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湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题


湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期高 二期末考试

数 学 试 卷(文科)
命题人:武汉中学
钟。

严少林

审题人:武汉四中

李文溢

全卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 P ? ?x ? N |1 ≤ x ≤10? ,集合 Q ? x ? R | x ? x ? 6 ? 0 ,则 P ∩ Q 等于

?

?

A.{2} B.{3} C.{-2,3} D.{-3,2} 2.下列命题中正确的是( ) A. “若 a=b,则 ac=bc”的逆命题是真命题 2 2 B.命题“ x∈R,使得 x -x>0”的否定是“ x∈R,x -x<0” C.若点 A(1,2),点 B(-1,0),则 AB =(2,2) D.“a<5”是“a<3”的必要不充分条件 3.函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x ) 在 ( a, b) 内的
b
y

y ? f ?( x)

图象如图所示,则函数 f ( x ) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点 (



a

O

x

A. 1个 4. 抛物线 y ?

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个 )

1 2 x 上到直线 2 x ? y ? 4的距离最小的点的坐标 是 ( 2
C.(2,2) D.(2,4)

A.(1,1) B.(1,2)

5.已知 p:不等式 x ? 1 ? x ? 2 > m 的解集为 R;q: f ? x ? = log?5?2m? x 为减函数,则 p 成 立是 q 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

? x ? 1, x ? 0 f ( x) ? ? 2 ? x , x ? 0 ,则 f [ f (?2)] 的值为( 6.已知函数
A.1 7.椭圆 B.2 C.4 的右焦点为 D.5 ,椭圆

).

与 轴正半轴交于

点,与



正半轴交于 A.

,且 B.

,则椭圆 C.

的方程为(

) D.

1

8.曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1 ,则 p0 点的坐标为( A (1, 0)
2

3



B

(1, 0) 和 (?1, ?4)

C

(2,8)

D

(2,8) 和 (?1, ?4)

9 .已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上一点 M ?1, m?? m ? 0? 到其焦点的距离为 5 ,双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A, 若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行, 则实数 a 的值是 ( a
A.



1 9

B.

1 25

C.

1 5

D.

1 3
D1 A1 B1

E,F 分别是 AB1 , BC1 10.如图,在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,
的中点,则以下结论中不成立 的是( ... A. EF 与 BB1 垂直 C. EF 与 CD 异面 )

C1
F C

B. EF 与 BD 垂直 D. EF 与 AC 1 1 异面 A

E D
B

?log 1 ( x ? 1), x ? ? ? 0,1? , ? 2 11.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 则关于 x 的 ?1? | x ? 3 |, x ? ? ?1, ?? ? , ?
函数 F ( x) ? f ( x) ? a ( 0 ? a ? 1 )的所有零点之和为( ) A.1- 2
a

a B. 2 ? 1

C. 1 ? 2

?a

D. 2

?a

?1

12.如果双曲线的离心率 e ?

5 ?1 ,则称此双曲线为黄金双曲线.有以下几个命题: 2

①双曲线

x2 y2 2 x2 ? ? 1 是黄金双曲线;②双曲线 y 2 ? ? 1 是黄金双曲线; 2 5 ?1 5 ?1

③在双曲线

x2 y2 ? ? 1 中, F1 为左焦点, A2 为右顶点, B1(0,b),若∠F1 B1 A2 ? 90? , a 2 b2

则该双曲线是黄金双曲线;

x2 y2 ④在双曲线 2 ? 2 ? 1 中,过焦点 F2 作实轴的垂线交双曲线于 M、N 两点,O 为坐标原点, a b
若∠MON ? 120? ,则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为( ) A.①和② B.②和③ C.③和④
2

D.①和④

[来源:Zxxk.Com][ 来源:学科网]

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.函数 y ? 1 ? x ? lg x 的定义域为 14.已知函数 f ( x ) ? 。

1 2 x ? cos x ,则 f ( x) 取得 极值时的 x 值为 . 2 1 4 27 15. 已 知 x ? ? 0, ??? , 不 等 式 x ? ? 2 , x ? 2 ? 3 , x ? 3 ? 4 , ? , 可 推 广 为 x x x a x ? n ? n ? 1 ,则 a 等于 . x 16.给出以下四个命题:
①“正三角形都相似”的逆命题; ②已知样本 的平均数是 ,标准差是 ,则 ;

③“ ④

”是“方程 中,顶点 的坐标为

表示椭圆”的必要不充分条件; ,则直角顶点 的轨迹方程是

其中正确命题的序号是

(写出所有正确命题的序号).

