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浙江省杭州市西湖高中2014-2015学年高一上学期11月月考数学试卷 Word版含解析


浙江省杭州市西湖高中 2014-2015 学年高一上学期 11 月月考数学 试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (3 分)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)=() A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 2. (3 分)如图所示,集合 M,P,S 是全集 V 的三个子集,则图中阴影部分所表示的集合是 ()

A.(M∩P)∩S (?VS)

B.(M∩P)∪S

C.(M∩S)∩(?VP)

D. (M∩P)∪

3. (3 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,设 a=f(log47) , 0.6 b=f(log23) ,c=f(0.2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是() A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c

4. (3 分)函数 A.{x|1≤x<3} C. {x|1≤x<2 或 2<x<3} 5. (3 分)函数 y=e
﹣|x|

的定义域为() B. {x|1<x<2} D.{x|1≤x<2}

(e 是自然底数)的大致图象是()

A.

B.

C.

D.

6. (3 分)若函数 的取值范围() A. (1,2]∪ A.2

是一个单调递增函数,则实数 a

C. (0,2]∪= 的实数 a 的个数为() B. 4 C. 6 D.8

9. (3 分)函数 f(x)=x(|x|﹣1)在上的最小值为 A. B. C.

,最大值为 2,则 n﹣m 的最大值为() D.2

10. (3 分)设函数 A. (a,b)有对. B.

(a∈R) .若方程 f(f(x) )=x 有解,则 a 的取值范围为() C. D. (a<b)的实数对

14. (4 分)在同一坐标系中,y=2 与 y=log2x 的图象与一次函数 y=﹣x+b 的图象的两个交点 的横坐标之和为 6,则 b=. 15. (4 分)已知函数 f(x)满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,且 f(x)在(x ﹣ax﹣1)≥0,则 a=.
2

x

三、解答题:本大题共 4 小题.共 42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. x 18. (8 分)设集合 A={y|y=2 ,1≤x≤2},B={x|0<lnx<1},C={x|t+1<x<2t,t∈R}. (1)求 A∩B; (2)若 A∩C=C,求 t 的取值范围.

19. (10 分)已知

是奇函数.

(1)求 a 的值; (2)判断并证明 f(x)在(0,+∞)上的单调性; x (3)若关于 x 的方程 k?f(x)=2 在(0,1]上有解,求 k 的取值范围. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣ax+2a﹣1(a 为实常数) . (1)若 a=0,求函数 y=|f(x)|的单调递增区间; (2)设 f(x)在区间的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式; (3)设 h(x)= ,若函数 h(x)在区间上是增函数,求实数 a 的取值范围.
2 2

21. (12 分)设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=lg(x ﹣ax+10) ,a∈R. (1)若 f(1)=lg5,求 f(x)的解析式; x x (2)若 a=0,不等式 f(k?2 )+f(4 +k+1)>0 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)若 f(x)的值域为 R,求 a 的取值范围.

浙江省杭州市西湖高中 2014-2015 学年高一上学期 11 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (3 分)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)=() A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3 } D.{4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 根据 A 与 B 求出两集合的并集,由全集 U,找出不属于并集的元素,即可求出所求 的集合. 解答: 解:∵A={1,2},B={2 ,3}, ∴A∪B={1,2,3}, ∵全集 U={1,2,3,4}, ∴?U(A∪B)={4}. 故选 D 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (3 分)如图所示,集合 M,P,S 是全集 V 的三个子集,则图中阴影部分所表 示的集合是 ()

A.(M∩P)∩S (?VS) 考点: 专题: 分析: 解答:

B.(M∩P)∪S

C.(M∩S)∩(?VP)

D. (M∩P)∪

Venn 图表达集合的关系及运算. 计算题. 分析阴影部分的元素的性质,根据交集,补集的定义求解. 解:由图中阴影部分的元素属于集合 M,属于集合 S,但不属于集合 P,

∴阴影部分所表示的集合(M∩S)∩(CUP) , 故选 C. 点评: 本题考查了 Venn 图表示集合的关系,也可表示为 M∩(CSP) . 3. (3 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,设 a=f(log47) , 0.6 b=f(log23) ,c=f(0.2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是() A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 考点: 奇偶性与单调性的综合;对数值大小的比较.

