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3.1.3空间向量的数量积运算(第一课时)_图文

一、引入
1.共线向量定理:

空间中任意两个向量a, b (b ? 0)共线(a 的充要条件是存在实数?,使得a ? ? b
2.共线向量定理的推论:

b)

(1)若直线l过点A且与向量 a平行,则 点P在直线l上 ? OP ? OA ? ta (2)三点P、A、B共线的充要条件有:

(1)存在实数t,使得 AP ? t AB,即AP

AB

(2)存在实数t,使得OP ? OA ? t AB
另:存在实数x,y,使得OP ? xOA ? yOB,( x ? y ? 1)

3.共面向量定理:

如果两个向量a、 b不共线, 那么向量 p与a、b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对( x,y ), 使得 p ? xa ? yb.
4.P、A、B、C四点共面充要条件:

(1)存在有序实数对( x, y),使得 AP ? x AB ? y AC (2)对空间中任意一点O,有OP ? OA ? x AB ? y AC
另:对空间中任意一点O,有 OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? 1)

练习:如图,A、B、C是三个不共线的点,O是空间中任意 1 一点,M 是AB的中点,若点P满足OP ? (OA ? OB ? OC ), 3 O (1)求证:P、A、B、C 四点共面;

(2)求证:M 、P、、C三点共线. 1 (1)证明: OP ? (OA ? OB ? OC ) 3 A ? 3OP ? OA ? OB ? OC

C
P M

移项,得OP ? OA ? (OB ? OP) ? (OC ? OP) B

? AP ? PB ? PC,即PA ? ? PB ? PC

? P、A、B、C四点共面

(2)证明:∵点M为AB的中点 1 ? OM ? (OA ? OB),即OA ? OB ? 2OM 2 1 1 OP ? (OA ? OB ? OC ) ? (2OM ? OC ) 3 3

O

? 3OP ? 2OM ? OC

移项,得2(OP ? OM ) ? OC ? OP

A M

C
P

? 2MP ? PC

B

? M 、P、C三点共线

二、基础知识讲解
1. 数量积的定义: 已知非零向量 a与 b ,我们把数量 | a || b | cos ? 叫 作 a与 b 的数量积(或内积),记作 a ? b ,即

a ? b ?| a || b | cos ?

其中,? 为a、 b 的夹角,也可记为 ? a, b?

我们规定零向量与任一向量的数量积为零,即 0 ? a ? 0 注意: (1)数量积是两个向量之间的运算,要与“数乘”相区别; (2)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,它的符号 由cos?的符号决定; (3)点乘符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略, 也不能用“×”代替.

问题1:已知非零向量a、, b 它们的夹角应如何确定?
在空间中任取一点O,作 OA ? a ,OB ? b ,则 ∠AOB= ? 叫做向量 a 与 b 的夹角. ? 也可记为 ? a, b ? 注意在两向量的夹角定义中: (1)两向量必须是同起点的;
b
θ
O B

(2)范围0?≤?≤180?.

a

A

思考:下面式子表示什么意思?它们之间有什么关系? ? OA, OB ?, ? OB, OA ?? ?OA, OB ?, ? OA, ?OB ?

? OA, OB> ?? OB, OA ?? ? ? ? ?OA, OB ?? ? ? ? OA, ?OB ?

问题2:平面向量的数量积的几何意义怎样? 在空间还一样吗?
B

数量积

a 的方向上的投影 | b | cos ? 的乘积。

a ? b 等于 a 的长度 | a |与 b 在

b
O
θ B1

a

A

2.数量积的主要性质:

a ?b ? 0 . (1)a ? b ? _______
| a || b | (2)若 a 与 b 同向, a ? b ? _______ ; ? |_______ a || b | ; 若 a 与 b 反向, a ? b ?
a ?b (3) cos ? a, b ?? | a || b | ____________;
≤ | a || b | .(填 ? 或 ?) (4) | a ? b | ____

|a| . a ? _____
2

2

3.数量积的运算规律:

(1)a ? b ? b ? a; (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b); (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.
思考:等式 (a ? b)c ? a(b ? c) 是否成立? 该等式左端是与c共线的向量,而右端是与a 共线的向量,它们不一定相等.

练习:判断下列说法的真假. (1)若a ? b ? 0, 则a ? 0或b ? 0; (2)若a ? b ? b ? c(b ? 0),则a ? c; (3) p ? q ? ( p ? q ) ;
2 2 2

(× ) (× ) (× ) (√

(4)( p ? q ) ? ( p ? q ) ?| p | ? | q | ;
2 2



三、例题分析
例 1.已知向量 a ? b ,向量 c 与 a, b 的夹角都是 60 , 且 | a |? 1,| b |? 2,| c |? 3 ,下列各式的值: ( 1) ( a ? b ) 2 ; (2) ( a ? 2b) ? (b ? 2c ) ; ( 3) | b ? c | .

例 2.在空间四边形 OABC 中, OA ? 8 , AB ? 6 ,

AC ? 4 , BC ? 5 , ?OAC ? 45 , ?OAB ? 60 , O 求 OA 与 BC 的夹角的余弦值
王新敞
奎屯 新疆

解:∵ BC ? AC ? AB
∴ OA ? BC ? OA ? AC ? OA ? AB
C

? 8 ? 4 ? cos135 ? 8 ? 6 ? cos120 ? 24 ? 16 2
B

A

OA ? BC 24 ? 16 2 3 ? 2 2 ? cos ? OA, BC ?? ? ? 8? 5 5 | OA | ? | BC |

3? 2 2 ∴ OA 与 BC 的夹角的余弦值为 . 5

四、针对性训练
1.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长 都等于1,点E、F 分别是AB、AD的中点。 计算:(1) EF ? BA;(2) EF ? BD; (3) EF ? DC;(4) EF ? AC
E B C A F D

2.已知正方体ABCD - A ' B ' C ' D '中,点E、F (1) AC ' ? x( AB ? BC ? CC ') (2) AE ? AA ' ? x AB ? y AD (3) AF ? AD ? x AB ? y AA '
B A E C D

分别是面A ' C ' 和面CD '的中心,求下列x,y的值;

F A B

D
C

五、小结巩固
掌握空间向量的数量积运算.

六、布置作业
作业:课本P98 习题3.1 A组 4. 练习:创新设计P60~61 课后优化训练

答案: 1. 2.

2

a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? ? sin?180 ? ( ? ? ? ? ? )? sin( ? ? ? ? ? )
3.用长度分别为 2、3、4、5、6(单位: cm )的 5 根 细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断) , 能够得到的三角形的最大面积为( ) A. 8 5cm
2
2

B. 6 10cm D. 20cm 2

2

C. 3 55cm


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