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陕西省西安七十中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析


陕西省西安七十中 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(理 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. ) 1.极坐标方程(ρ﹣1) (θ﹣π)=0(ρ≥0)表示的图形是( ) A.两个圆 B. 两条直线 C. 一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线

2.不等式| A.(0,2)

|>

的解集是( B.(﹣∞,0)

) C.(2,+∞) D.(﹣∞,0)∪(0, +∞) )作曲线 C 的切线,则切线

3.在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ=4sinθ,过点(4, 长为( A.4 ) B. ) C .2

D.2

4.已知 a、b、m∈R+且 a>b,则( A. > B. C. D. = < 与 间的大小不能确定

5.在(x+y) 的展开式中,若第七项系数最大,则 n 的值可能等于( ) A.13,14 B.14,15 C.12,13 D.11,12,13 6.对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出 2 件.在第 一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是( ) A. B. C. D.

n

7.“|x﹣A|< ,且|y﹣A|< ”是“|x﹣y|<?”(x,y,A,?∈R)的( A.充分不必要条件 C. 充要条件



B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.设曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数) ,直线 l 的方程为 x﹣3y+2=0,则

曲线 C 上到直线 l 距离为 A.1 B.2
2

的点的个数为( C .3

) D.4

9.不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a ﹣3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) A.(﹣∞,﹣1]∪[4, B.(﹣∞,﹣2]∪[5, C.[1,2] D.(﹣∞,1]∪[2, +∞) +∞) +∞) 10.通过随机询问 110 名大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 女 总计 40 20 60 爱好 20 30 50 不爱好 60 50 110 总计 由上表算得 k≈7.8,因此得到的正确结论是( ) A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 11.为研究变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回 归直线方程 l1 和 l2,两人计算知 相同, 也相同,下列正确的是( ) A.l1 与 l2 一定重合 B. l1 与 l2 一定平行 C. l1 与 l2 相交于点( , ) D.无法判断 l1 和 l2 是否相交 12. 已知动圆方程 x +y ﹣xsin2θ+2 A.椭圆 C. 抛物线
2 2

?ysin (θ+

) =0 (θ 为参数) , 那么圆心的轨迹是 (



B. 椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. 已知 的展开式中, 常数项为 14, 则 a= (用数字填写答案) .

14.在极坐标系中,直线 ρsin(θ+

)=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为



15.已知两曲线参数方程分别为 坐标为 .

(0≤θ<π)和

(t∈R) ,它们的交点

16.已知集合 A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9},B= 合 A∩B= .

,则集

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. ) 17.解不等式|x﹣1|+|2x+1|<2. 18.已知( ﹣ ) (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10:1.
n *

(1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含 的项;

(3)求展开式中二项式系数最大的项.

19.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .曲线 C 的极坐标方程为

ρ=2

.直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 P.

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求 的值.

20.9 台发动机分别安装在甲、乙、丙 3 个车间内,每个车间 3 台,每台发动机正常工作的 概率为 .若一个车间内至少有一台发动机正常工作,则这个车间不需要停产维修,否则需 要停产维修. (1)求甲车间不需要停产维修的概率; (2)若每个车间维修一次需 1 万元(每月至多维修一次) ,用 ξ 表示每月维修的费用,求 ξ 的分布列及数学期望. 21.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 围.

22.已知直线 C1 (Ⅰ)当 α=

(t 为参数) ,C2

(θ 为参数) ,

时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 α 变化时,求 P 点的轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线.

陕西省西安七十中 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. ) 1.极坐标方程(ρ﹣1) (θ﹣π)=0(ρ≥0)表示的图形是( ) A.两个圆 B. 两条直线 C. 一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 由题中条件:“(ρ﹣1) (θ﹣π)=0”得到两个因式分别等于零,结合极坐标的意义即 可得到. 解答: 解:方程(ρ﹣1) (θ﹣π)=0?ρ=1 或 θ=π, ρ=1 是半径为 1 的圆, θ=π 是一条射线. 故选 C. 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体 会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别, 能进行极坐标和直角坐标的 互化.

