koorio.com
海量文库 文档专家
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

【2014高考备战,一轮文科数学,浙江专版】第7单元 立体几何(基础梳理+考点专讲+能力提升,6讲)


第七单元
第37讲

立体几何

空间几何体的结构及三视图和直观图

第38讲
第39讲 第40讲 第41讲 第42讲

空间几何体的表面积与体积
空间点、直线、平面之间的位置关系 直线、平面平行的判定与性质 直线、平面垂直的判定与性质 空间直角坐标系与空间角

单元网络

返回目录

核心导语
一、空间几何体 1.结构特征——通过区分上下底面、侧棱是否平行或 相等以及侧面特点来给不同的几何体定义;而组合体是简 单几何体拼接或者截去、挖去一部分而成. 2.三视图问题——关键是三个图中有关线段的长度关 系,并能还原成立体模型.

返回目录

核心导语
二、空间点、线、面关系 1.平行关系——实现线线、线面、面面平行互化的是 相关性质定理和判定定理,关键是线线平行. 2.垂直关系——实现线线、线面、面面垂直互化的是 相关性质定理和判定定理,关键是线线垂直. 3.点面距离——可以用定义法构造直角三角形来解, 或者用等体积法.

返回目录

使用建议
1.编写意图 立体几何初步的主要内容是空间几何体和空间点、线、 面的位置关系,在高考试题中以中、低档题的形式出现, 因此,编写时主要考虑以下几方面: (1)本单元公理、定理较多,编写时注重从文字、符 号、图形这三方面进行分析,并通过典型例题达到熟练掌 握及应用. (2)空间想象能力是学习立体几何的最基本的能力要 求,选择例题时注重培养学生识图、作图、理解与应用图 的能力. (3)本单元中空间线面的垂直既是高考的重点又是学 习的一大难点,故设置了双面.
返回目录

使用建议
2.教学指导 立体几何主要是培养学生的空间想象能力、推理论证 能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力, 本单元重点是空间的元素之间的平行与垂直关系、空间几 何体的表面积与体积,并关注画图、识图、用图的能力的 提高,在复习时我们要注重以下几点: (1)立足课本,控制难度.新课标对立体几何初步的要 求,改变了经典的“立体几何”把推理论证能力放在最突 出的位置,从单纯强调几何的逻辑推理转变为合情推理与 逻辑推理并重,尤其对文科立体几何的复习,切忌盲目拔 高.
返回目录

使用建议
(2)注重提高空间想象能力.在复习过程中,要注重将 文字语言转化为图形,明确已知元素之间的位置关系及度 量关系;借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关 系;能从复杂图形中分析出基本图形和位置关系,并借助 直观感觉展开联想与猜想,进行推理与计算.

返回目录

使用建议
(3)归纳总结,规范训练.复习中要抓主线,攻重点, 针对重点内容加以训练,如平行和垂直是位置关系的核心, 而线面垂直又是核心的核心;要加强数学思想方法的总结 与提炼,立体几何中蕴含着丰富的思想方法,如转化与化 归思想,熟悉将空间问题转化成平面问题来解决,以及线 线、线面、面面关系的相互转化;要规范例题讲解与作业 训练,例题讲解要重视作、证、求三环节,符号语言表达 要规范、严谨.另外,适度关注对平行、垂直的探究,关 注对条件或结论不完备情景下的开放性问题的探究.

返回目录

使用建议
3.课时安排 本单元包括 5 讲、一个 45 分钟滚动基础训练卷和一个 单元能力检测卷,第 41讲和单元能力检测卷建议各 2课时 完成,其余各讲及 45分钟基础滚动训练卷各 1 课时完成, 大约共需9课时.

返回目录

双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第37讲 空间几何体的结构及 三视图和直观图

返回目录

考试说明
1.了解和正方体,球有关的简单相合体的结构特征, 理解柱、锥、台、球的结构特征. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、 棱柱等的简单组合)的三视图,会用斜二测画法画出它们 的直观图. 3.会用平行投影与中心投影这两种方法,画出简单 空间图形的三视图或直观图,了解空间图形的不同表示形 式. 4.能识别三视图所表示的空间几何体;理解三视图 和直观图的联系,并能进行转化. 5.会计算球、柱、锥、台的表面积和体积(不要求记 忆公式)
返回目录

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

—— 知 识 梳 理 ——
一、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台

图形

返回目录

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

名称

棱柱 ①有两个面 平行 , 互 相 _____ 其余各个面 都 是 平行四边形 ; __________ ②每相邻两 个四边形的 公共边都互 平行 相______.

