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江门市2012年普通高中高二数学调研测试及答案


秘密★启用前

江门市 2012 年普通高中高二调研测试



学(理科)
评分参考

一、选择题 二、填空题 ⒐9

BCDD CABA

⒑③④(只填 1 个正确的给 3 分;若填有错误的,则为 0 分) ⒓ ?x0 ? R ,x0 ? 2x0 ? 2 ? 0( x0 全写成 x 不扣分;? 写成 ? 给 3 分) ⒕1120 ⒖1
2

⒒0.1587 ⒔0 三、解答题

? ? ? 1 3 ⒗⑴ f (? ) ? 2 sin 2 (? ) ? 3 sin( ? ) ??1 分, ? 2 ? (? ) 2 ? 3 ? (? ) ?? 3 6 3 2 2
3 分, ? ?1 ??5 分 ⑵ f ( x) ? 1 ? cos x ? 3 sin x ?? 7 分, ? 2 sin(x ?
2k? ?

?
6

) ? 1 ?? 9 分,解不等式 2? ( k ? Z ) ?? 11 3

?
2

3 ? 2? ] ( k ? Z )??12 分 分,所以 f ( x) 的单调递增区间为 [2k? ? , 2k? ? 3 3 (是否包含区间端点不扣分; k ? Z 写一次即可)

? x?

?
6

? 2k? ?

?
2

?? 10 分,得 2k? ?

?

? x ? 2k? ?

1 1 ⒘⑴ VABCD? A1B1C1D1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 8 ??1 分, VB1 ? BEF ? Sh ? ? S ?BEF ? B1 B ??2 3 3 1 1 1 ? A1 B1C1 D1 的 体 积 分 , ? ? ?1?1? 2 ? ? ? 3 分 , 所 以 , 多 面 体 A E F C D 3 2 3

V ? V ABCD? A1B1C1D1 ? VB1 ? BEF ?

23 ??4 分 3

⑵以 B1 为原点, B1C1 、 B1 A1 、 B1 B 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标 系??5 分,则 B1 (0 , 0 , 0) , D1 (2 , 2 , 0) , E (0 , 1 , 2) , F (1 , 0 , 2) ??6 分,设

高二数学(理科)试题

第 1 页 共 4 页

? ?a ? b ? 0 ?n ? EF ? 0 平面 B1 EF 的一个法向量为 n ? (a , b , c) ,则 ? ??8 分,即 ? ? ?a ? 2c ? 0 ?n ? B1 F ? 0
??9 分,取 c ? 1 ,则 n ? (?2 , ? 2 , 1) ??10 分,cos ? n , D1 F ?? 11 分 , ?
n ? D1 F | n | ? | D1 F |

??

8 ? ? 12 分 , D1 F 与 平 面 B1 EF 所 成 角 的 余 弦 值 9 17 ??13 分。 cos? ? sin ? n , D1 F ?? 9

⒙⑴用事件 Ai (i ? 1 , 2 , 3) 表示该同学在第 i 个交通岗遇到红灯,事件 B 表示 “在第一个交通岗遇到红灯,其它交通岗未遇到红灯”??1 分, 则 B ? A1 A2 A3 ,且事件 Ai (i ? 1 , 2 , 3) 两两相互独立??2 分,
1 2 2 4 所以 P( B) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? ??4 分 3 3 3 27

⑵因为该同学经过三个交通岗时,是否遇到红灯互不影响,所以可看成 3 次 1 独立重复试验,即 ? ~ B (3 , ) ??6 分,所以该学生不迟到的概率为: 3 20 0 1 0 2 3 1 1 1 2 2 P(? ? 2) ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? C3 ( ) ( ) ? C3 ( ) ( ) ? ??9 分 3 3 3 3 27 1 2 7 20 3 1 3 2 0 ( ) ( ) ] ?1? ? (或 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 2) ? 1 ? [C32 ( ) 2 ( )1 ? C3 ??9 分) 3 3 3 3 27 27 1 1 ⑶ ? ~ B (3 , ) ,所以 ? 的数学期望 E? ? np ? 3 ? ? 1 ??10 分,方差 3 3
1 2 2 D? ? np(1 ? p) ? 3 ? ? ? ??12 分 3 3 3

答(略)??13 分(这是全部三个小问的答,共 1 分;若每问求得的结果都 有文字说明,则没有这个“答”也不扣分。这 1 分记在第⑶小问) ⒚⑴依题意, a1 ? 0 ??1 分, a2 ? 2a1 ? 1 ? 1 ??2 分 ⑵ n ? 1 时,由得 a1 ? 0 ? 21?1 ? 1 ,命题成立??3 分, 假设当 n ? k (k ? N ? ) 时命题成立, 即 ak ? 2 k ?1 ? 1??4 分, 因为 Pk (ak , ak ?1 ) 在 直线 y ? 2 x ? 1 上,所以 ak ?1 ? 2ak ? 1 ??6 分, ? 2 ? (2 k ?1 ? 1)? ? 2( k ?1)?1 ? 1,所以, 当 n ? k ? 1 时命题成立??7 分。
高二数学(理科)试题 第 2 页 共 4 页

综上所述,对于一切正整数 n , an ? 2 n?1 ? 1??8 分。 ⑶ (方法一) 依题意 bn ?
a n ?1 ? a n ? 2 ? (a n ?1 ? a n ) ??10 分,? 3 ? 4 n?1 ? 2 n?1 ?? 2

