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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《1.6三角函数模型的简单应用》导学案1


§1.6.1
学习目标

三角函数的应用(1)

1、会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期现象的 重要数学模型。 2、熟悉数学建模的方法与步骤.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P60~ P65,找出疑惑之处) 三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际问题中有着广泛的应用。

二、新课导学 ※ 探索新知
问题 1 一半径为 3cm 的水轮如图所示,水轮圆心 o 距离水面 2m,设角 ? (?

?
2

? ? ? 0) 是以

ox 为始边,op0 为终边的角,求 ? 。
p

y

O

?
p0

x

问题 2. 已知水轮每分钟转动 4 圈,如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中 P0)开始计算时 间,将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数。

问题 3. 点 P 第一次到达最高点大约要多长时间?

※ 典型例题
例 1:在图中,点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向, 若已知振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处开始记时。 ⑴求物体对平衡位置的位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系。 ⑵求该物体在 t=5s 时的位置。
? O ? A

例 2. 某城市一年中 12 个月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描 述。已知 6 月份的月平均气温最高,为 29.45℃,12 月份的月平均气温最低,为 18.3℃。 求出这个三角函数的表达式,并画出该函数的图象。

※ 动手试试
1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、 y ?| sin x | 是以____________为周期的波浪型曲线.

3、设 y ? f (t ) 是某港口水的深度关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 ,下表是该港口某一 天从 0 至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系.
t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象. 根据上述数据,函数 y ? f (t ) 的解析式为( A. y ? 12 ? 3sin )

, t ? [0, 24] 6 ?t B. y ? 12 ? 3sin( ? ? ), t ? [0, 24] 6 ?t C. y ? 12 ? 3sin , t ? [0, 24] 12

?t

D. y ? 12 ? 3sin(

?t ?
12

? ), t ? [0, 24] 2

三、小结反思 1、利用三角函数建立数学模型一定要熟悉 y ? A sin(wx ? ? ) ? k 的性质。
2、 实际问题 实际问题 问题
抽象, 概括

还原

数学问题 实际问题 问题

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道, 靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度 y(米)是时间 t (0 ? t ? 24, 单位:时) 的函数,记作 y ? f (t ) ,下面是该港口在某季节每天水深的数据: 经长期观察, y ? f (t ) 曲线可以近似地看做函数 y ? A sin ?t ? k 的图象。 ⑴根据以上数据,求出函数 y ? f (t ) 近似表达式。 ⑵一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5m 或 5m 以上时认为是安全的(船舶停 靠时,船底只需不碰海底即可) ,某船吃水深度(航底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船 想在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?

课后作业
2、如图所示,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的图象。⑴求这段时间的最大温差; ⑵写出这段曲线的函数解析式。
y温度(?C )

30 20 10
O

6 810 12 14 x时间(时)

12 14 x时间(时)

3、以一年为一个周期调查某商品 出厂价格及该商品在商店的销售 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 价格时发现:该商品的出厂价格是 在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价格最高为 8 元,7 月份出厂价格 最低为 4 元,而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动的,并已知 5 月份销售价最高为 10 元,9 月份销售价最低为 6 元,假设某商店每月购进这种商品 m 件, 且当月售完,请估计哪个月盈利最大?并说明理由.
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24


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