棱锥 有一个面是 多边形 __________ , 其余各面是 有一个公共 顶 点 的 三角形 ________ 的 多面体

棱台 用一个平行 于棱锥底面 的平面去截 棱 锥 , 底面 ________ 和 截面 ________ 之 间的部分

结构 特征

返回目录

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

名称 侧棱 侧面 形状

棱柱

棱锥

棱台

相 交 于 延长线交于 平行且相等 一点 ___________ ______ 但 不 一点 ___________ 一定相等
平行四边形 三角形 梯形 ___________ ___________ ___________

返回目录

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

二、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球

图形

母线

平行、相 等且 相交于 延长线交 垂直 一点 一点 ______ 于 ________ 于______ 底面
返回目录

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

名称

圆柱 全等的 矩形 ______

圆锥

圆台



轴截面

全等的 全等的 等腰三角形 _______ 等腰梯形 ________

大圆 ________

侧面展 开图

矩形 扇形 扇环 ________ ________ ________

返回目录

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

三、三视图与直观图 三视图 画法规则:长对正,高平齐,宽相等
斜二测画法 来画, 空间几何体的直观图:常用___________ 基本步骤是: 1. 画几何体的底面: 在已知图形中取互相垂直 的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时, 把它们画成对应的 x′轴与 y′轴,两轴相交于点 45°(或135°) ,它们确定的 O′,且使∠x′O′y′=___________ 平面表示水平面;已知图形中平行于 x 轴或 y 平行于 轴的线段, 在直观图中分别画成________ x′轴 或 y′轴的线段; 已知图形中平行于 x 轴的线段, 不变 在直观图中保持原长度________ ,平行于 y 轴 原来的一半 的线段,长度为________.
返回目录

直观图

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

三视图 画法规则:长对正,高平齐,宽相等 2.画几何体的高: 在已知图形中过 O 点作 垂直于 xOy 平面的 z 轴, 在直观图中对应 直观图 的 z′轴,也垂直于 x′O′y′平面,已知图形 中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍 平行于 相等 ________ z′轴且长度________.

返回目录

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

—— 疑 难 辨 析 ——
1.对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的认识 (1)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫 棱锥.( ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面 之间的部分.( )

返回目录

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案] (1)×

(2)×

(3)√

[解析] (1)可能是两个不相邻的侧面. (2)棱锥的定义中要求各个三角形有唯一的公共顶点. (3)此为棱台的定义.

返回目录

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

2.对圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的认识 (1)以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴,其余两 边旋转的曲面围成的几何体叫圆锥.( ) (2) 上 下 底 面 是 两 个 平 行 的 圆 面 的 旋 转 体 是 圆 台.( ) (3)用一个平面去截一个球,截面是一个圆.( )

返回目录

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案] (1)× (2)×

(3)√

[解析] (1)若旋转轴为直角三角形的斜边所在直线,则 形成的曲面为两个同底的圆锥. (2)所形成的旋转体可能是圆柱. (3)用一个平面无论怎么去截球,得到的截面一定是圆.

返回目录

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

3.直观图和三视图的画法 (1)在用斜二测画法画水平放置的∠A 时,若∠A 的两 边分别平行于 x 轴和 y 轴, 且∠A=90°, 则在直观图中∠A =45°.( ) (2)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三个视图均相 同.( )

返回目录

第37讲
双 向 固 基 础

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案] (1)× (2)×
[解析] (1)∠A=45°或 135°. (2)球的三个视图均相同,正方体三个视图不一定相同, 因为与观察的角度有关,圆锥的三个视图中最多只有两个视 图相同.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

考点 点 面 讲 考 向 1.空间几何体的 结构特征

考频 0

示例(难度) 2012年安徽T15(C) 2009年浙江T12(B), 2010年浙江T8(B), 2012年浙江T3(A) 2011年浙江T7(B)

2.空间几何体的 三视图
3.空间几何体的 直观图

选择(2) 填空(1)

选择(1)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2009年~2012年浙江卷情况.
返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

?