2.不等式| A.(0,2)

|>

的解集是( B.(﹣∞,0)

) C.(2,+∞) D.(﹣∞,0)∪(0, +∞)

考点: 绝对值不等式. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 首先题目求不等式|

|>

的解集,考虑到分析不等式|

|>

含义,即

的绝对值大于其本身,故可以得到 解答: 解:分析不等式| 故 即 |> ,

的值必为负数.解得即可得到答案.

的值必为负数. ,

解得 0<x<2. 故选 A.

点评: 此题主要考查绝对值不等式的化简问题, 分析不等式| 键,题目计算量小,属于基础题型.

|>

的含义是解题的关

3.在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ=4sinθ,过点(4, 长为( A.4 ) B. C .2

)作曲线 C 的切线,则切线

D.2

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先将原极坐标方程是 ρ=4sinθ 两边同乘以 ρ 后化成直角坐标方程,点(4,

)的坐

标化成直角坐标,再利用直角坐标方程结合圆的几何性质进行求解即可. 解答: 2 2 解:ρ=4sinθ 化为普通方程为 x +(y﹣2) =4,点(4, )的直角坐标是 A(2 2) , 圆心到定点的距离及半径构成直角三角形. 由勾股定理:切线长为 故选 C. .



点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即可进行极坐标和直角坐标的互化. 4.已知 a、b、m∈R+且 a>b,则( A. > B. C. = < )
2 2 2

D.



间的大小不能确定

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: “作差”利用不等式的基本性质即可得出. 解答: 解:∵a、b、m∈R+且 a>b, ∴ ∴ = , >0,

故选:A. 点评: 本题考查了“作差”利用不等式的基本性质,属于基础题. 5.在(x+y) 的展开式中,若第七项系数最大,则 n 的值可能等于( ) A.13,14 B.14,15 C.12,13 D.11,12,13 考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 根据题意,分三种情况讨论,①若仅 T7 系数最大,②若 T7 与 T6 系数相等且最大, ③若 T7 与 T8 系数相等且最大,由二项式系数的性质,分析其项数,综合可得答案. 解答: 解:根据题意,分三种情况: ①若仅 T7 系数最大,则共有 13 项,n=12; ②若 T7 与 T6 系数相等且最大,则共有 12 项,n=11; ③若 T7 与 T8 系数相等且最大,则共有 14 项,n=13; 所以 n 的值可能等于 11,12,13; 故选 D. 点评: 本题考查二项式系数的性质,注意分清系数与二项式系数的区别于联系;其次注意什 么时候系数会取到最大值. 6.对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出 2 件.在第 一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是( ) A. B. C. D.
n

考点: 条件概率与独立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 因为第一次抽出正品,所以剩下的 9 件中有 5 件正品,所以第二次也摸到正品的概率 是 ,据此解答即可. 解答: 解:设“第一次摸出正品”为事件 A,“第二次摸出正品”为事件 B, 则事件 A 和事件 B 相互独立, 在第一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率为:

P(B|A)=

=

= .

故选:D. 点评: 本题主要考查了条件概率的求法,属于基础题,解答此题的关键是条件概率公式的灵 活运用. 7.“|x﹣A|< ,且|y﹣A|< ”是“|x﹣y|<?”(x,y,A,?∈R)的( A.充分不必要条件 C. 充要条件



B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: “|x﹣A|< ,且|y﹣A|< ”?|x﹣y|=|(x﹣A)﹣(y﹣A)|≤|x﹣A|+|y﹣A|<?,反之不 成立.即可判断出. 解答: 解:“|x﹣A|< ,且|y﹣A|< ”?|x﹣y|=|(x﹣A)﹣(y﹣A)|≤|x﹣A|+|y﹣A|<?, 反之不成立. ∴“|x﹣A|< ,且|y﹣A|< ”是“|x﹣y|<?”充分非必要条件. 故选:A. 点评: 判断充要条件的方法是: ①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判 断命题 p 与命题 q 的关系.

8.设曲线 C 的参数方程为

(θ 为参数) ,直线 l 的方程为 x﹣3y+2=0,则

曲线 C 上到直线 l 距离为 A.1 B.2

的点的个数为( C .3

) D.4

考点: 圆的参数方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意将圆 C 和直线 l 先化为一般方程坐标,然后再计算曲线 C 上到直线 l 距离为 的点的个数.

