足|AB|=|AC|+|BC|,则 → → → A.AB=AC+BC → → → B.AB=-AC-BC → → C.AC与BC同向

→ → D.AC与CB同向

→ → → → 7.化简:(AB-CD)-(AC-BD)=________. → → → 8.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若A1B1=a,A1D1=b,A1A= → c,则B1M=____________. 9.如图,设 O 为?ABCD 所在平面外任意一点,E 为 OC 的中点. → 1→ → 3→ 若AE= OD+xOB- OA,则 x=________. 2 2 二、能力提升

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→ → → 10.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是 CC1 的中点,设AB=a,AD=b,AA1=c. → 试用 a,b,c 表示AE.

11.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,O1 为 A1B1C1D1 的中心. → → → 1 → → 化简:A1D1+CC1-CD+ (CB+B1A1). 2

12.如图所示,在长、宽、高分别为 AB=3,AD=2,AA1=1 的长方体 ABCD—A1B1C1D1 且以 八个顶点的两点为始点和终点的向量中, (1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为 5的所有向量; → (3)试写出与AB相等的所有向量; → (4)试写出AA1的相反向量.

三、探究与拓展 13.如图所示,已知空间四边形 ABCD,连接 AC,BD,E,F,G 分别是 BC,CD,DB 的中 → → → 点,请化简 (1)AB+BC+CD; 向量. → → → (2)AB+GD+EC,并标出化简结果的

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