探究点一

空间几何体的结构特征

点 面 讲 考 向

例 1 (1)以下有四个命题: ①用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是 圆,则这个几何体一定是球; ②以三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是 圆锥; ③以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体 是圆台; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

(2)给出下列命题: ①三棱柱有 6 个顶点,三棱锥有 4 个顶点; ②棱台的侧棱延长后必交于一点; ③用一个平面去截棱锥,夹在底面和截面间的几何体 是棱台; ④棱台的上、下底面边长之比等于棱台的高与截得此 棱台的棱锥的高的比. 其中正确命题的序号是________.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案] (1)B (2)②
[解析] (1)根据球、圆柱、圆锥、圆台的概念不难判 断出: ①是正确的,当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截 面分别为矩形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面; ②是错误的,当以直角三角形的一条直角边所在直线 为轴旋转一周才可以得到圆锥. 如图①、 ②所示, 若△ABC 不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是直角边, 所得的几何体都不是圆锥; ③是错误的,只有以直角梯形垂直于底边的一腰为轴 旋转才可得到圆台; ④是错误的,只有用平行于圆锥底面的平面截圆锥, 才可得到一个圆锥和圆台.故选 B.
返回目录

点 面 讲 考 向

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

(2)由棱锥定义知,棱锥只有 1 个顶点,故①错;去截棱 锥的平面如果与底面不平行,则截得的几何体不是棱台,故 ③错;根据平面几何知识,棱台的上、下底面边长的比应该 等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比,故④错.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

归纳总结
点 面 讲 考 向

①几种几何体(如正三棱锥和正四面

体, 正四棱柱和正方体等)的概念容易混淆, 要注意它 们的定义区别.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

(Ⅲ)柱体(圆柱与棱柱)、台体(圆台与棱台)、锥体(圆锥 与棱锥)的联系

3 ②棱长为 a 的正方体的外接球的半径是 2 a, 棱长为 a 6 的正四面体的外接球的半径是 4 a.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

变式题 用不过球心的平面截球 O,截面是一个 球内的小圆 O1,若球的半径为 4 cm,球心 O 与小圆 圆心 O1 的距离为 2 cm, 则小圆的半径为________ cm.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案] 2 3
[解析] 如图, d=OO1=2, R=4, 小圆 O1 的半径为 r,
点 面 讲 考 向

则 r= R2-d2= 42-22=2 3.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[点评] 球的截面性质: 球心到截面的距离 d 与球的半
点 面 讲 考 向

径 R 及截面的半径 r,有下面的关系:r= R2-d2.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

?

探究点二

空间几何体的三视图

点 面 讲 考 向

例 2 (1)图 7-37-1 是一个空间几何体的三视图, 则 该几何体的表面积是________.

图 7-37-1
返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 石家庄质检] 将长方体截去一个四棱锥, 得 到的几何体如图 7-37-2 所示,则该几何体的侧视图为 ( )

图 7-37-2

图 7-37-3
返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:根据三视图还原原来几何体; 推理:要先弄清三视图的特征:正视图反映物体的主要形 状特征,主要体现物体的长和高,不反映物体的宽;而俯 视图和正视图的长要相等;侧视图和俯视图的宽要相等; 结论:再据此得出该几何体,算出表面积. (2)分析:根据实物图得出三视图;推理:先弄清楚几 何体的结构,再选择一个合适的正视方向;结论:再画出 三视图.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案] (1)16+π

(2)D

点 面 讲 考 向

[ 解析 ] (1) 由三视图可知原几何体是一个长方体中 挖去半球体,故所求表面积为 S=4+8×1+4-π +2π =16+π . (2)被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方 体的面对角线,它们在右侧面上的投影与右侧面的两条 边重合,另一条为长方体的体对角线,它在右侧面上的 投影与右侧面的对角线重合,对照各图及对角线方向, 只有选项 D 符合.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

归纳总结 由几何体的三视图来判断原物体的形
点 面 讲 考 向

状时的一般规律为: “长对正,高平齐,宽相等” ,由 此可见,正视图和侧视图的形状确定原几何体为柱 体、锥体还是台体;俯视图确定原几何体为多面体还 是旋转体.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2012· 豫东、 豫北模拟] 如图 7- 37-4 是某宝石饰物的三视图, 已知该饰物的 3 正视图、侧视图都是面积为 2 ,且一个内角 为 60°的菱形,俯视图为正方形,那么该饰 物的表面积为( ) A. 3 C.4 3 B. 2 3 D.4 图 7-37-4

