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成才之路·人教A版数学选修2-2 2.2.1


选修 2-2

第二章

2.2

2.2.1

一、选择题 1.(2013· 陕西理,7)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 bcos C+ ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] B [解析] 由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以,sin(B+C)=sin2A,∴sinA= π sin2A,而 sinA>0,∴sinA=1,A= ,所以△ABC 是直角三角形. 2 2.(2013· 浙江理,3)已知 x、y 为正实数,则( A.2
lgx+lgy

) B.直角三角形 D.不确定

)
lg(x+y)

=2 +2

lgx

lgy

B.2

=2lgx· 2lgy

lgy C.2lgx· =2lgx+2lgy

D.2lg(xy)=2lgx· 2lgy

[答案] D [解析] 2lg(xy)=2(lgx
+lgy)

=2lgx· 2lgy. )

3.设 a、b∈R,且 a≠b,a+b=2,则必有( a2+b2 A.1≤ab≤ 2 a2+b2 C.ab< <1 2 [答案] B [解析] ab<? a+b?2 a2+b2 ? 2 ? < 2 (a≠b).

a2+b2 B.ab<1< 2 a2+b2 D. <1<ab 2

1 4.设 0<x<1,则 a= 2x,b=1+x,c= 中最大的一个是( 1-x A.a C.c [答案] C [ 解析 ] 因为 b - c = (1 + x) - B.b D.不能确定

)

1-x2-1 1 x2 = =- < 0 ,所以 b<c. 又因为 (1 + 1-x 1-x 1-x

x)2>2x>0,所以 b=1+x> 2x=a,所以 a<b<c. 1 3 [点评] 可用特值法:取 x= ,则 a=1,b= ,c=2. 2 2 5.已知 y>x>0,且 x+y=1,那么( )

x+y A.x< <y<2xy 2 x+y C.x< <2xy<y 2 [答案] D

x+y B.2xy<x< <y 2 x+y D.x<2xy< <y 2

x+y 1 x+y 3 1 3 [解析] ∵y>x>0, 且 x+y=1, ∴设 y= , x= , 则 = , 2xy= .所以有 x<2xy< 4 4 2 2 8 2 <y,故排除 A、B、C,选 D. 1?x + ?a+b?,B=f( ab),C=f? 2ab ?,则 A、B、 6.已知函数 f(x)=? , a 、 b ∈ R , A = f ?2? ? 2 ? ?a+b? C 的大小关系为( A.A≤B≤C C.B≤C≤A [答案] A [解析] a+ b 2ab 1 ≥ ab≥ ,又函数 f(x)=( )x 在(-∞,+∞)上是单调减函数, 2 2 a+b ) B.A≤C≤B D.C≤B≤A

a+b 2ab ∴f( )≤f( ab)≤f( ). 2 a+b 二、填空题 7.已知 a>0,b>0,m=lg [答案] m>n [解析] 因为( a+ b)2=a+b+2 ab>a+b>0,所以 a+ b a+b > ,所以 m>n. 2 2 a+ b a+b ,n=lg ,则 m 与 n 的大小关系为________. 2 2

8.设 a= 2,b= 7- 3,c= 6- 2,则 a、b、c 的大小关系为________. [答案] a>c>b [解析] b= 4 4 ,c= ,显然 b<c, 7+ 3 6+ 2

而 a2=2,c2=8-2 12=8- 48<8- 36=2=a2, 所以 a>c. 也可用 a-c=2 2- 6= 8- 6>0 显然成立,即 a>c. 9.如果 a a+b b>a b+b a,则实数 a、b 应满足的条件是________. [答案] a≠b 且 a≥0,b≥0 [解析] a a+b b>a b+b a?a a+b b-a b-b a>0?a( a- b)+b( b- a)>0 ?(a-b)( a- b)>0?( a+ b)( a- b)2>0 只需 a≠b 且 a,b 都不小于零即可.

三、解答题 10.(2013· 华池一中高三期中)已知 n∈N*,且 n≥2,求证: [证明] 要证 1 > n- n-1, n 1 > n- n-1. n

即证 1>n- n?n-1?, 只需证 n?n-1?>n-1, ∵n≥2,∴只需证 n(n-1)>(n-1)2, 只需证 n>n-1,只需证 0>-1, 最后一个不等式显然成立,故原结论成立.

