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第3讲 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题

第 3 讲 圆锥曲线中的定点、定值与最值问题

【选题明细表】 知识点、方法 圆锥曲线中的最值问题 圆锥曲线中的定点问题 圆锥曲线中的定值问题 题号 1 3 2、4

1.(2013 山东滨州高三一模)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 , 直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 与曲线|y|=kx(k>0)的交点为 A、B,求△OAB 面积的最 大值. 解:(1)由题设可知,圆 O 的方程为 x2+y2=b2, 因为直线 l:x-y+2=0 与圆 O 相切, 故有 所以 b= . 已知 e= = , 所以有 a2=3c2=3(a2-b2). 所以 a2=3. 所以椭圆 C 的方程为 + =1. =b.

(2)设点 A(x0,y0)(x0>0,y0>0),则 y0=kx0, 设 AB 交 x 轴于点 D, 由对称性知:S△OAB=2S△OAD=2× x0y0=k . 由 解得 = . = ≤ = .

所以 S△OAB=k·

当且仅当 =3k,即 k= 时取等号. 所以△OAB 面积的最大值为 . 2.设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点. (1)设 l 的斜率为 1,求|AB|的大小; (2)求证: · 是一个定值.

(1)解:∵F(1,0),∴直线 l 的方程为 y=x-1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得 x2-6x+1=0,

∴x1+x2=6,x1x2=1. ∴|AB|=

= · = × =8.

(2)证明:设直线 l 的方程为 x=ky+1, 由 得 y2-4ky-4=0.

∴y1+y2=4k,y1y2=-4, =(x1,y1), ∵ · =(x2,y2).

=x1x2+y1y2 =(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2 =-4k2+4k2+1-4=-3.

∴ ·

是一个定值.

3.(2013 河南郑州高中毕业年级第三次质量预测)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率 e= ,短轴右端点为 A,P(1,0)为线段 OA 的 中点.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)过点 P 任作一条直线与椭圆 C 相交于两点 M,N,试问在 x 轴上是否 存在定点 Q,使得∠MQP=∠NQP,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说 明理由. 解:(1)由已知,b=2,又 e= , 即 = ,解得 a=2 ,

所以椭圆方程为 + =1. (2)存在.证明如下: 假设存在点 Q(x0,0)满足题设条件. 当 MN⊥x 轴时,由椭圆的对称性可知恒有∠MQP=∠NQP,即 x0∈R; 当 MN 与 x 轴不垂直时, 设 MN 所在直线的方程为 y=k(x-1), 代入椭圆方程化简得(k2+3)x2-2k2x+k2-12=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2= kMQ+kNQ= = = + + , ,x1x2= .

(x1-1)(x2-x0)+(x2-1)(x1-x0) =2x1x2-(1+x0)(x1+x2)+2x0

=

-

+2x0,

若∠MQP=∠NQP,则 kMQ+kNQ=0, 即 k[ +2x0]=0,

整理得 k(x0-4)=0, ∵k∈R,∴x0=4,∴Q(4,0). 综上,在 x 轴上存在定点 Q(4,0),使得∠MQP=∠NQP. 4.(2013 广东汕头高三二模)已知抛物线和双曲线都经过点 M(1,2), 它们在 x 轴上有共同焦点,对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标 原点. (1)求抛物线和双曲线的标准方程; (2)已知动直线 m 过点 P(3,0),交抛物线于 A,B 两点,记以线段 AP 为 直径的圆为圆 C. 求证:存在垂直于 x 轴的直线 l 被圆 C 截得的弦长为定值,并求出直线 l 的方程. (1)解:设抛物线方程为 y2=2px(p>0),将 M(1,2)代入方程得 p=2. ∴抛物线方程为 y2=4x. 对于双曲线,半焦距 c=1. 法一 设 F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点, 由定义有 2a=||MF1|-|MF2||=2 -2, ∴a= -1, ∴a2=3-2 ,

∴b2=c2-a2=2 -2, ∴双曲线的方程为 =1.

法二 设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0), 因为点 M(1,2)在双曲线上,所以 - =1,① 因为半焦距 c=1,所以 a2+b2=1,② 由①②解得 a2=3-2 ,b2=2 -2. ∴双曲线的方程为 =1.

(2)证明:依题意,AP 的中点为 C,设 A(x1,y1), 则 C( , ).

设 D,E 是圆 C 上的两点,且 DE⊥x 轴,DE 中点为 H,D(x2,y2),H(x2,y3), 则|DC|= |AP|= |CH|=| ,

-x2|= |(x1-2x2)+3|

|DH|2=|DC|2-|CH|2 = [(x1-3)2+ ]- [(x1-2x2)+3]2 =(x2-2)x1- +3x2 当 x2=2 时,|DH|2=-4+6=2. ∴|DE|=2|DH|=2 为定值.

故存在垂直于 x 轴的直线 l(直线 DE)被圆 C 截得的弦长为定值,直线 l 的方程是 x=2.


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