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重庆南开中学2015-2016学年高一上学期入学考试数学试题卷


重庆南开中学高 2018 级入学摸底考试
考试时间:2015 年 9 月 7 日晚 8:00 一 10:00 一、选择题(本大题共 l2 小题.每小题 4 分。共 48 分) 1.已知 ?x ? y ? ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 y ? x 的值为(
2

数学试题
总分:150 分

) C.-l D.0
5

A.1

B.2
6

2.某市 2013 年底机动车的数量是 2 ? 10 辆,2014 年新增 3 ? 10 辆,用科学记数法表示该 市 2014 年底机动车的数量是( )

3 ? 10 辆 A . 2.
5

2 ? 10 辆 B . 3.
5

3 ? 10 辆 C . 2.
6

2 ? 10 辆 D. 3.
6

3.晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美,现从中选取以下四种窗格图案,其中是中 心对称图形但不是轴对称图形的是( )

4.下列因式分解正确的是(
4 3 2 2

)
2

A. a b ? 6a b ? 9a b ? a b(a ? 6a ? 9) C. x 2 ? 2 x ? 4 ? ?x ? 2?
2

1 ? 1? B. x ? x ? ? ? x ? ? 4 ? 2?
2
2 2

2

D. 4 x ? y ? ?4 x ? y ??4 x ? y ?

5.重庆南开(融侨)篮球队的 l8 名队员的年龄如表所示:

这 18 名队员年龄的众数和中位数分别是( A.13 岁,l4 岁 l5 岁 6.下列结论正确的是( A. ) B.

) C. 14 岁,l3 岁 D.14 岁。

B.14 岁,l4 岁

5 ?1 5 > 2 8
1 2

5 ?1 5 < 2 8

C.

3 - 1<

1 2

D. 3 - 1 ?

7.一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点 D 恰好 放在等腰直角三角形的斜边上,AC 与 DM,DN 分别交于 点 E,F,把 ? DEF 绕点 D 旋转到一定位置,使得 DE=DF, 则 ? BDN 的度数是( A. 105° ) B. 115° C. 120° D. 135°

8.对于两个不相等的实数 a、b,我们规定符号 Max{a,b}表示 a、b 中的较大值,如:

? x? ? Max{2,4}=4,按照这个规定,方程 Max ?x,
A. 1 ? 2 B. 2 ? 2

2x ? 1 的解为( x

). D. 1 ? 2 或 ? 1

C. 1 ? 2 或 1 ? 2

9.如果一种变换是将抛物线向右平移 2 个单位或向上平移 l 个单位,我们把这种变换称 为抛物线的简单变换。已知抛物线经过两次简单变换后冉卜条抛物线是 y ? x 2 ? 1 ,则 原抛物线的解析式不可能的是( A. y ? x ? 1
2

) B. y ? x ? 6 x ? 5
2

C. y ? x ? 4 x ? 4
2

D. y ? x ? 8x ? 17
2

10.如图,正方形 ABCD 的边长为 3cm,动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 BCCD-DA 运动,到达 A 点停止运动;另一动点 Q 同时从 B 点出发,以 lcm/s 的速度沿着

边 BA 向 A 点运动,到达 A 点停止运动.设 P 点运动时间为 x(s),△BPQ 的面积为 y ( cm ), 则 y 关于 x 的函数图象是(
2

)

11.如图,正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 0, ? ACB 的角平分线分别交 AB、 BD 于 M、N 两点.若 AM=2,则线段 0N 的长为( A.2 ) B.

6 3 6 2

C.1

D.

12.若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 图像过点( x1 ,0),(-2,0),l< x1 <2,与 Y 轴正半轴的交 点 在点(0,2)的下方,下列结论:(1)a<b<0;(2)2a+c>0;(3)4a+C<0;(4)2a-b+l>0 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分。共 24 分) 13.关于 x 的一元二次方程 x ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实数根,则 k 的取值范围是
2

. 14.如图,点 O 为 BC 所在圆的圆心, ?BOC ? 112 ? ,点 D 在 BA 的延长线上,AD=AC, 则 ?D ? .
?

15.在平面直角坐标系中,点 A、B 的坐标分别是(m,3)、(3m-1,3).若线段 AB 与直 线 y ? 2 x ? 1 相交,则 m 的取值范围为 16.有 9 张卡片,分别写有 l~9 这九个数字,将它们背面朝上洗匀后,任意抽出一张,

?4 x ? 3?x ? 1? ? 记卡片上的数字为 a,则关于 x 的不等式组 ? 有解的概率为 x ?1 2x ? <a ? 2 ?
17.已知 ?

.

?m x ? ny ? 8 ?x ? 2 是二元一次方程组 ? 的解,则 2m-n 的平方根为 ?nx ? m y ? 1 ?y ? 1
2 3 100

.

