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2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

第四节 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画 出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函 数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 1.以选择题的形式考查三角函数的图象变换及 由图象确定解析式等,如 2012 年浙江 T4 等. 2.与三角恒等变换相结合考查 y=Asin(ωx+φ) 的性质及简单应用且以解答题的形式考查,如 2012 年安徽 T16 等. [归纳· 知识整合] 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A> 0,ω>0),x∈[0,+ ∞)表示一个振动量时 振幅 A 周期 T= 2π ω 频率 1 ω f= = T 2π 相位 ωx+φ 初相 φ 2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示: x ωx+φ y=Asin(ωx+ φ) - φ ω φ π - + ω 2ω π 2 A π-φ ω π 0 3π φ - 2ω ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0 0 0 [探究] 1.用五点法作 y=Asin(ωx+φ)的图象,应首先确定哪些数据? π 3π 提示:先确定 ωx+φ,即先使 ωx+φ 等于 0, ,π, ,2π,然后求出 x 的值. 2 2 3.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤 法一 法二 [探究] 2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径,向左或向右平 移的单位个数为什么不一样? φ? 提示:可以看出,前者平移|φ|个单位,后者平移? ?ω?个单位,原因在于相位变换和周期变换都 是针对变量 x 而言的,因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会 出现错误. [自测· 牛刀小试] π? ? π? 1.(教材习题改编)为了得到函数 y=3sin? ?x-5?的图象,只要把函数 y=3sin?x+5?的图象上所 有的点( ) π A.向右平行移动 个单位长度 5 π B.向左平行移动 个单位长度 5 C.向右平行移动 2π 个单位长度 5 2π 个单位长度 5 D.向左平行移动 π? ?? 2 ? π? 解析:选 C ∵y=3sin? ?x-5?=3sin ?x-5π?+5 , ? ? π? 2 ? π? ∴要得到函数 y=3sin? ?x-5?的图象,应把函数 y=3sin?x+5?的图象上所有点向右平行移动5π 个单位长度. π? 2.(教材习题改编)y=2sin? ?2x-4?的振幅、频率和初相分别为( 1 π A.2, ,- π 4 1 π C.2, ,- π 8 解析:选 A B .2 , 1 π ,- 2π 4 1 π ,- 2π 8 ) D.2, π? 由振幅、频率和初相的定义可知,函数 y=2sin? ?2x-4?的振幅为 2,周期为 π, 1 π 频率为 ,初相为- . π 4 3.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸 10 ) 长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( π? A.y=sin? ?2x-10? 1 π? C.y=sin? ?2x-10? 解析:选 C 将 y=sin x 的图象向右平移 π? B.y=sin? ?2x-5? 1 π? D.y=sin? ?2x-20? π? π 个单位得到 y=sin? ?x-10?的图象,再将图象上各点 10 1 π? 的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 y=sin? ?2x-10?的图象. π 4.将函数 y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移 个单位后,所得的函数恰好是偶函数,则 φ 6 的值是________. π 解析:函数 y=sin(2x+φ)的图象向左平移 个单位后, 6 π π π π ? 得 y=sin? ?2x+3+φ?,则3+φ=kπ+2.又 0≤φ≤π,故 φ=6. 答案: π 6 5.函数 y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示, 则 ω=________. π 2 T π - ?-?- π?= , 解析:由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象可知: =? 2 ? 3? ? 3 ? 3 2 则 T= π. 3 ∵T= 2π 2 = π,∴ω=3. ω 3 答案:3 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 [例 1] π? 已知函数 y=2sin? ?2x+3?, (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π? (3)说明 y=2sin? ?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. [自主解答] π? 2π π (1)y=2sin? ?2x+3?的振幅 A=2,周期 T= 2 =π,初相 φ=3. π? π (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin? ?2x+3?=2sin X. 3 列表,并描点画出图象: x X y=sin X π? y=2sin? ?2x+3? - 0 0 0 π 6 π 12 π 2 1 2 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -2 5π 6 2π 0 0 π? π (3)法一:把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位,得到 y=sin? ?x+3?的图象,再把 y= 3 π? π? 1 ? sin? ?x+3?的图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得到 y=sin?2x+3?的图象,最后 π? π? ? 把 y

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