专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,可得出自变量的绝对 值越小,函数值越大,由此问题转化为比较自变量的大小,问题即可解决. 解答: 解:f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,要得函数在(0,+∞) 上是减函数, 图象越靠近 y 轴,图象越靠上,即自变量的绝对值越小,函数值越大, 由于 0<0.2 <1<log47<log49=log23, 可得 b<a<c, 故选 C. 点评: 本题解答的关键是根据函数的性质得出自变量的绝对值越小,函数值越大这一特征, 由此转化为比较自变量的大小,使得问题容易解决.这也是本题解答的亮点.
0.6

4. (3 分)函数 A.{x|1≤x<3} C. {x|1≤x<2 或 2<x<3}

的定义域为() B. {x|1<x<2} D.{x|1≤x<2}

考点: 对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及 应用. 分析: 根据函数成立的条件,结合对数函数,根式函数和分式函数的性质,求函数的定义 域即可.

解答: 解:要使函数有意义,则









解得 1≤x<3 且 x≠2,即 1≤x<2 或 2<x<3. ∴函数的定义域为{x|1≤x<2 或 2<x<3}. 故选:C. 点评: 本题主要考查函数定义域的求法,要求熟练常见函数成立的条件. 5. (3 分)函数 y=e
﹣|x|

(e 是自然底数)的大致图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用.
﹣|x|

分析: 由于 y=e

=

.利用指数函数的图象与性质即可得出.

解答: 解:∵y=e

﹣|x|

=



根据指数函数的图象与性质可知:应选 C. 故选 C. 点评: 本题考查了指数函数的图象与性质、分类讨论,属于基础题.

6. (3 分)若函 数

是一个单调递增函数,则实数 a

的取值范围() A. (1,2]∪ C. (0,2]∪∪∪, 故选:C. 点评: 本题主要考查 复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于 中档题.
2

8. (3 分)已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣1) +1,满足 f= 的实数 a 的个 数为() A.2

B. 4

C. 6

D.8

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 令 f(a)=x,则 f= 转化为 f(x)= .先解 f(x)= 在 x≥0 时的解,再利用偶函数 的性质,求出 f(x)= 在 x<0 时的解,最后解方程 f(a)=x 即可. 解答: 解:令 f(a)=x,则 f= 变形为 f(x)= ; 当 x≥0 时,f(x)=﹣(x﹣1) +1= ,解得 x1=1+ ∵f(x)为偶函数, ∴当 x<0 时,f(x)= 的解为 x3=﹣1﹣ 综上所述,f(a)=1+ ,1﹣ ,﹣1﹣ ,x4=﹣1+ ,﹣1+ ; ;
2

,x2=1﹣



当 a≥0 时, f(a)=﹣(a﹣1) +1=1+ f(a)=﹣(a﹣1) +1=1﹣ f(a)=﹣(a﹣1) +1=﹣1﹣ f(a)=﹣(a﹣1) +1=﹣1+
2 2 2 2

,方程无解; ,方程有 2 解; ,方程有 1 解; ,方程有 1 解;

故当 a≥0 时,方程 f(a)=x 有 4 解,由偶函数的性质,易得当 a<0 时,方程 f(a)=x 也有 4 解, 综上所述,满足 f= 的实数 a 的个数为 8, 故选 D. 点评: 本题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题,同时运用了函数与方程思想、 转化思想和分类讨论等数学思想方法, 对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高, 是 2015 届高考的热点问题.

9. (3 分)函数 f(x)=x(|x|﹣1)在上的最小值为 A. B. C.

,最大值为 2,则 n﹣m 的最大值为() D.2

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据二次函数的图象和性质,求出最大值和最小值对应的 x 的取值 ,然后利用数形 结合即可得到结论. 解答: 解:当 x≥0 时,f(x)=x(|x|﹣1)=x ﹣x=(x﹣ )﹣ 当 x<0 时,f(x)=x(|x|﹣1)=﹣x ﹣x=(x+ )+ , 作出函数 f(x)的图象如图: 2 当 x≥0 时,由 f(x)=x ﹣x=2,解得 x=2. 当 x= 时,f( )= .
2 2 2



当 x<0 时,由 f(x)=)=﹣x ﹣x=



即 4x +4x﹣1=0,解得 x= ∴此时 x= ∵上的最小值为 , ,最大值为 2,

2

=



∴n=2, ∴n﹣m 的最大值为 2﹣ 故选:B.