18 . 为 了 求 1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3

的值,可 令 M ? 1? 3 ? 3 ? 3 ??? 3
2 3

100

,则

3M ? 3 ? 32 ? 33 ? 34 ? ? ? 31 0 1,因此, 3M ? M ? 3101 ? 1 ,所以 M ?

3101 ? 1 ,即 2

1 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3100 ?

3101 ? 1 2 3 2015 ,仿照以上推理计算:1 ? 5 ? 5 ? 5 ? ? ? 5 的 2

值是 . 三、计算题(本大题共 3 小题,共 24 分) 19.(4 分)计算: 2 cos30? ?

?1? 3 ?1 ? ? ? . ? 2?

?1

20.(12 分)(1)计算:

3? a ? 5 ? ?? ? a ? 2 ? (2)解方程: x 2 ? 6 x ? 4 ? 0 2a ? 4 ? a ? 2 ?

21.(8 分) 如图,点 C,E,F,B 在同一直线上,点 A,D 在 BC 异侧,AB∥CD,AE=DF, ?A ? ?D ,AB=CF, ?B ? 30? ,求 ?D 的度数.

四、解答题(本大题共 5 小题.共 54 分) 22.(10 分) 为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数,命题教师赴我市某地选取一个 水平相当的初三年级进行调研,命题教师将随机抽取的部分学生成绩(得分为整数,满 分为 l60 分)分为 5 组:第一组 85∽100;第二组 l00∽115;第三组 ll5∽130;第四组 l30 ∽145;第五组 l45∽160,统计后得到如图所示的频数分布直方图(每组含最小值不含 最大值)和扇形统计图,观察图形的信息,回答下列问题:

(1)本次调查共随机抽取了该年级多少名学生? (2)若将得分转化为等级,规定:得分低于 100 分评为“D”,l00∽130 分评为“C” ,130∽145 分评为“B”,l45∽160 分评为“A”,那么该年级 l500 名考生中,考试成 绩评为“B”的学生大约有 名.

(3)如果第一组只有一名是女生,第五组只有一名是男生,针对考试成绩情况,命题 教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想,请你用列表或画树 状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率.

23.(10 分)一水果经销商购进了 A,B 两种水果各 10 箱,分配给他的甲、乙两个零售 店(分别简称甲店、乙店)销售,预计每箱水果的盈利情况如下表:

(1)如果甲、乙两店各配货 l0 箱,其中 A 种水果两店各 5 箱,B 种水果两店各 5 箱, 请你计算出经销商能盈利多少元? (2)在甲、乙两店各配货 10 箱(按整箱配送),且保证乙店盈利不小于 100 元的条件下, 请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案,并求出最大盈利为多少?

24.(10 分)如图, ? ABC 中,AB=AC,点 P 是三角形右外一点,且 ? APB= ? ABC. (1)如图 l,若 ? BAC=60°,点 P 恰巧在 ? ABC 的平分线上,PA =2,求 PB 的长; (2)如图 2,若 ? BAC=60°,探究 PA,PB,PC 的数量关系,并证明; (3)如图 3,若 ? BAC=120°,请直接写出 PA,PB,PC 的数量关系.

25.(12 分)理解:数学兴趣小组在探究如何求 tanl5°的值,经过思考、讨论、交流, 得到以下思路: 思路一 如图 1,在 Rt ? ABC 中, ?C ? 90 ? , ?ABC ? 30? ,延 长 CB 至点 D,使 BD=BA,连接 AD. 设 AC=1,则 BD=BA=2,BC= 3 ;.

tan D ? tan15? ?

1 2? 3

?

?2 ? 3 ??2 ? 3 ? ? 2 ?

2? 3

3.

思路二 利用科普书上的和(差)角正切公式: tan?? ? ? ? ? 假设 ? =60°, ? =45°,代入差角正切公式:

tan? ? tan ? . 1m tan? · tan ?

tan15? ? tan?60? ? 45?? ?

tan60? ? tan45? 3 ?1 ? ? 2? 3 . 1 ? tan60?· tan45? 1 ? 3

思路三 在顶角为 30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以 ? 参考上述思路,请解决下列问题: (1)类比:求出 tan75°的值; (2)拓展:如图 3,直线 y ?

1 4 x ? 1 与双曲线 y ? 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C, 2 x

将直线 AB 绕点 C 逆时针旋转 45°后,是否仍与双曲线相交?若能,求出交点 P 的坐标; 若不能,请说明理由.

26.(12 分)如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线 y ?

1 2 x 交于 A,B 两点, 4

其中点 A 的横坐标是-2. (1)求这条直线的函数关系式及点 B 的坐标. (2)在 x 轴上是否存在点 C,使得 ?ABC 是直角三角形?若存在,求出点 C 的坐标,若 不存在,请说明理由; (3)过线段 AB 上一点 P,作 PM∥x 轴,交抛物线于点 M,点 M 在第一象限,点 N (0, 1),当点 M 的横坐标为何值时,MN+3MP 的长度最大?最大值是多少?


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