3 ? (1 ? 4 n ) 1 ? 2 n ? 11 分, S n ? ??13 分, ? 4 n ? 2 n ??14 分。 1? 4 1? 2

(方法二)依题意, S n 是直线 l 与直线 x ? a1 、 x ? an?1 、 x 轴围成的梯形的 面积??10 分, S n ?
a2 ? an?2 ? (a n ?1 ? a1 ) ??12 分, ? 4 n ? 2 n ??14 分。 2

⒛⑴观察知, x ? 2 是圆 C 的一条切线,切点为 A(2 , 0) ??1 分,根据圆的切 线性质, MC ? AB ??2 分,所以 k AB ? ?
1 k MC 1 ? ? ??3 分,所以直线 AB 的方 2

1 程为 y ? 0 ? ? ( x ? 2) ??4 分。 直线 AB 与 y 轴相交于 (0 , 1) , 依题意 a ? 2 ,b ? 1 2

??5 分,所求椭圆 T 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ??6 分 4

⑵设 l : y ? 4 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 4 ? 2k ? 0 ,解 d ? ??7 分,得 k ?

| k ? 0 ? 0 ? 4 ? 2k | k 2 ?1

?2

3 ??8 分, l 在椭圆 T 外,若 P 到直线 l 的距离取最大(小) 4 3 x ? b ??9 分, 4

值,则经过 P 且与 l 平行的直线 PQ 与椭圆 T 相切,设 PQ : y ?

? x2 ? y2 ? 1 ? ? 13 ?4 由? 得 13x 2 ? 24bx ? 16(b 2 ? 1) ? 0 ??10 分, 由 ? ? 0 解得 b ? ?? 2 ?y ? 3 x ? b ? 4 ?

11 分,所以 l : 3x ? 4 y ? 10 ? 0 , PQ : 3x ? 4 y ? 2 13 ? 0 ??12 分, l 与 PQ 之 间 的 距 离 d0 ?

| 10 ? 2 13 | 32 ? 4 2

?

10 ? 2 13 ? ? 13 分 , 所 求 d 的 取 值 范 围 为 5

?10 ? 2 13 10 ? 2 13 ? , ? ? ??14 分. 5 5 ? ?
高二数学(理科)试题 第 3 页 共 4 页

(第⑴问学生正确求出方程既给满分,若用到第⑵问评分的知识方法,在不 重复给分前提下相应给分;第⑵问若学生用参数方程求解,可参考上述评分给分) 21.⑴设 g ( x) ? (1 ? x)e x(其中 0 ? x ? 1 ) ??1 分,g / ( x) ? (1 ? x)e x ? e x ? ? xe x ??2 分, g / ( x) ? 0 , g ( x) 在区间 [ 0 , 1 ) 单调减小??3 分,所以 g ( x) ? g (0) ? 1 , 1 即 (1 ? x)e x ? 1,因为 0 ? x ? 1 , 1 ? x ? 0 ,所以 e x ? ??4 分 1? x
?x x ? ?? e ? ae ? 2 , ⑵依题意, h( x) ? ? ? x x ? ?e ? ae ? 4 ,

x ? 0, x ? 0.

??5 分

/ 0 ? x ? ln 3 ) 设 h1 ( x) ? ?e ? x ? aex ? 2 (其中 a ? 0 , , h1 ( x) h1 ( x) ? e ? x ? aex ? 0 ,

在 [0 , ln 3] 上 单 调 递 增 ? ? 6 分 , h1 ( x) 在 [0 , ln 3] 上 有 零 点 当 且 仅 当
7 7 h1 (0)h1 ( l n 3) ? 0 ,解 h1 (0)h1 (ln 3) ? (a ? 3)( 3a ? ) ? 0 得 ? a ? 3 ??7 分 3 9
/ 设 h2 ( x) ? e ? x ? aex ? 4 (其中 a ? 0 , ? ln 3 ? x ? 0 ) , h2 ( x) ? ?e ? x ? aex ,解

1 / h2 ( x) ? 0 得 x ? ? ln a ??8 分 2 1 / 当 0 ? a ? 1 时, ? ln a ? 0 , h2 ( x) ? 0 , h2 ( x) 在 [? ln 3 , 0) 上单调递减??9 2

分, h2 ( x) 在 [? ln 3 , 0) 上有零点当且仅当 h2 (? ln 3) ? 0 或 h2 (0)h2 (? ln 3) ? 0 ,解得
a ? 3 与 a ? 1 不符??10 分

同理,当 a ? 9 时, h2 ( x) 在 [? ln 3 , 0) 上无零点??11 分
1 1 当 1 ? a ? 9 时, ? ln 3 ? ? ln a ? 0 , h2 ( x) 在 [? ln 3 , ? ln a] 上单调递减,在 2 2 1 [ ? ln a , 0) 上 单 调 递 增 ? ? 12 分 , h2 ( x) 在 [? ln 3 , 0) 上 有 零 点 当 且 仅 当 2

1 1 h2 (? ln 3)h2 (? ln a ) ? 0 或 h2 (0)h2 (? ln a ) ? 0 ,解得 3 ? a ? 4 ??13 分 2 2
7 7 综上所述, a 的取值范围为 [ , 3] ? [3 , 4] ? [ , 4] ??14 分 9 9

高二数学(理科)试题

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