三、解答题:解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分) 已知命题 p : ?x ? ? 1,2?, x ? a ? 0 ,命题 q :?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ,若“ p 且
2

2

q ”为真命题,求实数 a 的取值范围.
18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a 3 a ?1 2 x ? x ? x ? b, 其中a, b ? R 。 3 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 5 x ? 4 ,求函数 f ( x ) 的解析 式; (Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性。 19. (本题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 S ? ABC 中, 侧面 SAB ?BAC ? 90° ,O 为 BC 中点. 与侧面 SAC 均为等边三角形, (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.
3

S

O

C

B

A

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (0,1) ,过右焦点 F 且不与 x a 2 b2

轴重合的动直线 L 交椭圆于 A, C 两点,当动直线 L 的斜率为 2 时,坐标原点 O 到 L 的距离



2 5 . (Ⅰ) 求椭圆的方程; 5

(Ⅱ) 过 F 的另一直线交椭圆于 B, D 两点, 且 AC ? BD , 当四边形 ABCD 的面积 S= 求直线 L 的方程. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2ax-
1 -(2+a)lnx(a≥0). x

16 时, 9

(1)当 a=0 时,求 f(x)的极值;(2)当 a>0 时,讨论 f(x)的单调性; (3)若对任意的 a∈(2,3),x1,x2∈[1,3],恒有(m-ln3)a-2ln3>|f(x1)-f(x2)|成立, 求实数 m 的取值范围。 请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。 如果多做,则按所做的第一个题目计分,解答时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 已知 PA 与圆 O 相切于点 A , 半径 OB ? OP ,AB 交 PO 于 点 C ,
O


A

C

P

B

4

5

(Ⅰ)求证: PA ? PC ; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 3, OP ? 5 ,求 BC 的长度.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?

已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ?ABM 面积的最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? log2 ( x ? 1 ? x ? 5 ? a) . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ)当函数 f ? x ? 的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围。

[来源:学科网 ZXXK]

6

武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期高 二期末考试数学答案(文科) 一、选择题 ADACB DCBAD AB n 二、填空题: 13. (0,1] 14.0 15. n 16.③ 三、解答题: 17.【解析】由“ p 且 q ”为真命题,则 p , q 都是真命题.
p : x 2 ? a 在 ?1,2 ? 上恒成立,只需 a ? x2

? ?

min

? 1 ,所以命题 p : a ? 1 ;

q :设 f ?x? ? x2 ? 2ax ? 2 ? a ,存在 x0 ? R 使 f ?x0 ? ? 0 ,只需 ? ? 4a 2 ? 4?2 ? a ? ? 0 ,
2 即 a ? a ? 2 ? 0 ? a ? 1或a ? ?2 ,所以命题 q : a ? 1或a ? ?2 .

由?

?a ? 1 得 a ? 1 或 a ? ?2 ?a ? 1或a ? ?2

故实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 a ? ?2 18. 【解析】 ( Ⅰ)a=3,b=4, f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? 4 …………4 分
[来源:Z|xx|k.Com]

(??,1), ( , ??);减区间:(1, ) …………7 分 (Ⅱ) 0 ? a ? 1: 增区间:

1 a

1 a

a ? 1 :增区间: (??, ??)
1 1 a ? 1;增区间:( ? ?, ), (1, ??); 减区间:( ,1) a a

…………9 分 --------------12 分

[来源:学科网]

19.【 解 析 】 (Ⅰ)由题设 AB= AC = SB= SC ? SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角 形, 所以 OA ? OB ? OC ?

2 SA ,且 AO ? BC ,又 △SBC 为等腰三角形, 2

SO ? BC ,且 SO ?

2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 2

所以 △ SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC .???????6 分 (Ⅱ)取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC,SA ? AC , 得 OM ? SC,AM ? SC .∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,AO ? SO,SO BC ? O 得 AO ? 平面 SBC . 所以 AO ? OM ,又 AM ?

3 AO 2 6 . SA ,故 sin ?AMO ? ? ? 2 AM 3 3
3 ??????12 分 3
7

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

20. 【解析】 (Ⅰ)设 F(c,0), 则直线 L 的方程为 2x-y-2c=0, ∵坐标原点 O 到 L 的距离为

2 5 , 5



2c 2 5 ,c=1。?????????????????????2 分 ? 5 5
x2 y 2 1 ? 2 ? 1 经过点 (0,1) ,∴ 2 ? 1 ,b=1,由 a 2 ? b2 ? c 2 得 a 2 ? 2 。 2 a b b
?????????????????4 分

∵椭圆

x2 ? y2 ? 1 ∴椭圆的方程为 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 直线 L 过点 F(1,0), 设其方程为 y=k(x-1) (k ? 0) , 点 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,

? x2 ? ? y2 ? 1 解? 2 得, (2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 。 ? y ? k ( x ? 1) ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 ∴ x1 ? x2 ? ,?????????????????6 分 2k 2 ? 1 2k ? 1

| AC |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] = 2 2 ?

k 2 ?1 (?) ????????? ?? 8 分 2k 2 ? 1

∵过 F 的另一直线交椭圆于 B, D 两点,且 AC ? BD , k ? 0 , ∴直线 BD 的方程为 y= ?