, = ,

点评: 本题主要考查函数最值的应用,利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键,利 用数形结合是解决本题的基本数学思想. 10. (3 分)设函数 A. ∴t=x, 即 f(x)=x, ∴
2

(a∈R) .若方程 f(f(x) )=x 有解,则 a 的取值范围为() B. C. D.

在 x≥0 时有解,

即 x﹣a=x , 2 ∴a=﹣x +x 在 x≥0 时成立, 设 g(x)= ∵x≥0 ∴当 x= 时,g(x)取得最大值 , ∴g(x)≤ , 即 a≤ , 故选:A. 点评: 本题主要考查方程有解的判断,利用换元法将方程进行转化,利用二次函数的图象 和性质是解决本题的关键, 综合性较强,难度较大. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分共 28 分. x 11. (4 分)已知集合 A={x|1≤2 <16},B={x|0≤x<3,x∈N},则 A∩B={0,1,2}. ,

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求出 A 中不等式的解集确定出 A,列举出集合 B,找出两集合的交集即可. 0 x 4 解答: 解:由 A 中的不等式变形得:2 ≤2 <2 ,即 A={x|0≤x≤4}, ∵B={x|0≤x<3,x∈N}={0,1,2}, ∴A∩B={0,1,2}. 故答案为:{0,1,2} 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

12. (4 分)计算

,结果是



考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 利用指数幂的运算法则和分母有理化即可得出. 解答: 解:原式= = =2.5+2﹣4.5+2 = . 故答案为: . 点评: 本题考查了指数幂的运算法则和有理化因式,属于基础题.
2

+1﹣5.5+

13. (4 分)使得函数 f(x)= x ﹣ x﹣ (a≤x≤b)的值域为(a<b)的实数对(a,b)有 2 对. 考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 令 f(x)﹣x= x ﹣ x﹣ ﹣x=0 得方程,从而观察方程根的情况,再由对称轴可得 实数对的个数. 解答: 解:令 f(x)﹣x= x ﹣ x﹣ ﹣x=0, 即 x ﹣9x﹣7 =0, 方程有两个不同的解,且在对称轴的两侧, 又∵f(x)= x ﹣ x﹣ = (x﹣2) ﹣ ﹣ 在方程 x ﹣9x﹣7=0 的两根之间,
2 2 2 2 2 2



故有 2 对,

故答案为:2. 点评: 本题考查了对新定义的应用,属于基础题. 14. (4 分)在同一坐标系中,y=2 与 y=log2x 的图象与一次函数 y=﹣x+b 的图象的两个交点 的横坐标之和为 6,则 b=6. 考点: 反函数;指数函数与对数函数的关系. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 通过两个函数是反函数,利用已知条件求出交点的坐标,然后求出 b 的值. x 解答: 解:因为 y=2 与 y=log2x 互为反函数,所以它们的图象关于 y=x 对称, x 又 y=2 与 y=log2x 的图象与一次函数 y=﹣x+b 的图象的两个交点的横坐标之和为 6, y=﹣x+b 与 y=x 垂直,∴交点的坐标为(3,3) , ∴3=﹣3+b,解得 b=6. 故答案为:6. 点评: 本题考查指数函数与对数函数的图象的关系,反函数的应用,考查分析问题解决问 题的能力. 15. (4 分)已知函数 f(x)满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,且 f(x)在是减函数,通过对 m≥1 与 m≤1 的讨论,利用函数单调性即可求得实数 m 的取值范围. 解答: 解:∵f(1﹣x)=f(1+x) , ∴函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 又 f(x)在是减函数, ∴f(1﹣m)<f(m)?f(1+m)<f(m) , ∵m≤1+m 恒成立, ∴当 m≥1 时,f(x)在是减函数,要使 f(1﹣m)<f(m)成立, 必须 ,解得 m< .
x

故答案为: (﹣∞, ) . 点评: 本题考查抽象函数及其应用,着重考查函数的对称性与单调性的综合应用.考查分 类讨论思想与运算能力,属于中档题.

16. (4 分)已知函数 是.

