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2018版高中数学人教版A版必修五学案:§2.3 等差数列的前n项和(一)


[学习目标] 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程, 体会数形结 合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列 的五个量 a1,d,n,an,Sn 的关系,能够由其中三个求另外两个. 知识点一 数列前 n 项和的概念 把 a1+a2+?+an 叫数列{an}的前 n 项和,记做 Sn.则 a1+a2+a3+?+an-1=Sn-1(n≥2). 思考 由 Sn 与 Sn-1 的表达式可以得出 ?Sn-Sn-1 (n≥2), ? an=? ? ?S1(n=1). 知识点二 等差数列前 n 项和公式 n(a1+an) 1.公式 1:若{an}是等差数列,则 Sn 可以用首项 a1 和末项 an 表示为 Sn= . 2 1 2.公式 2:若首项为 a1,公差为 d,则 Sn 可以表示为 Sn=na1+ n(n-1)d. 2 3.推导方法:倒序相加法 过程:Sn=a1+a2+?+an, Sn=an+an-1+?+a1, ∵a1+an=a2+an-1=?=an+a1, ∴2Sn=n(a1+an), n(a1+an) ∴Sn= . 2 4.从函数角度认识等差数列的前 n 项和公式 (1)公式的变形 n(n-1)d d 2 d Sn=na1+ = n +(a1- )n. 2 2 2 (2)从函数角度认识公式 ①当 d≠0 时,Sn 是项数 n 的二次函数,且不含常数项; ②当 d=0 时,Sn=na1,不是项数 n 的二次函数. (3)结论及其应用 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn+C, 若 C=0,则数列{an}为等差数列; 若 C≠0,则数列{an}不是等差数列. 思考 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a1=4,则公差 d 等于( 1 A.-2B.- 3 C.1D.3 答案 A 解析 S3=a1+a2+a3=3a2=6, ∴a2=2, 又 a1=4,∴d=-2. 知识点三 等差数列前 n 项和的性质 ?Sn? 1.若数列{an}是公差为 d 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,则数列? n ?也是等差数列,且公差 ? ? ) d 为 . 2 2.若 Sm,S2m,S3m 分别为等差数列{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m- Sm,S3m-S2m 也成等差数列,公差为 m2d. an S2n-1 3.设两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,则 = . bn T2n-1 4.若等差数列的项数为 2n,则 S2n=n(an+an+1), S偶 an+1 S 偶-S 奇=nd, = . S奇 an 5.若等差数列的项数为 2n+1,则 S2n+1=(2n+1)an+1, S偶 n S 偶-S 奇=-an+1, = . S奇 n+1 思考 等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和是________. 答案 210 解析 设{an}的前 3m 项和是 S, Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 分别为 30,70,S-100. 由性质知 30,70,S-100 成等差数列. ∴2×70=30+(S-100), ∴S=210. 题型一 与等差数列 Sn 有关的基本量的计算 例 1 在等差数列{an}中, 5 3 (1)已知 a1= ,an=- ,Sn=-5,求 n 和 d; 6 2 (2)已知 a1=4,S8=172,求 a8 和 d. 5 3

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