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

π (2)如图 7-37-5, 已知某几何体的体积为 , 它的正 4 视图、侧视图均为边长为 1 的正方形,则该几何体的俯视 图可以为( )

图 7-37-5

图 7-37-6
返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案] (1)D (2)B
点 面 讲 考 向

[解析] (1)依题意可知,该饰物是两个完全相同的正 四棱锥将底面对接而成, 且正视图和侧视图的边长都是 1, 即正四棱锥的底面边长和侧面三角形底边上的高都是 1, 1 所以该饰物的表面积为 8×2×1×1=4.故选 D. (2)依题意得知, 该几何体可以是一个圆柱,其中该圆 柱的底面直径 2r 与高 h 相等, 此时相应的体积等于π ×r2 π 1 3 ×2r=2π r = 4 ,r=2,相应的俯视图可以是 B.故选 B.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

?

探究点三

空间几何体的直观图

点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2012· 南昌三模] 如图 7-37-7 是水平放 置的平面图形 ABCD 的直观图,则其表示的图形 ABCD 是( ) A.任意梯形 B.直角梯形 C.任意四边形 D.平行四边形 (2)已知正三角形 ABC 的边长为 1,那么△ABC 的 平面直观图△A′B′C′的面积为________.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:将直观图还原为平面图形;推 理:将斜二测画法画直观图的要求逆用;结论:根据规则 画出原来图形. (2)分析:斜二测画法的运用;推理:应用斜二测画 法的规则作出直观图;结论:算出面积.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

6 [答案] (1)B (2) 16
点 面 讲 考 向

[解析] (1)由图可知,边 AB,CD 平行于 x 轴,AD 平行于 y 轴,根据水平放置图的画法规则知,AB⊥AD, CD⊥AD,且 AB≠CD,所以图形 ABCD 是直角梯形.故 选 B.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

(2)如图①、②所示的为实际图形和直观图. 1 3 由图②可知 A′B′=AB=1,O′C′=2OC= 4 ,在图② 2 6 中作 C′P′⊥A′B′于 P′点,则有 C′P′= 2 O′C′= 8 . 1 1 6 6 ∴S△A′B′C′=2|A′B′|·|C′P′|=2×1× 8 = 16 .

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

[点评] 本题结论可推广为: 一个平面图形的面积 S 与 2 它的直观图的面积 S′之间的关系是 S′= 4 S;斜二测画法 有两个关键点:一是坐标轴夹角的变化;二是与 y 轴平行 或在 y 轴上的线段,在直观图中,长度变为原来的一半, 其中第二条是解题时最易遗漏的;当直观图还原为平面图 形时,规则相反,如下面的变式题.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

归纳总结 ①用斜二测画法画立体图形的直观图的步
点 面 讲 考 向

骤是:一画轴,二画底,三画高,四成图; ②斜二测画法关键是要根据图形的特点选取适当的坐 标系,尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直 线上,这样可以简化作图步骤.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

变式题 (1)如图 7-37-8 所示, 已知△ABC 的水平放 置的直观图是等腰 Rt△A′B′C′,且∠A′=90°,
点 面 讲 考 向

A′B′= 2,则△ABC 的面积是( A. 2 C.4 2 B.2 2 D.1

)

图7-37-8

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

点 面 讲 考 向

(2)[2011· 潍坊二模] 一个平面四边形的斜二测直观图 是一个边长为 a 的正方形,则原平面四边形的面积等于 ________. .

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案] (1)B (2)2 2a2
[解析] (1)因∠A′B′C′=45°,A′B′= 2,从而 B′C′
点 面 讲 考 向

=2, 所以△ABC 为直角三角形,∠B=90°,AB=2A′B′ =2 2,BC=B′C′=2. 1 ∴S△ABC=2×2 2×2=2 2. (2)一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S′之间 2 的关系是 S′= 4 S,而直观图面积 S′=a2,所以原平面四 a2 边形的面积为 =2 2a2. 2 4
返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