一、选择题 11.(2013· 大庆实验中学高二期中)设函数 f(x)的导函数为 f ′(x),对任意 x∈R 都有 f ′(x)>f(x)成立,则( A.3f(ln2)>2f(ln3) C.3f(ln2)=2f(ln3) [答案] B f′?lnx?-f?lnx? f?lnx? [解析] 令 F(x)= (x>0),则 F′(x)= ,∵x>0,∴lnx∈R,∵对任意 x x2 x∈R 都有 f ′(x)>f(x), ∴f′(lnx)>f(lnx), ∴F′(x)>0, ∴F(x)为增函数, ∵3>2>0, ∴F(3)>f(2), f?ln3? f?ln2? 即 > ,∴3f(ln2)<2f(ln3). 3 2 3 3 3 12.要使 a- b< a-b成立,a、b 应满足的条件是( A.ab<0 且 a>b C.ab<0 且 a<b [答案] D [解析] 3 3 3 3 3 3 3 a- b< a-b?a-b+3 ab2-3 a2b<a-b.∴ ab2< a2b. B.ab>0 且 a>b D.ab>0 且 a>b 或 ab<0 且 a<b ) ) B.3f(ln2)<2f(ln3) D.3f(ln2)与 2f(ln3)的大小不确定

3 3 ∴当 ab>0 时,有 b< a,即 b<a; 3 3 当 ab<0 时,有 b> a,即 b>a. 1 4 y 13.(2014· 哈六中期中)若两个正实数 x、y 满足 + =1,且不等式 x+ <m2-3m 有解, x y 4 则实数 m 的取值范围是( A.(-1,4) ) B.(-∞,-1)∪(4,+∞)

C.(-4,1) [答案] B

D.(-∞,0)∪(3,+∞)

1 4 y y 1 4 y 4x [解析] ∵x>0,y>0, + =1,∴x+ =(x+ )( + )=2+ + ≥2+2 x y 4 4 x y 4x y

y 4x · =4, 4x y

y y 等号在 y=4x,即 x=2,y=8 时成立,∴x+ 的最小值为 4,要使不等式 m2-3m>x+ 有解, 4 4 应有 m2-3m>4,∴m<-1 或 m>4,故选 B. 14.(2014· 广东梅县东山中学期中)在 f(m,n)中,m、n、f(m,n)∈N*,且对任意 m、n 都有: (1)f(1,1)=1,(2)f(m,n+1)=f(m,n)+2,(3)f(m+1,1)=2f(m,1);给出下列三个结论: ①f(1,5)=9;②f(5,1)=16;③f(5,6)=26; 其中正确的结论个数是( ( A.3 C.1 [答案] A [解析] ∵f(m,n+1)=f(m,n)+2,∴f(m,n)组成首项为 f(m,1),公差为 2 的等差数列, ∴f(m,n)=f(m,1)+2(n-1). 又 f(1,1)=1,∴f(1,5)=f(1,1)+2×(5-1)=9, 又∵f(m+1,1)=2f(m,1),∴f(m,1)构成首项为 f(1,1),公比为 2 的等比数列,∴f(m,1)= f(1,1)· 2m 1=2m 1,∴f(5,1)=25 1=16,∴f(5,6)=f(5,1)+2×(6-1)=16+10=26,∴①②③
- - -

)个.

) B.2 D.0

都正确,故选 A. 二、填空题 15.若 sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0, 则 cos(α-β)=________. 1 [答案] - 2 [解析] 由题意 sinα+sinβ=-sinγ cosα+cosβ=-cosγ ①,②两边同时平方相加得 2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=1 2cos(α-β)=-1, 1 cos(α-β)=- . 2 三、解答题 16.已知 a、b、c 表示△ABC 的三边长,m>0, ① ②

求证:

a b c + > . a+m b+m c+m

a b c [证明] 要证明 + > , a+m b+m c+m a b c 只需证明 + - >0 即可. a+m b+m c+m ∵ a b c + - = a+m b+m c+m

a?b+m??c+m?+b?a+m??c+m?-c?a+m??b+m? , ?a+m??b+m??c+m? ∵a>0,b>0,c>0,m>0, ∴(a+m)(b+m)(c+m)>0, ∵a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)=abc+abm+acm+am2+abc+abm +bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2=2abm+am2+abc+bm2-cm2 =2abm+abc+(a+b-c)m2, ∵△ABC 中任意两边之和大于第三边, ∴a+b-c>0,∴(a+b-c)m2>0, ∴2abm+abc+(a+b-c)m2>0, ∴ a b c + > . a+m b+m c+m

sin?2α+β? sinβ 17.求证: -2cos(α+β)= . sinα sinα [证明] 要证明原等式成立. 即证明 sin(2α+β)-2sinαcos(α+β)=sinβ, 又因为 sin(2α+β)-2sinαcos(α+β) =sin[(α+β)+α]-2sinαcos(α+β) =sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2sinαcos(α+β) =sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα =sin[(α+β)-α]=sinβ. 所以原命题成立.


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