2 2 解答: 解:化曲线 C 的参数方程为普通方程: (x﹣2) +(y+1) =9,

圆心(2,﹣1)到直线 x﹣3y+2=0 的距离 直线和圆相交,过圆心和 l 平行的直线和圆的 2 个交点符合要求, 又 ,



在直线 l 的另外一侧没有圆上的点符合要求, 故选 B. 点评: 解决这类问题首先把曲线 C 的参数方程为普通方程, 然后利用圆心到直线的距离判断 直线与圆的位置关系,这就是曲线 C 上到直线 l 距离为 ,进而得出结论. ,然后再判断知

9.不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a ﹣3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) A.(﹣∞,﹣1]∪[4, B.(﹣∞,﹣2]∪[5, C.[1,2] D.(﹣∞,1]∪[2, +∞) +∞) +∞) 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;转化思想. 2 分析: 利用绝对值的几何意义,求出|x+3|﹣|x﹣1|的最大值不大于 a ﹣3a,求出 a 的范围. 2 解答: 解:因为|x+3|﹣|x﹣1|≤4 对|x+3|﹣|x﹣1|≤a ﹣3a 对任意 x 恒成立, 2 2 所以 a ﹣3a≥4 即 a ﹣3a﹣4≥0, 解得 a≥4 或 a≤﹣1. 故选 A. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,绝对值的几何意义,以及恒成立问题,是中档题. 10.通过随机询问 110 名大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 女 总计 40 20 60 爱好 20 30 50 不爱好 60 50 110 总计 由上表算得 k≈7.8,因此得到的正确结论是( ) A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 考点: 独立性检验的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据列联表数据得到 7.8,发现它大于 6.635,得到有 99%以上的把握认为“爱好这项 运动与性别有关”,从而可得结论. 解答: 解:∵7.8>6.635, ∴有 0.01=1%的机会错误,即有 99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”

2

故选 C. 点评: 本题考查独立性检验的应用,考查利用临界值,进行判断,是一个基础题 11.为研究变量 x 和 y 的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回 归直线方程 l1 和 l2,两人计算知 相同, 也相同,下列正确的是( ) A.l1 与 l2 一定重合 B. l1 与 l2 一定平行 C. l1 与 l2 相交于点( , ) D.无法判断 l1 和 l2 是否相交 考点: 线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: 由题意知,两个人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均值都是 s,对变量 y 的观 测数据的平均值都是 t,所以两组数据的样本中心点是( , ) ,回归直线经过样本 的中心点,得到直线 l1 和 l2 都过( , ) . 解答: 解:∵两个人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均值都是 s,对变量 y 的观测数 据的平均值都是 t, ∴两组数据的样本中心点是( , ) ∵回归直线经过样本的中心点, ∴l1 和 l2 都过( , ) . 故选 C. 点评: 本题考查回归分析,考查线性回归直线过样本中心点,在一组具有相关关系的变量的 数据间, 这样的直线可以画出许多条, 而其中的一条能最好地反映 x 与 Y 之间的关系, 这条直线过样本中心点.
2 2

12. 已知动圆方程 x +y ﹣xsin2θ+2 A.椭圆 C. 抛物线

?ysin (θ+

) =0 (θ 为参数) , 那么圆心的轨迹是 (



B. 椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

考点: 轨迹方程;圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的一般式方程写出圆心坐标的参数方程,消去参数 θ 后得圆心轨迹的普通方程, 则答案可求. 解答: 2 2 解:由 x +y ﹣xsin2θ+2 ?ysin(θ+ )=0,得:

圆心轨迹的参数方程为




2



②式两边平方得 y =1+2sinθcosθ ③ 把①代入③得:y =1+2x(﹣ ≤x≤ ) ,
2

∴圆心的轨迹是抛物线的一部分. 故选:D. 点评: 本题考查了轨迹方程,考查了圆的一般式方程,训练了参数方程化普通方程,是中档 题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.已知 的展开式中,常数项为 14,则 a= 2 (用数字填写答案) .