易错究源

13

因三视图识图不准致误

例 [2011· 北京卷] 某四棱锥的三视图如图 7-37-9 所示, 该四棱锥的表面积是( ) A.32 B.16+16 2
多 元 提 能 力

C.48 D.16+32 2 图 7-37-9

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

多 元 提 能 力

错解 A 由三视图知道, 四棱锥的底面是一个正方形, 边长是 4,斜高为 2,故四棱锥的表面积: 1 S=S 底+S 侧=16+2×16×2=32,选 A. [错因] ①不能准确地将三视图还原成实物图; ②错误地把正四棱锥的高 h 当成了斜高 h′, 认为 h′=2. [正解] B 由题意可知,该四棱锥是一个底面边长 a= ?a?2 2 4 , 高 h = 2 的 正 四棱 锥 , 故其 斜 高 h′ = h +?2? = ? ? ?4?2 2 2 +?2? =2 2, ? ? 1 所以其表面积 S=S 底+S 侧=4×4+4× ×4×2 2=16 2 +16 2.故选 B.
返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

自我检评 (1)已知三棱锥的俯视图是边长为 2 的正三 角形,侧视图是有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱 锥的正视图面积为________. (2)图 7-37-10 中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3 的几何体的三视图,则高 h=________ cm.

多 元 提 能 力

图 7-37-10

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[答案] (1)2

(2)4

多 元 提 能 力

[解析] (1)由条件知, 该三棱锥底面为正三角形, 边长为 2, 1 一条侧棱与底面垂直,该侧棱长为 2,故正视图面积 S=2×2 ×2=2. 1 1 1 (2)依题意知该几何体是三棱锥,所以 V=3S 底 h=3×2×5 ×6×h=20,∴h=4 cm.

返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

【备选理由】 考纲要求学生学会用平行投影与中心投影两种方法画 图,而我们在正文中没有列入相关例题,例1考查正投影 与中心投影的相关概念,可用此题作一补充.例2为截面 问题,此类问题主要考查立体图形和平面图形互相转 化.通过此例的讲解可以掌握一般截面问题的求解方法及 注意事项.

教 师 备 用 题
返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

例 1 下列投影是中心投影的是( ) A.三视图 B.人的视觉 C.斜二测画法 D.人在中午太阳光下的投影
[解析] B A,C,D 均为平行投影,B 为中心投影.

教 师 备 用 题
返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

例 2 一个正方体内接于一个球,过球心作一截面, 则截面的可能图形是( )

A.①② B.②④ C.①②③ D.②③④

教 师 备 用 题
返回目录

第37讲

空间几何体的结构及三视图和直观图

[解析] C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当 截面过正方体体对角线时得②,当截面不平行于任何侧面, 也不过体对角线时得①,但是无论如何都不会截得④.

教 师 备 用 题
返回目录

双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第38讲 空间几何体的表面积与 体积

返回目录

考试说明

1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式. 2.了解球、棱柱、棱锥、台的体积计算公式.

返回目录

第38讲
双 向 固 基 础

空间几何体的表面积与体积

—— 知 识 梳 理 ——
一、柱体、锥体、台体的表面积 1.多面体的表面积 平面图形 , 利 用 (1) 我 们 可 以 把 多 面 体 展 成 ________ 平面图形 求面积的方法,求多面体的表面积; ________ (2)棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多 面体,它们的侧面积就是各侧面面积 ________ 之和,表面积是 各个面的面积 之和,即________ 侧面积 与________ 底面积 之和. _____________

返回目录

第38讲
双 向 固 基 础

空间几何体的表面积与体积

2.旋转体的面积 名称 圆柱 图形 侧面积 表面积

S = 2πr2+2πrl _____________ 2π rl S 侧=______ 或 S = 2πr(r+l) ___________ S = π rl πr2+πrl S 侧=______ _____________ (r+l)r 或 S=π ________

圆锥

返回目录

第38讲
双 向 固 基 础

空间几何体的表面积与体积

名称

图形

侧面积

表面积

圆台

S = S = 侧 π(r′2+r2+ ____________ π (r+r′)l ___________ r′l+rl) ____________





S=_________ 4 πR 2

返回目录

第38讲
双 向 固 基 础

空间几何体的表面积与体积

二、柱体、锥体、台体的体积 1 .设棱 ( 圆 ) 柱的底面积为 S ,高为 h ,则体积 V = Sh ________ . 2.设棱(圆)锥的底面积为 S,高为 h,则体积 V= 1 3Sh __________. 3. 设棱(圆)台的上、 下底面面积分别为 S′, S, 高为 h,
1 则体积 V=________________________ .4 3(S′+ SS′+S)h 3 π R 3 4.设球半径为 R,则球的体积 V=________ . 注:对于一些不规则几何体,常用割补的方法,转化 成已知体积公式的几何体求体积.