,若|f(x)|≥ax 恒成立,则 a 的取值范围

考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 分 x>0,x≤0 两种情况进行讨论,x>0 时可知要使不等式恒成立,须有 a≤0;x≤0 时, 再分 x=0,x<0 两种情况讨论,分离参数 a 后化为函数最值可求,注意最后对 a 范围取交集. 解答: 解: (1)当 x>0 时,ln(x+1)>0,要使|f(x)|=ln(x+1)≥ax 恒成立,则此时 a≤0. 2 2 (2)当 x≤0 时,﹣x +2x≤0,则|f(x)|=x ﹣x≥ax, 若 x=0,则左边=右边,a 取任意实数;

若 x<0,|f(x)|=x ﹣x≥ax 可化为 a 则有 a≥x﹣1,此时须满足 a≥﹣1. 综上可得,a 的取值为, 故答案为: . 点评: 本题考查函数恒成立问题,考查转化思想、分类讨论思想,考查学生分析解决问题 的能力,恒成立问题常常转化为函数最值解决. 17. (4 分)设 a∈R,若 x>0 时均有(x ﹣ax﹣1)≥0,则 a= .
2

2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 分类讨论, (1)a=1; (2)a≠1,在 x>0 的整个区间上,我们可以将其分成两个区间, 在各自的区间内恒正或恒负,即可得到结论. 解答: 解: (1)a=1 时,代入题中不等式明显不成立. 2 (2)a≠1,构造函数 y1=(a﹣1)x﹣1,y2=x ﹣ax﹣1,它们都过定点 P(0,﹣1) . 考查函数 y1=(a﹣1)x﹣1:令 y=0,得 M( ,0) ,

∴a>1; 2 2 考查函数 y2=x ﹣ax﹣1,∵x>0 时均有(x ﹣ax﹣1)≥0, ∴y2=x ﹣ax﹣1 过点 M(
2

,0) ,代入得:



解之得:a= ,或 a=0(舍去) . 故答案为: .

点评: 本题考查不等式恒成立问题,解题的关键是构造函数,利用函数的性质求解. 三、解答题:本大题共 4 小题.共 42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. x 18. (8 分)设集合 A={y|y=2 ,1≤x≤2},B={x|0<lnx<1},C={x|t+1<x<2t,t∈R}. (1)求 A∩B; (2)若 A∩C=C,求 t 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;交集及其运算.

专题: 规律型. 分析: (1)求出集合 A,B,利用集合的基本运算求 A∩B; (2)根据 A∩C=C,转化为 C?A,然后求 t 的取值范围. x 解答: 解: (1)∵A={y|y=2 ,1≤x≤2}={y|2≤y≤4},B={x|0<lnx<1}={x|1<x<e}, ∴A∩B={x|2≤x<e}, (2)∵A∩C=C, ∴C?A, 若 C 是空集,则 2t≤t+1,得到 t≤1;

若 C 非空,则

,得 1<t≤2;

综上所述,t≤2. 点评: 本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用,注意对集合 C 要注意讨论.

19. (10 分)已知

是奇函数.

(1)求 a 的值; (2)判断并证明 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (3)若关于 x 的方程 k?f(x)=2 在(0,1]上有解,求 k 的取值范围. 考点: 奇偶性与单调性的综合;根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)由奇函数的定义可得 f(x)=﹣f(﹣x) ,即 f(x)+f(﹣x)=0,合理变形可 求 a; (2)设任意的 0<x1<x2,通过作差可判断 f(x1)与 f(x2)的大小关系,根据单调性的定义 可作出判断; x x 2 x x (3)方程 k?f(x)=2 可化为:2(2 ) ﹣(k+2)?2 ﹣k=0,令 2 =t∈(1,2],则可分离出 参数 k,进而转化为函数的值域问题,借助“对勾”函数的单调性可求得函数值域; 解答: 解: (1)∵ 是奇函数,
x

∴对定义域内的 x,都有 f(x)=﹣f(﹣x) , 即 f(x)+f(﹣x)=0, 则 ∴a=2. (2)f(x)在(0,+∞)上的单调递减. 对任意的 0<x1<x2、 , ,

