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湖南省衡阳八中2013届高三第三次教育质量检测数学文


一、选择题: (本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M={x|x<3} N={x|log2x>1} , ,则 M∩N=( ) A. ? B. x|0<x<3} { C. x|1<x<3} { D. x|2<x<3} { 0 2.tan780 的值为( ) A. ?
3 3

B. )

3 3

C.

3

D. ?

3

3.以下说法错误的是( ..
2

A.命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 ? 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1,则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ”.
2

B. “ x ? 1 ”是“ x ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.
2

C.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题. D.若命题 p: ? x ? R,使得 x ? x ? 1 ? 0 ? 则 ? p ? ? x ? R,则 x ? x ? 1 ? 0 .
2
2

4.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( A.①和② ) C.③和④ D.②和④ )

B.②和③

5.若对任意的 x ? R ,函数 f ( x ) 满足 f(x+1)=-f(x),且 f(2013)=-2013,则 f(-1)=( A.1 B.-1 C.2013 ) (C) [1, ?? ) ) (D) ( ?? , ? 1] ? [1, ?? ) D.-2013

6.函数 y ? log 2 ( x 2 ? 1) ? log 2 x 的值域是( (A) [ 0 , ?? ) (B) ( ?? , ?? )

7.函数 f ? x ? ? x ln x 的图象大致是(

8.如图,在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 的正三角形,侧棱长为 3,则 AA1 与平面 A B1C 1 所成的角为( A.
?
6



B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

) 9 . 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x? 1 ) 的 图 像 关 于 ( 1 , 0 对 称 , 且 当 x ? ? ? ? , 0 ? 时 , f ( x ) ? x ?f ( x? )
a ? ?3
0 .3 0 .3

0 (


?


?

f ?( x )



f (x)









) ,



? ? f ? 3 ? , b ? ? lo g 3 ? ? f ? lo g 3 ? , c ? ? lo g ?
?

3

1? 1? ? ,则 a , b , c ? ? f ? lo g 3 ? 9? 9? ?

的大小关系是( )

A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中相应的横线上) 10.复数 1 ?
1 i

在复平面上对应的点的坐标是___________

11.曲线 y ? x 3 ? x ? 3 在点 ? 1, 3 ? 处的切线方程为____________. 12.一个几何体的三视图及其尺寸(单位: cm )如图所 示,则该几何体的侧面积为
cm .
2

? ? ? ? ? ? ? 13.向量 a 、 b 满足| a |=1,| b |=2,且 a 与 b 的夹角为3, ? ? 则| a +2 b |= 14.已知函数 f ( x ) ? ax ?
4 x
x

?1

是偶函数,则常数 a 的值为

15.已知函数 f ( x ) ? ? x

2

1 ? ,x ? 0 ?x ? ? 2 x, g ( x) ? ? , 4x ? x ? 1, x ? 0 ?

(1) g [ f (1)] ?



(2)若方程 g [ f ( x )] ? a ? 0 的实数根的个数有 4 个,则 a 的取值范围是 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 7 5 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

16、如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,SD 垂直于底面 ABCD,SB= 3 , (1)求证:BC⊥SC; (2)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小.

s 17、 已知 △ A B C 中, 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , c 且o

A ?

2 5 5



cos B ?

3 10 10



(Ⅰ)求 cos ? A ? B ? 的值; (Ⅱ)设 a ?
10 ,求 △ A B C 的面积.

18.在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,E 是棱 C 1 D 1 的中点,F 是 侧面 AA 1 D 1 D 的中心. (1)求三棱锥 A1 ? D 1 EF 的体积; (2)求 EF 与底面 A1 B 1 C 1 D 1 所成的角的正切值.

19、某产品原来的成本为 1000 元/件,售价为 1200 元/件,年销售量为 1 万件。由于市场饱和 .. 顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查,若投入 x 万元,每件产品的 .. 成本将降低
3x

元,在售价不变的情况下,年销售量将减少 万件,按上述方式进行产品升 . .. x 4

2

级和销售,扣除产品升级资金后的纯利润记为 f ( x ) (单位:万元)(纯利润=每件的利润 .. . ×年销售量-投入的成本) ⑴求 f ( x ) 的函数解析式; ⑵求 f ( x ) 的最大值,以及 f ( x ) 取得最大值时 x 的值. 1 3 2 20、 f(x)=2x +ax +bx+1 的导数为 f′(x), 设 若函数 y=f′(x)的图像关于直线 x=- 对 2 称,且 f′(1)=0.

