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【步步高】(浙江专用)2017年高考数学 专题三 三角函数 第25练 三角函数的综合应用练习

【步步高】 (浙江专用)2017 年高考数学 专题三 三角函数 第 25 练 三角函数的综合应用练习
训练目标 训练题型 (1)三角函数图象、性质的应用;(2)三角函数与解三角形的综合. (1)讨论函数 y=Asin(ω x+φ )+k 的图象、性质;(2)三角变换和三角函数的 结合;(3)三角函数与解三角形. (1)讨论三角函数的性质, 可先进行三角变换, 化成 y=Asin(ω x+φ )+k 的形 解题策略 式或复合函数;(2)解题中贯穿整体代换、数形结合思想;(3)三角函数和解三 角形的综合问题,一定要结合正弦、余弦定理,利用三角形中的边角关系.

π π π 1.已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )(ω >0,- ≤φ < )的图象关于直线 x= 对称,且图 2 2 3 象上相邻两个最高点的距离为 π . (1)求 ω 和 φ 的值; α 3 π 2π 3π (2)若 f( )= ( <α < ),求 cos(α + )的值. 2 4 6 3 2

2.已知在锐角△ABC 中,两向量 p=(2-2sin A,cos A+sin A),q=(sin A-cos A,1+ sin A),且 p 与 q 是共线向量. (1)求 A 的大小; (2)求函数 y=2sin B+cos(
2

C-3B
2

)取最大值时,B 的大小.

1

3.已知函数 f(x)=sin(x-

π π 2x )+cos(x- ),g(x)=2sin . 6 3 2

3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α )= ,求 g(α )的值; 5 (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合.

1 4.(2016·襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学四校联考)已知函数 f(x)=a·b+ , 2 其中 a=( 3sin x-cos x,-1),b=(cos x,1). (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; (2)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 c=3,f(C)=0,若 sin(A+C)=2sin

A,求 a、b 的值.

2

答案解析 1.解 (1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π , 2π 所以 f(x)的最小正周期 T=π ,从而 ω = =2.

T

π 又因为 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2· +φ =kπ + ,k∈Z. 3 2 π π 由- ≤φ < 得 k=0, 2 2 π 2π π 所以 φ = - =- . 2 3 6 α α π 3 (2)由(1)得 f( )= 3·sin(2· - )= , 2 2 6 4 π 1 所以 sin(α - )= . 6 4 π 2π π π 由 <α < 得 0<α - < , 6 3 6 2 π 所以 cos(α - )= 6 = 15 . 4 π 2 1-sin (α - )= 6 1 2 1- ( ) 4

3π π π 因此 cos(α + )=sin α =sin[(α - )+ ] 2 6 6 π π π π =sin(α - )cos +cos(α - )sin 6 6 6 6 1 3 15 1 3+ 15 = × + × = . 4 2 4 2 8 2.解 (1)∵p 与 q 是共线向量, ∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A+sin A)(sin A-cos A)=0, 3 3 2 ∴sin A= ,sin A= , 4 2 ∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60°. (2)y=2sin B+cos(
2

C-3B
2

)

3

180°-B-A-3B 2 =2sin B+cos( ) 2 =2sin B+cos(2B-60°) =1-cos 2B+cos(2B-60°) =1-cos 2B+cos 2Bcos 60°+sin 2Bsin 60° 1 3 =1- cos 2B+ sin 2B 2 2 =1+sin(2B-30°), 当函数取最大值 2 时,2B-30°=90°,即 B=60°. π π 3.解 f(x)=sin(x- )+cos(x- ) 6 3 = 3 1 1 3 sin x- cos x+ cos x+ sin x 2 2 2 2
2

= 3sin x,

x g(x)=2sin2 =1-cos x.
2 3 3 3 (1)由 f(α )= 得 sin α = . 5 5 又 α 是第一象限角,所以 cos α >0. 4 1 2 从而 g(α )=1-cos α =1- 1-sin α =1- = . 5 5 (2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x, 即 3sin x+cos x≥1. π 1 于是 sin(x+ )≥ . 6 2 π π 5π 从而 2kπ + ≤x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 6 6 6 2π 即 2kπ ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 3 2π 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|2kπ ≤x≤2kπ + ,k∈Z}. 3 4.解 (1)依题意:m+n=(cos A-sin A+ 2,cos A+sin A), 因为|m+n|=2, 所以(cos A-sin A+ 2) +(cos A+sin A) =4, 化简得:sin A=cos A? tan A=1, π 故有 A= . 4
4
2 2

(2)依题意,在△ABC 中,由正弦定理 =2R=4, sin A 所以 a=2 2, 由余弦定理可得:a =b +c -2b·c·cos A, 化简得:c -2 2c-4=0,解得 c= 2+ 6(负值舍去). 1 5.解 (1)f(x)=a·b+ 2 = 3sin xcos x-cos x-1+ =
2 2 2 2 2

a

1 2

3 1 1 sin 2x- (1+cos 2x)- 2 2 2

π =sin(2x- )-1. 6

f(x)的最大值为 0,最小正周期为 π .
π (2)f(C)=sin(2C- )-1=0, 6 π π 11π 又- <2C- < , 6 6 6 π 解得 C= . 3 又∵sin(A+C)=sin B=2sin A,

a 1 由正弦定理得 = ,① b 2
π 2 2 2 由余弦定理得 c =a +b -2abcos , 3 即 a +b -ab=9.② 由①②解得:a= 3,b=2 3.
2 2

5


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