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九年级数学下册第2章二次函数2.1二次函数_357_图文

北师大版九年级下册数学
2.1二次函数

2019年5月23日

遇上你是我的今生的缘分

1

情境导入
某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高 果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.
根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子。

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遇上你是我的今生的缘分

2

本节目标
1、通过三个问题情境列函数关系式,在教师的引导下归纳总 结二次函数的定义及表达式和注意事项;
2、根据二次函数的定义会判断函数是不是二次函数,并会举 出符合条件的二次函数的例子;
3、根据二次函数的定义,会求出二次函数式中字母的值;

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3

预习反馈

1、下列函数中,哪些是二次函数?

(1)y=3(x-1)?+1 (2) y ? ax2 ? bx ? c (3) s=3-2t2

(是) (不是)

(4) y

?

1 x2 ?

x

(5)y=(x+3)?-x?

(是) (6) y=10π r?

(不是)

(不是)

(是)

(7) y ? 22 ? 2x

(8) y ? 1 x2 ?x3 ? 25 2

(不是)

(不是)

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4

预习反馈
2.若 y ? (m?3)xm2?3m?2 ?mx?1是关于 x 的二次函数,确 定m的值,并求其函数关系式。

解:由题意得,

m?3? 0

m2 ?3m? 2 ? 2

解得,m ? 0

∴ y=-3x2+1

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5

预习反馈
3、用一个长为6cm的铁丝做成一个边长为xcm的矩形,

设矩形的面积为ycm2,写出y与x的函数关系式。
y ? x( 6 ? x) ? ?x2 ? 3x 2
4、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些

橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接

受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5
个橙子.假设果园増种x棵橙子树,果园共有 (100 ? x) 棵橙子树,
平均每棵树结(600 ? 5x)个橙子。如果果园橙子的总产量为y个,请写

出y与x之间的函数关系式。

y ? (600 ? 5x))(100 ? x) ? ?5x2 ?100x ? 60000

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课堂探究
某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高 产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据
经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量? 自变量:橙子树的数量,橙子树之间的距离,橙子树接受阳光的多少等;因变 量:橙子的个数,橙子的质量等。

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7

课堂探究
某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产 量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经 验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少 个橙子?
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
y与x的关系式为:y ? (100 ? x)(600 ? 5x); 化简,得 : y ? ?5x2 ?100x ? 60000

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8

课堂探究
y=(100+x)(600-5x)=-5x?+100x+60000 想一想: 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多?

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9

课堂探究

在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多?
我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况。你能根据表格 中的数据做出猜测吗?自己试一试。

x… 6 y … 60420

7
60445

8
60480

9
60495

10
60500

11
60495

x 12

13

14 …

y 60480

60445

60420

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10

课堂探究

你发现了吗?

6048600495

6050060495 60480

60455

60455

60420

60420

60375

60375

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遇上你是我的今生的缘分

11

课堂探究
银行的储蓄利率是随时间变化的,也就是说,利率是一个变量.在我国,利率的调 整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定 期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式。
y=100(x+1)?=100x?+200x+100

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12

课堂探究
想一想 (1)已知矩形的周长为40cm,它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还 可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?
当矩形为正方形且边长为10cm时,面积是100cm2;当矩形的长和宽分别是 15cm和5cm时,面积是75cm2;还有很多其他可能。设矩形的一边长为xcm, 面积为ycm2,则另一边长为(20-x)cm,根据题意得y=x(20-x)=20x-x2.

(2)两数的和是20,设其中一个数是x,你能写出这两个数之积y的表达式吗?

y=x(20-x)=20x-x2.

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13

课堂探究
y=-5x?+100x+60000;y=100x?+200x+100;y=20x-x2.

y是x的函数吗?y是x的一次函数?是反比例函数?

二次函数定义:

一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,a≠

0)的形式,则称y是x的二次函数. 例如, y=-5x?+100x+60000,y=100x?+200x+100和y=-x2-20x都是二次

函数。我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2,圆面积S与半径r的关

系S=πr2,自由落体运动物体下落的高度h与下落的时间t的关系

h

?

1 2

gt 2 等也

是二次函数的例子。

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课堂探究

二次函数定义:

一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,a≠

0)的形式,则称y是x的二次函数.

提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0.

(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项. 二次函数 (1)y=ax? --- (a≠0,b=0,c=0).

(2)y=ax?+c --- (a≠0,b=0,c≠0)

(3)y=ax?+bx ---(a≠0,b≠0,c=0)

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典例精析
如图,校园要建苗圃,其形状如直角梯形,有两 边借用夹角为135°的两面墙,另外两边是总长为 30米的铁栅栏,
(1)∠B=__4__5?
(2)用含有x代数式分别表示:BC= _3_0__?_ 2x AD= 30___?__ x

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遇上你是我的今生的缘分

16

典例精析
如图,校园要建苗圃,其形状如直角梯形,有两边借用夹角为135°的两面墙,
另外两边是总长为30米的铁栅栏,

(3)求梯形的面积y与高x的表达式. 解:过点A作AD⊥BC,依题意得,

?B ? ?BAD ? 45?,? BE ? AE ? x

? AD ? EC ? BC ? BE

? AD ? (30 ? x) ? x ? 30 ? 2x

又 y ? 1 ( AD ? BC) AE 2

? 1 (30 ? 2x ? 30 ? x)x 2

? y ? 1 x(60 ? 3x) ? y ? ? 3 x2 ? 30x

2

2

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遇上你是我的今生的缘分

x XE

X
17

本课小结
1、定义:一般地,形如y=ax?+bx+c(a,b,c是数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. 一般式:y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种特殊表示式: (1)y=ax? --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax?+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax?+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0). 2、定义的实质是:ax?+bx+c是整式,
自变量x的最高次数是二次

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随堂检测
②③④ 1.下列是二次函数的是:____________

(1).y ? ax2 ? bx ? c(2).y ? 2x2 (3) y ? ?5x2 ? 6

(4).y ? (x ?1)(x ? 2)(5).y ? 2(x ?1)2 ? 2x2

(6).y ?

x2

? 3x

?

2 (7). y

?

2 x

(8).y

?

6 x2

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遇上你是我的今生的缘分

19

随堂检测
2.底面为正方形的长方体,已知底面边长是a,长方体的高为5,体积为v,
v ? 5a 二次 2
(1)求v与a之间的函数表达式:__ __________, v是a的________函数,其中二次项
5 0 0 系数为_______.一次项系数为_____,常数项为_______. 20 (2) 当a=2时,v= ________.
5

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a

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20

随堂检测

3.某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时,每天可以售出300套.据市场调 查发现,这种服装每提高1元售价,销量就减少5套,如果商场每件提价x元,请你
得出每天销售利润y与售价的函y数表? 达(5式0:?__4__0__?___x_)_(_3__0__0__?_, 5 x)

y ? ?5化x为2一?般2式5为0:x__?__3__0__0__0________,

二次

y是x的__________函数。

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遇上你是我的今生的缘分

21

随堂检测
4.半径为3的圆,如果半径增加2x,面积S与x之间的
函数表达式为:S___?___?__(__3_ ? 2x) 2
5.某公司1月份营业额100万元,三月份营业额为y万元,如果每月的增长率为x, 与x的关系式
为:__y___?__1_0__0_(_1__?_ x)2

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