(1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值.

21、设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; 1 (2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系; x 1 (3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立. a

参考答案
一、选择题: (本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.只有一项是符合题目要求的)

4.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( D ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④

5.若对任意的 x ? R ,函数 f ( x ) 满足 f(x+1)=-f(x),且 f(2013)=-2013,则 f(-1)=( D )

A.1

B.-1

C.2013

D.-2013

6.函数 y ? log 2 ( x 2 ? 1) ? log 2 x 的值域是( C ) (A) [ 0 , ?? ) (B) ( ?? , ?? ) (C) [1, ?? ) (D) ( ?? , ? 1] ? [1, ?? )

7.函数 f ? x ? ? x ln x 的图象大致是( A )

8.如图,在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 的正三角形,侧棱长为 3,则 AA1 与平面 A B1C 1 所成的角为( A.
?
6

B1

A



A1

C1

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2
B

A

C

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中相应的横线上) 10.复数 1 ?
1 i

在复平面上对应的点的坐标是 (1, ? 1)

11.曲线 y ? x 3 ? x ? 3 在点 ? 1, 3 ? 处的切线方程为____________. 2 x ? y ? 1 ? 0 12.一个几何体的三视图及其尺寸(单位: cm )如图所
5 5 8 5 8 5

示,则该几何体的侧面积为 80

cm .

2

? ? ? ? ? ? ? 13.向量 a 、 b 满足| a |=1,| b |=2,且 a 与 b 的夹角为3, ? ? 则| a +2 b |= 2 1 14.已知函数 f ( x ) ? ax ?
4 x
x

正(主)视图

侧(左)视图

?1

是偶函数,则常数 a 的值为 ?

1 2

.

8

俯视图

15.已知函数 f ( x ) ? ? x

2

1 ? ,x ? 0 ?x ? ? 2 x, g ( x) ? ? , 4x ? x ? 1, x ? 0 ?

(1) g [ f (1)] ?

-2


5

(2)若方程 g [ f ( x )] ? a ? 0 的实数根的个数有 4 个,则 a 的取值范围是 [1, )
4

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 7 5 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16、如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,SD 垂直于底面 ABCD,SB= 3 , (1)求证:BC⊥SC; (2)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小. (1)证:∵底面 ABCD 是正方形, ∴BC⊥DC.∵SD⊥底面 ABCD, ∴SD⊥BC.又 DC∩SD=D, ∴BC⊥平面 SDC.∴BC⊥SC. (2) :如下图,取 AB 的中点 P,连结 MP、DP. 在△ABS 中,由中位线定理得 PM∥BS. ∴DM 与 SB 所成的角即为∠DMP. 又 PM2=
3 4

,DP2=

5 4

,DM2=

2 4

.∴DP2=PM2+DM2.∴∠DMP=90°.

∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°.

公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查,若投入 x 万元,每件产品的成本将降低 元, .. . 4

3x

在售价不变的情况下,年销售量将减少

2 x

万件,按上述方式进行产品升级和销售,扣除产 ..

品升级资金后的纯利润记为 f ( x ) (单位:万元)(纯利润=每件的利润×年销售量-投入的 .. . 成本) ⑴求 f ( x ) 的函数解析式; ⑵求 f ( x ) 的最大值,以及 f ( x ) 取得最大值时 x 的值.

1 3 2 20、 f(x)=2x +ax +bx+1 的导数为 f′(x), 设 若函数 y=f′(x)的图像关于直线 x=- 对 2 称,且 f′(1)=0. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值.

f′(x)、f(x)随 x 变化如下表 x f′(x) f(x)
(-∞,-2) + ? -2 0 极大值 (-2,1) - ? 1 0 极小值 (1,+∞) + ?

∴当 x=-2 时,f(x)取得极大值 f(-2)=21,在 x=1 处取得极小值 f(1)=-6. 21、设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; 1 (2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系;

x

1 (3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立.

a


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