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高二数学三个正数的算术-几何平均不等式


类比基本不等式的形式,猜想对于 个正 类比基本不等式的形式,猜想对于3个正 数a,b,c,可能有 , , ,
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类比基本不等式的形式,猜想对于 个正 类比基本不等式的形式,猜想对于3个正 数a,b,c,可能有 a , b, c ∈ R+ ,那么 , , , a+b+c 3 ≥ abc ,当且仅当 当且仅当a=b=c时,等 时 3 号成立. 号成立.

证明 : 若a , b, c ∈ R+ , 则a + b + c ≥ 3abc ,
3 3 3

当且仅当 a = b = c时, 等号成立 .
和的立方公式:

( x + y ) = x + 3 x y + 3 xy + y
3 3 2 2

3

立方和公式:

x + y = ( x + y )( x ? xy + y )
3 3 2 2

定理 当且仅当a=b=c时,等号成立. 当且仅当 时 等号成立.

a+b+c 3 如果 a , b, c ∈ R+ ,那么 3 ≥ abc

(1)若三个正数的积是一个常数,那么 若三个正数的积是一个常数, 当且仅当这三个正数相等时, 当且仅当这三个正数相等时,它们的和有 最小值. 最小值. (2)若三个正数的和是一个常数,那么 若三个正数的和是一个常数, 当且仅当这三个正数相等时, 当且仅当这三个正数相等时,它们的积有 最大值. 最大值.

n个正数的算术 几何平均不等式: 个正数的算术—几何平均不等式 个正数的算术 几何平均不等式: 若 a1 , a 2 , a 3 ,L , a n ∈ R+ , 则 a1 + a 2 + a 3 + L + a n n ≥ a1a 2 a 3 L a n , n 当且仅当 a1 = a 2 = a 3 = L = a n 时 , 等号成立 .

3 的最小值. 例1 求函数 y = 2 x + ( x > 0) 的最小值. x 下面解法是否正确?为什么? 下面解法是否正确?为什么?
2

解法1 解法1:由 x > 0
2

3 知 2 x > 0, > 0 ,则 x
2

3 2 3 y = 2x + ≥ 2 2x ? = 2 6x x x

3 3 3 3 3 当且仅当 2 x = 即x = 时, ymin = 2 6 = 23 18 x 2 2
2

3 的最小值. 例1 求函数 y = 2 x + ( x > 0) 的最小值. x
2

下面解法是否正确?为什么? 下面解法是否正确?为什么? 解法2: 解法 :由 x
2

>0知

1 2 2 x > 0, > 0, > 0 x x
2

,则

3 1 2 1 2 2 3 2x2 ? y = 2x + = 2x + + ≥ 3 ? = 33 4 x x x x x

∴ ymin = 3 4
3

3 的最小值. 例 1 求函数 y = 2 x + ( x > 0 )的最小值. x
2

解法3 解法3:由 x
2

> 0知

3 2 x > 0, > 0, 2x
2



3 3 3 3 3 9 2 3 3 2x2 ? y = 2x + = 2x + + ≥3 ? =3 x 2x 2x 2x 2x 2

3 3 当且仅当2 x = 即x = 3 时 2x 4
2

ymin

9 33 36 = 33 = 2 2

变式: 变式: 12 ( 1、函数 y = 3 x + 2 ( x > 0)的最小值是 C ) x 6 A、6 B、 6 C、9 D、12 、 、 、 、 16 2 8 2、函数 y = 4 x + 2 的最小值是 ______ 2 ( x + 1)

如下图,把一块边长是a的正方形铁 例2 如下图,把一块边长是 的正方形铁 片的各角切去大小相同的小正方形, 片的各角切去大小相同的小正方形,再把 它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒 问切去的正方形边长是多少时, 子,问切去的正方形边长是多少时,才能使 问切去的正方形边长是多少时 盒子的容积最大? 盒子的容积最大?
x

a

解:设切去的正方形边长为x,无盖方底 设切去的正方形边长为 , 盒子的容积为V, 盒子的容积为 ,则
1 V = (a ? 2 x ) x = (a ? 2 x )(a ? 2 x ) × 4 x 4 3 3 1 ? (a ? 2 x ) + (a ? 2 x ) + 4 x ? 2a ≤ ? ? = 27 4? 3 ? a 当且仅当 a ? 2 x = a ? 2 x = 4 x 即当 x = 6
2

时,不等式取等号,此时V取最大值 2a . 不等式取等号,此时V
27

3

即当切去的小正方形边长是原来正方形边 长的
1 6

时,盒子的容积最大. 盒子的容积最大.

练习: 练习: 4 2 1、函数 y = x ( 2 ? x )(0 < x < 2 )的最大值是 ( D) A、0 B、1 、 、
+

16 C、 27 、

32 D、27 、

1 2、若a , b ∈ R 且a > b, 则a + __ ≥3 (a ? b )b

3、若x , y ∈ R , xy = 4则x + 2 y的最小值是 B) ( A、4 B、33 4 、 、
2

+

C、6 、

4、已知 a , b, c ∈ R , 且a + b + c = 1, 则 1 1 1 9 + + 的值不小于 _____ a b c

+

D、非上述答案 、

1 1 1 9 5.a , b, c ∈ R+ , 求证(a + b + c )( )≥ + + a+b b+c c+a 2 1 1 1 6.设M = ( ? 1)( ? 1)( ? 1)且a + b + c = 1(a , b, c ∈ R+ ), a b c 则M的取值范围是 ( D )
? 1? A.?0, ? ? 8? ?1 ? B.? ,1? ?8 ?
2

? 1? C ?1, ? ? 8?

D[8,+∞ )

7 .求函数 y = sin x ? cos x , x ∈ ( 0 ,

π
2

)的最大值 .

小结: 小结: 这节课我们讨论了利用平均值定理求某些 函数的最值问题。现在, 函数的最值问题。现在,我们又多了一种 求正变量在定积或定和条件下的函数最值 的方法。 的方法。这是平均值定理的一个重要应用 也是本章的重点内容, 也是本章的重点内容,应用定理时需注意 一正二定三相等”这三个条件缺一不可, “一正二定三相等”这三个条件缺一不可, 不可直接利用定理时,要善于转化, 不可直接利用定理时,要善于转化,这里 关键是掌握好转化的条件,通过运用有关 关键是掌握好转化的条件, 变形的具体方法,以达到化归的目的。 变形的具体方法,以达到化归的目的。

作业: 作业: 习题1 1 11页 12、14题 习题1.1(第11页)第12、14题

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思考题: 思考题: 已知:长方体的全面积为定值S,试问这 已知:长方体的全面积为定值S,试问这 S, 个长方体的长、 高各是多少时, 个长方体的长、宽、高各是多少时,它的 体积最大,求出这个最大值. 体积最大,求出这个最大值. 设长方体的体积为V, 解:设长方体的体积为 ,长、宽、高分别 是a,b,c,则V=abc,S=2ab+2bc+2ac , , , ,

V = (abc ) = (ab )(bc )(ac )
2 2

S ? ab + bc + ac ? ? S ? ≤? ? =? ? = 3 ? ? ? 6 ? 216
3 3 3

当且仅当 ab = bc = ac , 即a = b = c时 3 S 2 , 上式取" =" 号,V 有最小值 216 ?a = b = c 6S 由? 解得a = b = c = 6 ? 2ab + 2bc + 2ac = S

6S 答 : 当长方体的长宽高都等 于 时 6 S 6S 体积的最大值为 36


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