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 利用二项式定理的通项公式,通过 x 的指数为 0,求出常数项,然后解出 a 的值. 解答: 解:因为 的展开式中 Tr+1= ,

令 21﹣3r﹣ =0,可得 r=6 当 r=6 时展开式的常数项为 7a=14, 解得 a=2. 故答案为:2. 点评: 本题是基础题,考查二项式定理通项公式的应用,考查二项式定理常数项的性质,考 查计算能力.

14.在极坐标系中,直线 ρsin(θ+

)=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为 4



考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 常规题型;转化思想. 分析: 先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式, 再利用直角坐标与极坐标 2 2 2 间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得直角坐标方程,最后 利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可. 解答: 解:∵ρsin(θ+ )=2, ∴ρsinθ+ρcosθ=2 ,化成直角坐标方程为: x+y﹣2 =0, 2 2 圆 ρ=4 化成直角坐标方程为 x +y =16, 圆心到直线的距离为: ∴截得的弦长为: 2× = .

故答案为: . 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体 会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别, 能进行极坐标和直角坐标的

互化.

15.已知两曲线参数方程分别为

(0≤θ<π)和

(t∈R) ,它们的交点

坐标为 (1,

) .

考点: 参数方程化成普通方程;直线的参数方程;椭圆的参数方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 利用同角三角函数的基本关系及代入的方法,把参数方程化为普通方程,再利用消去 参数 t 化曲线的参数方程为普通方程,最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可. 解答: 解:曲线参数方程 (0≤θ<π)的直角坐标方程为: ;

曲线

(t∈R)的普通方程为: ;

解方程组:

得:

∴它们的交点坐标为(1, 故答案为: (1, ) .

) .

点评: 本题考查同角三角函数的基本关系,参把数方程化为普通方程的方法,以及求两曲线 的交点坐标的方法,考查运算求解能力.属于基础题. 16.已知集合 A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9},B= 合 A∩B= {x|﹣2≤x≤5} . 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 A,求出集合 B,然后利用集合的运算法则求出 A∩B. 解答: 解:集合 A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9},所以 A={x|﹣4≤x≤5};

,则集

集合

, ,

当且仅当 t= 时取等号,所以 B={x|x≥﹣2}, 所以 A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}, 故答案为:{x|﹣2≤x≤5}. 点评: 本题是基础题,考查集合的基本运算,注意求出绝对值不等式的解集,基本不等式求 出函数的值域,是本题解题是关键,考查计算能力. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. ) 17.解不等式|x﹣1|+|2x+1|<2. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再 取并集,即得所求. 解答: 解: 不等式|x﹣1|+|2x+1|<2, 等价于 ①, 或 ②, 或 ③.

解①求得﹣ <x<﹣ ,解②求得﹣ ≤x<0,解③求得 x∈?. 综上可得,原不等式的解集为{x|﹣ <x<0}. 点评: 本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化和分类讨论的数学思想,属于基础 题. 18.已知( ﹣ ) (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10:1.
n *

(1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含 的项;

(3)求展开式中二项式系数最大的项. 考点: 二项式定理. 专题: 二项式定理. 分析: 通过展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10:1 得到 n 值,然后求要求的特 征项. 解答: 解:由题意,第五项系数和第三项系数分别为 ,并且

, 化简得 n ﹣5n﹣24=0,解得 n=8 或 n=﹣3(舍去) . 8 (1)令 x=1 得各项系数和为(1﹣2) =1; (2)通项公式为 Tr+1= 令 4﹣ ,则 r=1, 的项为 T2=﹣16x ;
4 2



所以展开式中含 x

(3)由 n=8 知第五项的二项式系数最大,此时 T5=(﹣2) C

x =1120x .

﹣6

﹣6

点评: 本题考查了二项式定理的运用;关键是利用已知求出指数后,找出二项式的展开式通 项,根据 x 的指数求特征项.

19.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .曲线 C 的极坐标方程为

ρ=2

.直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 P.

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求 的值.