返回目录

第38讲
双 向 固 基 础

空间几何体的表面积与体积

—— 疑 难 辨 析 ——
1.对柱体、锥体、台体的展开图的认识 (1)圆柱的侧面展开图是矩形.( ) (2)圆锥的侧面展开图是圆.( ) (3)圆台的侧面展开图是圆环.( ) (4)棱柱的侧面展开图是矩形.( )

返回目录

第38讲
双 向 固 基 础

空间几何体的表面积与体积

[答案] (1)√

(2)×

(3)×

(4)×

[解析] (1)圆柱的侧面展开图是以底面圆的周长为一 边长,母线长为另一边长的矩形. (2)圆锥的侧面展开图是扇形. (3)圆台的侧面展开图是扇环. (4)直棱柱的侧面展开图是矩形,而斜棱柱的侧面展 开图则不是矩形.

返回目录

第38讲
双 向 固 基 础

空间几何体的表面积与体积

2.了解柱体、锥体、台体、球的体积求法 (1)正方体的表面积是 6,则正方体的体积为 12.( ) (2)若圆锥的轴截面是正三角形, 则它的侧面积是底面 积的 2 倍.( ) (3) 台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计 算.( ) (4)球的体积之比等于半径比的平方.( )

返回目录

第38讲
双 向 固 基 础

空间几何体的表面积与体积

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
[解析] (1)设该正方体的棱长为 a, 则其表面积 S=6a2 =6,故 a=1,其体积 V=a3=1. (2)设圆锥的底面半径为 r,则圆锥的母线长为 2r,S 2 2 侧=π r·2r=2π r ,S 底=π r ,所以 S 侧=2S 底. (3)台体可看作平行于锥体底面的平面截锥体所得的 几何体. (4)半径长分别为 r1, r2 的球的体积之比等于半径比的 4 3 4 3 3 3 立方:V1∶V2=3π r1∶3π r2=r1∶r2=(r1∶r2)3.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

考点 点 面 讲 考 向

考频

示例(难度)

1.几何体表面积的 计算
2.几何体体积的计算 3.几何体中的最值 问题 4.几何体的展开与 折叠问题

填空(1) 选择(2)
0 0 0

2009年浙江T12(B), 2010年浙江T8(B)
2012年湖南T4(B), 2012年福建T4(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2009年~2012年浙江卷情况.
返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

?

探究点一

几何体表面积的计算

点 面 讲 考 向

例1 (1)[2012· 北京卷] 某三棱锥的三视图如 图 7-38-1 所示,该三棱锥的表面积是( ) A.28+6 5 B.30+6 5 C.56+12 5 D.60+12 5 图 7-38-1

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

(2)[2011· 温州二模] 一个空间几何体的三视图(单位: cm) 如图 7-38-2 所示,则该几何体的表面积为________ cm2.
点 面 讲 考 向

图 7-38-2

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:把三视图还原为直观图;推理:把 三视图中的条件转化为直观图的条件;结论:几何体为一个 侧面和底面垂直的三棱锥,根据条件求解得. (2)分析:由题意知这是组合体的结构;推理:把三视图 中的条件转化为直观图的条件;结论:几何体是一个以棱长 为 1 的正方体的上底面、 下底面分别为底面放置了一个正四 棱锥的组合体,根据条件可求.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

[答案] (1)B (2)4+2 5
[解析] (1)本题考查三棱锥的三视图与表面积公式. 由三视图可知,几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥, 1 如图所示,可知 S 底面=2×5×4=10, 1 S 后=2×5×4=10, 1 S 左=2×6×2 5=6 5, 1 S 右=2×4×5=10, 所以 S 表=10×3+6 5=30+6 5.
返回目录

点 面 讲 考 向

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

(2)依题意可知,该几何体是一个以棱长为 1 的 正方体的上底面、 下底面分别为底面放置了一个正四 棱锥的组合体,其中这两个正四棱锥的高均为 1,因 此 该 几 何 体 的 表 面 积 S = 4×12 + ?1 ?1?2? ? 2 8×? ×1× 1 +? ? ? ?=4+2 5. 2 2 ? ? ? ?

