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高中数学导数及其应用知识点总结及练习教案-学生


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教师: 教师 学科 类型 学案主题 数学

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时间:_ 2016 _年_ _月

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知识讲解:√

《导数及其应用》复习

教学目标

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数

教学重点、 掌握导数的概念和求法。 掌握利用导数研究函数的单调性及导数的应用。 难点 知识点复习 【知识点梳理】

《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率:函数 f (x) 在区间 [x1, x2 ] 上的平均变化率为: 即:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 。 x2 ? x1

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x

注 1:其中 ?x 是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注 2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2. 导数的定义:设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上有定义, x0 ? (a, b) ,若 ? x 无限趋近于 0 时,比值

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 无限趋近于一个常数 A,则称函数 f (x) 在 x ? x0 处可导,并称该常数 A 为函数 ? ?x ?x
教学过程
f (x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 。函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

注意:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。 3. 求函数导数的基本步骤: ( 1 )求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ( 2 )求平均变化率:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; (3)取极限,当 ? x 无限趋近与 0 时, 无限趋近与一个常数 A, ?x ?x
则 f ?( x0 ) ? A . 4. 导数的几何意义: 函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率。由此,可以利用导 数求曲线的切线方程,具体求法分两步: (1)求出 y ? f ( x) 在 x0 处的导数,即为曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 。 当点 P( x0 , y0 ) 不在 y ? f ( x) 上时,求经过点 P 的 y ? f ( x) 的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标
1

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得到切线方程,再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地,如果曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线平 行与 y 轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为 x ? x0 。 5. 导数的物理意义: 质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数 S (t ) ,则 V ? S ?(t ) 表示瞬时速度, a ? v?(t ) 表示瞬时加速 度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数: (1) (kx ? b)? ? k (k, b 为常数); (3) ( x)? ? 1 ; (5) ( x3 )? ? 3x2 ; (7) ( x )? ? 1 ; 2 x (9) (a x )? ? a x ln a(a ? 0, a ? 1) ; (11) (e x )? ? e x ; (13) (sin x)? ? cos x ; (2) C ? ? 0 (C 为常数); (4) ( x 2 )? ? 2 x ; (6) ( 1 )? ? ? 12 ; x x (8) ( xα )? ? αxα ?1 (α 为常数) ; (10) (log a x)? ? 1 log a e ? 1 (a ? 0, a ? 1) ; x x ln a (12) (ln x)? ? 1 ; x (14) (cos x)? ? ? sin x 。

2. 函数的和、差、积、商的导数(若 f ? x ? , g ? x ? 均可导): (1) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ; (2) [Cf ( x)]? ? Cf ?( x) (C 为常数) ; (3) [ f ( x) g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ; f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ]? ? ( g ( x) ? 0) 。 (4) [ g ( x) g 2 ( x) 3. 简单复合函数的导数:
? ? yu ? ? ux ? ,即 y x ? ? yu ? ?a。 若 y ? f (u ), u ? ax ? b ,则 yx

三、导数的应用 1. 求函数的单调性: 利用导数求函数单调性的基本方法:设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导, (1)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为增函数; (2)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为减函数; (3)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤:①求函数 y ? f ( x) 的定义域;②求导数 f ?( x) ; ③解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域 内的不间断区间为减区间。 反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围) : 设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内可导, (1)如果函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为增函数,则 f ?( x) ? 0 (其中使 f ?( x) ? 0 的 x 值不构成区间); (2) 如果函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为减函数,则 f ?( x) ? 0 (其中使 f ?( x) ? 0 的 x 值不构成区间); (3) 如果函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上为常数函数,则 f ?( x) ? 0 恒成立。 2. 求函数的极值:

2

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设 函 数 y ? f ( x) 在 x0 及 其 附 近 有 定 义 , 如 果 对 x0 附 近 的 所 有 的 点 都 有 f ( x) ? f ( x0 ) ( 或 ,则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极小值(或极大值) 。 f ( x) ? f ( x0 ) ) 可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是: (1) 确定函数 f ( x) 的定义域; (2) 求导数 f ?( x) ; (3) 求方程 f ?( x) ? 0 的全部实根,x1 ? x2 ? ? ? xn , 顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:x 变化时, f ?( x) 和 f ( x) 值的变化情况: x
f ?( x) f ( x)

(??, x1 )

x1

( x1 , x2 )



xn

( xn , ??)