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)由曲线 C 的极坐标方程 ρ=2 ,把

,展开为 代入即可得出;

(2)设直线与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 P,把直线的参数方程
2 2

,代入曲线 C 的普通方程(x﹣1) +(y﹣1) =2 中,得
2

t ﹣t﹣1=0,得到根与系数的关系,利用直线参数的意义即可得出. 解答: 解: (1)由曲线 C 的极坐标方程 ρ=2 ,展开为 ,ρ =2ρsinθ+2ρcosθ, ∴普通方程是 x +y =2y+2x,
2 2 2

即(x﹣1) +(y﹣1) =2. (2)设直线与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 P,
2

2

2

把直线的参数方程
2

,代入曲线 C 的普通方程(x﹣1) +(y

﹣1) =2 中, 2 得 t ﹣t﹣1=0, ∴ ,



=

=



点评: 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、直线与曲线的交点、直线参数方程的应 用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20.9 台发动机分别安装在甲、乙、丙 3 个车间内,每个车间 3 台,每台发动机正常工作的 概率为 .若一个车间内至少有一台发动机正常工作,则这个车间不需要停产维修,否则需 要停产维修. (1)求甲车间不需要停产维修的概率; (2)若每个车间维修一次需 1 万元(每月至多维修一次) ,用 ξ 表示每月维修的费用,求 ξ 的分布列及数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其 分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)记某台发动机正常工作的事件为 A,甲车间 3 台发动机都出现故障的事件为 M, 甲车间 3 台发动机至少有一台能正常工作的事件为 N. 由此利用对立事件概率公式能 求出甲车间不需停产维修的概率. (2)记 ξ 表示每月维修的费用,那么 ξ 可取 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由 此能求出 ξ 的分布列及数学期望. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)记某台发动机正常工作的事件为 A, 甲车间 3 台发动机都出现故障的事件为 M, 甲车间 3 台发动机至少有一台能正常工作的事件为 N. 则 …(1 分) …(3 分) ,

∴甲车间不需停产维修的概率为 .…(5 分) (2)记 ξ 表示每月维修的费用,那么 ξ 可取 0,1,2,3(单位:万元) …(6 分) 依题意有: …(7 分) …(8 分) …(9 分) …(10 分) ξ 的分布列为: ξ 0 P ξ 的数学期望为:

1

2

3

…(12 分)

点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题, 在历年高考中都是必考题型之一. 21.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 围. 考点: 绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 综合题;压轴题;转化思想. 分析: (1)不等式 f(x)≤3 就是|x﹣a|≤3,求出它的解集,与{x|﹣1≤x≤5}相同,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,根据 f(x)+f(x+5) 的最小值≥m,可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由 f(x)≤3 得|x﹣a|≤3, 解得 a﹣3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5}, 所以 解得 a=2. (6 分)

(2)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|. 设 g(x)=f(x)+f(x+5) ,

于是

所以当 x<﹣3 时,g(x)>5; 当﹣3≤x≤2 时,g(x)=5;

当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(﹣∞,5]. (12 分) 点评: 本题考查函数恒成立问题,绝对值不等式的解法,考查转化思想,是中档题,

22.已知直线 C1 (Ⅰ)当 α=

(t 为参数) ,C2

(θ 为参数) ,

时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 α 变化时,求 P 点的轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线. 考点: 简单曲线的极坐标方程;轨迹方程;直线和圆的方程的应用;直线的参数方程;圆的 参数方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (I)先消去参数将曲线 C1 与 C2 的参数方程化成普通方程,再联立方程组求出交点 坐标即可, (II)设 P(x,y) ,利用中点坐标公式得 P 点轨迹的参数方程,消去参数即得普通方 程,由普通方程即可看出其是什么类型的曲线. 解答: 2 2 解: (Ⅰ)当 α= 时,C1 的普通方程为 ,C2 的普通方程为 x +y =1.

联立方程组



解得 C1 与 C2 的交点为(1,0)



(Ⅱ)C1 的普通方程为 xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①. 则 OA 的方程为 xcosα+ysinα=0②, 2 联立①②可得 x=sin α,y=﹣cosαsinα; 2 A 点坐标为(sin α,﹣cosαsinα) ,

故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为:



P 点轨迹的普通方程 故 P 点轨迹是圆心为

. ,半径为 的圆.

点评: 本题主要考查直线与圆的参数方程,参数方程与普通方程的互化,利用参数方程研究 轨迹问题的能力.


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