1 (x-1) 。 k

k 2 ?1 1 把 (?) 式中 k 换成 ? ,类比可得 | BD |? 2 2 ? 2 ,??????????10 分 k ?2 k
∴四边形 ABCD 的面积 S ?

1 4(k 2 ? 1)2 16 | AC || BD |? 2 ? , 解得 k ? ?1 , 2 2 (k ? 2)(2k ? 1) 9
?????????12 分

∴直线 L 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0 。 21. 解 析 : ( 1 ) 当 a ? 0 时 , f ( x) ? ?

1 1 2 1-2x ? 2 ln x ? f 、 ( x)= 2 - = 2 ( x ? 0) , 由 x x x x

f、 ( x)=

1-2x 1 ? 1? ?1 ? ? 0 ,解得 x ? ,可知 f ? x ? 在 ? 0, ? 上是增函数,在 ? , ?? ? 上是减函数. 2 x 2 ? 2? ?2 ?

∴ f ? x ? 的极大值为 f ( ) ? 2 ln 2 ? 2 ,无极小值.

1 2

1 1 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 (2) f ( x) ? 2ax ? ? (2 ? a) ln x ? f 、 ( x)=2a ? 2 ? (2 ? a) ? x x x x2
8

①当 0 ? a ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 和 ?

? ?

1? 2?

?1 1? ?1 ? , ?? ? 上是增函数,在 ? , ? 上是减函数; ?2 a? ?a ?

②当 a ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数; ③当 a ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0,

? ?

1? ?1 ?1 1? ? ? 和 ? , ?? ? 上是增函数,在 ? , ? 上是减函数 8 分 a? ?2 ?a 2? ?

(3)当 2 ? a ? 3 时,由(2)可知 f ? x ? 在 1,3 上是增函数, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (3) ? f (1) ? 4a ? (2 ? a ) ln 3 ?

? ?

4 . 3

由 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 对任意的 a∈(2, 3),x1, x2∈[1, 3]恒成立, ∴ (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) max

4 对任意 2 ? a ? 3 恒成立, 3 4 10 4 32 32 ? 即m ? 4? 对任意 2 ? a ? 3 恒成立, 由于当 2 ? a ? 3 时, ? 4 ? , ∴m ? . 3a 3 3a 9 9
即 (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? 4a ? (2 ? a) ln 3 ? 22.选修 4—1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 OA , ∵ OA ? OB , ∴ ?OAB ? ?OBA .??????????1 分 ∵ PA 与圆 O 相切于点 A , ∴ ?OAP ? 90? . ∴ ?PAC ? 90? ? ?OAB .????????2 分 ∵ OB ? OP , ∴ ?BCO ? 90? ? ?OBA .????????3 分 ∴ ?BCO ? ?PAC . 又∵ ?BCO ? ?PCA , ∴ ?PCA ? ?PAC . ∴ PA ? PC . ????????????5 分
9

????????4 分

(Ⅱ)解:假设 PO 与圆 O 相交于点 M ,延长 PO 交圆 O 于点 N . ∵ PA 与圆 O 相切于点 A , PMN 是圆 O 割线,
2 ∴ PA ? PM PN ? (PO ? OM ) (PO ? ON ) .?????6 分

∵ OP ? 5 , OM ? ON ? 3 ,
2 ∴ PA ? (5 ? 3) (5 ? 3) ? 16 .

∴ PA ? 4 .????????????8 分 ∴由(Ⅰ)知 PC ? PA ? 4 . ∴ OC ? 5 ? 4 ? 1 .
2 2 2 在 Rt ?OBC 中, BC ? OB ? OC ? 9 ? 1 ? 10

∴ BC ? 10 .??????????10 分

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 【解析】 圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? 2 2 ( ? 为参数),∴普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 , y ? ? 4 ? 2 sin ? ?
| 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | 2
, ?ABM 的面

点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? 积S ?

1 ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2sin ? ? 9 | 2 ? ?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | ,∴ ?ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2 . 4

24.选修 4—5:不等式选讲 【答案】解:(I)函数的定义域满足 | x ? 1 | ? | x ? 5 | ?a ? 0 , 即 | x ? 1 | ? | x ? 5 |? a , 设 g ? x ? ?| x ? 1| ? | x ? 5 |

10

?2 x ? 6 ? 则 g ? x ? ?| x ? 1 | ? | x ? 5 |? ? 4 ?6 ? 2 x ?

( x ? 5) (1 ? x ? 5) ( x ? 1)
??????????3 分

g ? x ?min ? 4, f ? x ?min ? log2 (4 ? 2) ? 1

??????????5 分

(II)由(1)知, g ? x ? ?| x ? 1| ? | x ? 5 | 的最小值为 4。

| x ? 1 | ? | x ? 5 | ?a ? 0 , ? a ? 4,? a 的取值范围是 ? ??, 4? ??????????10 分

11


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