故 f( x1)>f(x2) ,即 f(x)在(0,+∞)上的单调递减; x x 2 x (3)方程 k?f(x)=2 可化为:2(2 ) ﹣(k+2)?2 ﹣k=0, x 令 2 =t∈(1,2], 2 于是 2t ﹣(k+2)t﹣k=0, 则 又 ∴ 故 . , 在(1,2]上单调递增, 的值域为 ,

点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、方程根的分 布问题,考查转化思想、 函数思想,考查学生解决问题的能力. 20. (12 分)已知函数 f(x)=x ﹣ax+2a﹣1(a 为实常数) . (1)若 a=0,求函数 y=|f(x)|的单调递增区间; (2)设 f(x)在区间的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式; (3)设 h(x)= ,若函数 h(x)在区间上是增函数,求实数 a 的取值范围.
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)当 a=0 时,f(x)=x ﹣1,结合函数 y=|f(x)|的图象可得它的增区间. (2)函数 f(x)=x ﹣ax+2a﹣1 的对称轴为 x= ,分当 时三种情况,分别求得 g(a) ,综合可得结论. (3)根据 ,再分当 2a﹣1≤0 和当 2a﹣1>0 时两种情况,根
2 2

时、当

时、和当

据 h(x)在区间上是增函数,分别求得 a 的范围,再取 并集. 2 解答: 解: (1)当 a=0 时,f(x)=x ﹣1,则结合 y=|f(x)|的图象可得, 此函数在(﹣1,0) , (1,+∞)上单调递增. (2)函数 f(x)=x ﹣ax+2a﹣1 的对称轴为 x= ,当 当 当 时,即 2<a<4, 时,即 a≥4,g(a)=f(2)=3;
2

时,即 a≤2,g(a)=f(1)=a; ;

综上:g(a)=



(3)∵ 当 2a﹣1≤0,即 当 2a﹣1>0,即 递增. 令 ,求得 .

, ,h(x)是单调递增的,符合题意. 时,h(x)在 单调递减,在 单调

综上所述:a≤1. 点评: 本题主要考查二次函数的性质,求二次函数在闭区间上的最值,体现了分类讨论的 数学思想,属于中档题. 21. (12 分)设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=lg(x ﹣ax+10) ,a∈R. (1)若 f(1)=lg5,求 f(x)的解析式; x x (2)若 a=0,不等式 f(k?2 )+f(4 +k+1)>0 恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)若 f(x)的值域为 R,求 a 的取值范围. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(1)=lg5,求得 a=6.求得当 x<0 时 f(x)的解析式,再由 f(0)=0,可 得 f(x)在 R 上的解析式. (2) 若 a=0, 则由 f (x) 为奇函数可得它在 R 上单调递增, 不等式等价于 k?2 +4 +k+1>0. 令 x 2 t=2 (t>0) ,可得 t +kt+k+1>0 在(0,+∞)恒成立,分离参数 k,利用基本不等式求得 k 的 范围. (3)首先需满足 x ﹣ax+10>0 在(0,+∞)上恒成立,于是根据 次,需要 x ﹣ax+10 =0 在(0,+∞)上有解,再根据 ,利用基本不等式求得 a 的范围.再把以上两个 a 的
2 2 x x 2

求得 a 的范围.其

范围取交集,即得所求. 解答: 解: (1)∵f(1)=lg5,∴f(1)=lg(11﹣a)=lg5,所以 a=6. 2 此时,当 x<0 时,﹣x>0,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣lg(x +6x+10) ,又 f(0)=0,





(2)若 a=0,则由 f(x)为奇函数可得它在 R 上单调递增, x x x x 故 f(k?2 )+f(4 +k+1)>0,等价于 k?2 +4 +k+1>0. x 2 令 t=2 (t>0) ,于是,t +kt+k+1>0 在(0,+∞)恒成立, 即

因为

的最大值为
2

,所以

. . .
2

(3)要使 f(x)有意义,首先需满足 x ﹣ax+10>0 在(0,+∞)上恒成立,即 再利用基本不等式求得 x+ ≥2 ,当且仅当 x=
2

时,取等号,∴

其次,要使 f(x)的值域为 R,需要 x ﹣ax+10=1 能取遍所有的正数,故 x ﹣ax+10=1 在(0, +∞)上有解, 可是 ,当且仅当 x=3 时,等号成立.

综上可得, . 点评: 本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用,二次函数的性质,体现了转化的数 学思想,属于中档题.


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