正负 单调性

0

正负 单调性

0

正负 单调性

(4)检查 f ?( x) 的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值: 如果函数 f ( x) 在定义域 I 内存在 x0 ,使得对任意的 x ? I ,总有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则称 f ( x0 ) 为函数在 定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一,但在定义域内的最值是唯一的。 求函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的最大值和最小值的步骤: (1)求 f ( x) 在区间 (a, b) 上的极值; (2)将第一步中求得的极值与 f (a), f (b) 比较,得到 f ( x) 在区间 [a, b] 上的最大值与最小值。 4. 解决不等式的有关问题: (1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。

f ( x)( x ? A) 的值域是 [a, b] 时,
不等式 f ( x) ? 0 恒成立的充要条件是 f ( x)max ? 0 ,即 b ? 0 ; 不等式 f ( x ) ? 0 恒成立的充要条件是 f ( x ) min ? 0 ,即 a ? 0 。

f ( x)( x ? A) 的值域是 ( a, b) 时,
不等式 f ( x) ? 0 恒成立的充要条件是 b ? 0 ; 不等式 f ( x ) ? 0 恒成立的充要条件是 a ? 0 。 ( 2 )证明不等式 f ( x) ? 0 可转化为证明 f ( x)max ? 0 ,或利用函数 f ( x) 的单调性,转化为证明
f ( x) ? f ( x0 ) ? 0 。

5. 导数在实际生活中的应用: 实际生活求解最大(小)值问题,通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时,一定 要注意,极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。

《导数及其应用》单元测试题
(满分:150 分 时间:120 分钟) 一、选择题(本大题共 10 小题,共 50 分,只有一个答案正确)
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1.函数 f ( x) ? ?2?x? 的导数是( (A) f ?( x) ? 4?x

) (C) f ?( x) ? 8? 2 x ) (D) ?0,2? (D) f ?( x) ? 16?x

(B) f ?( x) ? 4? 2 x

2.函数 f ( x) ? x ? e ? x 的一个单调递增区间是( (A) ?? 1,0? (B) ?2,8? (C) ?1,2?

3. 已知对任意实数 x , 有 f (? x) ? ? f ( x),g (? x) ? g ( x) , 且 x ? 0 时,f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 , 则x?0 时( ) B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ) (D) b ?

A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

4.若函数 f ( x) ? x 3 ? 3bx ? 3b 在 ?0,1? 内有极小值,则( (A) 0 ? b ? 1 (B) b ? 1 (C) b ? 0

1 2


5.若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 6.曲线 y ? e x 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

D. x ? 4 y ? 3 ? 0 )

9 2 A. e 4

B. 2e

2

C. e

2

e2 D. 2

7.设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系中,不可能 正确的是( )

2 8.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,则

f (1) 的最小值为( f '(0)
A. 3



B.

5 2

C. 2

D.

3 2


x 2 ? ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的( 9.设 p : f ( x) ? e ? ln x ? 2x ? mx ? 1 在 (0,

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A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

10. 函数 f ( x) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( (A) 0 ? f (2) ? f (3) ? f (3) ? f (2)
/ /

y

(B) 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2)
/ /

(C) 0 ? f (3) ? f (2) ? f (3) ? f (2)
/ /

(D) 0 ? f (3) ? f (2) ? f (2) ? f (3)
/ /

O

1 2 3 4

x

二.填空题(本大题共 4 小题,共 20 分) 11.函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是____. 12.已知函数 f ( x) ? x3 ?12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m ,则 M ? m ? __. 13.点 P 在曲线 y ? x ? x ?
3

2 上移动,设在点 P 处的切线的倾斜角为为 ? ,则 ? 的取值范围是 3

14 . 已 知 函 数 y ? 是

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 (1) 若 函 数 在 ?? ?,??? 总 是 单 调 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 3
. (2)若函数在 [1,??) 上总是单调函数,则 a 的取值范围 . .

(3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是 三.解答题(本大题共 4 小题,共 12+12+14+14+14+14=80 分)

15.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体 的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

16.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围. (2)若对于任意的 x ? [0,
2

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17.设函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x ? 2 分别在 x1、x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、 B 的坐标分别为

??? ? ??? ? 、 , 该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点, . (x1 ,f ( x1 )) (x2 ,f ( x2 ))
求 (Ⅰ)求点 A、 B 的坐标; (Ⅱ)求动点 Q 的轨迹方程.

18. 已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 3. (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围.

19.已知 f ( x) ?

ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 4 x ? 1?a ? R ? 3

(1)当 a ? ?1 时,求函数的单调区间。 (2)当 a ? R 时,讨论函数的单调增区间。 (3)是否存在负实数 a ,使 x ? ?? 1,0? ,函数有最小值-3?

20.已知函数 f ? x ? ? x ?

(2)若对任意的 x1, x2 ??1 ,e?( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求实数 a 的取 值范围.

a2 , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;

课后作业

练习题 本节课教学计划完成情况:照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ ____________________________ 学生的接受程度: 5 4 3 2 1 ______________________________

学生成长 记录

学生的课堂表现:很积极□ 比较积极□ 一般积极□ 学生上次作业完成情况: 优□

不积极□

___________________________

良□ 中□ 差□ 存在问题 _____________________________

学管师( 班主任)_______________________________________________________________

注 备
签字时间 教学组长审批 教学主任审批

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