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

归纳总结 以三视图为载体考查几何体的表面 积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从 三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量 关系.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

变式题 (1)[2012· 安徽卷] 某几何体的三视图如图 7- 38-3 所示,该几何体的表面积是________.
点 面 讲 考 向

图 7-38-3

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 江门一模] 某型号的儿童蛋糕上半部分是半球, 下半部分是圆锥,其三视图如图 7-38-4 所示,则该型号 蛋糕的表面积 S=( ) A.115π B.110π C.105π D.100π

图 7-38-4

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

[答案] (1)92 (2)A

点 面 讲 考 向

[解析] (1)本题考查三视图的识别,四棱柱等空间几何 体的表面积. 如图根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四 棱柱,其表面积为 1 ?? ? S = 2 × ?2+5?? × 4 × 2 + 4×2 + 5×4 + 4×4+5×4=92. (2)由三视图可知,圆锥的母线长为 122+52=13,该型 1 号蛋糕的表面积 S=2×4π ×52+π ×5×13=115π .
返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

?

探究点二

几何体体积的计算

点 面 讲 考 向

例2 (1)[2012· 广东卷] 某几何体的三 视图如图7-38-5所示,它的体积为( ) A.12π B.45π C.57π D.81π

图7-38-5

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 浙江卷 ] 已知某三棱锥 的三视图(单位: cm)如图 7-38-6 所 示,则该三棱锥的体积等于________ cm3.

图 7-38-6

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:把三视图还原为直观图;推 理:把三视图中的条件转化为直观图的条件;结论:该 几何体是由圆柱与圆锥构成(共底面),根据条件可求. (2)分析:根据三视图易知这是三棱锥的结构;推 理:把三视图中的条件转化为直观图的条件;结论:根 据底面是直角三角形,高为2的三棱锥,即可求出答案.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

[答案] (1)C (2)1

点 面 讲 考 向

[解析] (1)根据三视图知该几何体是由圆柱 与圆锥构成,圆柱与圆锥的半径R=3,圆锥的 高h=4,圆柱的高为5,所以V组合体=V圆柱+V圆锥 1 2 =π ×3 ×5+ 3 ×π ×32×4=57π ,所以选择 C. (2)本题考查三棱锥的三视图与体积计算公式,考查学 生对数据的运算处理能力和空间想象能力.由三视图可 1 1 1 知,几何体为一个三棱锥,则V= 3 Sh= 3 × 2 ×1×3×2= 1.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

[点评] 正确的识图是解决三视图问题的关键,同时 要注意棱长的长度、关系等.
点 面 讲 考 向

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

归纳总结 ①在以三视图为载体的试题中融入简
点 面 讲 考 向

单几何体的表面积与体积是高考课标卷的热点题 型,解题的关键是由三视图确定直观图的形状以及 直观图中线面的位置关系和数量关系,利用表面积 与体积公式求解; ②组合体的表面积的重合部分容易产生重复计 算的错误.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2011· 湖南卷] 图7-38 -8是某几何体的三视图,则该几何体的 体积为( ) A.9π +42 B.36π +18 9 9 C. π+12 D. π +18 2 2 图7-38-7

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

(2)[2012· 湖州模拟] 如图7-38-8所 示,已知一个多面体的平面展开图由一 个边长为1的正方形和4个边长为1的正三 角形组成,则该多面体的体积是 ________. 图7-38-8

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

2 [答案] (1)D (2) 6 [解析] (1)由三视图可得这个几何体是由上面是一个 直径为3的球,下面是一个长、宽都为3,高为2的长方体 ?3? 3 4 所构成的几何体,则其体积为V=V1+V2= 3 ×π × ?2? + ? ? 9 3×3×2=2π +18,故选D. (2)由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为1,侧棱 3 长为1,斜高为 2 ,连接顶点和底面中心即为高,可求得 2 1 2 2 高为 2 ,所以体积V=3×1×1× 2 = 6 .
返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

?

探究点三

几何体中的最值问题

点 面 讲 考 向

例3 四面体的六条棱中,有五条棱长都等于a. (1)求该四面体的体积的最大值; (2)当四面体的体积最大时,求其表面积.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[思考流程] 条件:有五条棱相等的四面体;目标: 求四面体的体积的最大值及其取最大值时四面体表面积 的大小;方法:将四面体分成两个三棱锥,运用函数思 想求体积的最大值,并可以得到当体积取得最大值时对 应的四面体另外一条棱的长,从而求出此时四面体的表 面积.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

解:(1)如图,在四面体ABCD中,设 AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x,取 AD的中点为P,BC的中点为E,连接BP, EP,CP,得到AD⊥平面BPC, 1 ∴VA-BCD=VA-BPC+VD-BPC= 3 ·S△ 1 BPC·AP+ S△BPC·PD 3 2 2 1 1 1 x a =3·S△BPC·AD=3·2·a a2- 4 - 4 ·x 2 a a 3a 1 6 = 12 (3a2-x2)x2 ≤ 12 · 2 = 8 a3当且仅当x= 2 a 时取等号. 1 ∴该四面体的体积的最大值为8a3.
返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

(2)由(1)知,△ABC和△BCD都是边长为a的正三角 形,
点 面 讲 考 向

△ABD和△ACD是全等的等腰三角形,其腰长为a, 6 底边长为 2 a, ? 6 ? 3 2 1 6 ?2 2 ∴S表=2× 4 a +2×2× 2 a× a -? a ? 4 ? ? ? 3 2 6 10a 3 2 15a2 2 3+ 15 2 = 2 a + 2 a× 4 = 2 a + 4 = a. 4

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

归纳总结
点 面 讲 考 向

解决立体几何最值问题的两种思路:

①函数法,即通过建立相关函数式,将所求的最值 问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛. ②枚举法,给出几何体中三视图中的两个视图求其 体积(或表面积)的最值时,一般将符合条件的所有几何 体都列出,再从中找出体积(或表面积)最大(或最小)的 几何体.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

变式题 (1)若一个几何体是由若干个棱 长为1的正方体组成的,其正视图和侧视图 相同,均如图7-38-9所示,则该几何体 体积的最大值为( ) A.11 B.12 C.13 D.14

图7-38-9

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

(2)棱长为a的正方体框架,其内放置一个气球,使其 充气且尽可能地膨胀但保持球的形状,则气球表面积的最 大值为________.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

[答案] (1)C (2)2π a2
点 面 讲 考 向

[解析] (1)结合该几何体的正视图和侧视图,可知该 几何体最少可由5个(底层3个,上层2个)棱长为1的正方体 组合而成,最多可由13个(底层9个,上层每个角各1个共4 个)棱长为1的正方体组合而成,因此其体积的最大值是 13×13=13. (2)当气球与正方体框架的棱相切时,气球表面积最 2 大,此时气球的半径为 2 a,所以气球表面积的最大值S ? 2 ? ?2 2 =4π ? = 2 π a . a ? 2 ? ? ?

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

?

探究点四

几何体的展开与折叠问题

点 面 讲 考 向

例4 (1)如图7-38-10,已知正三棱 柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的 侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为 ________ cm. 图7-38-10

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

(2)如图7-38-11所示,在边长为4的 正方形纸片ABCD中,AC与BD相交于O, 剪去△AOB,将剩余部分沿OC,OD折 叠,使OA,OB重合,则以A(B),C,D, O为顶点的四面体的体积为 ________. 图7-38-11

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:将三棱柱沿某条侧棱展开成平 面图形去求解;推理:平面图形中两点之间线段最短; 结论:直接用勾股定理求解. (2)分析:将平面图形按要求折叠成空间图形去求 解;推理:折叠后的空间几何体是三棱锥;结论:利用 锥体体积公式直接去求.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

[答案] (1)13
点 面 讲 考 向

8 2 (2) 3

[解析] (1)根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为 两个相同的三棱柱,然后将其展开为长方形,则可知所 求最短路线的长为13 cm. (2)在折叠过程中OC⊥OB,OD⊥OA始终没有改变, 所以最后形成的四面体A(B)-CDO中,OA⊥底面CDO, 1 1 8 2 故其体积V=3×2×(2 2)2×2 2= 3 .

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

[点评] 几何体的展开与折叠问题,要注意在图形的 折叠与展开过程中,线与线之间的关系(如平行、垂直)、 大小关系等有没有发生变化.把几何体展开可以把空间问 题转化成平面问题,可以求有关最值问题,请看下面的变 式.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

归纳总结 ①有关几何体展开图与平面图形折成几何
点 面 讲 考 向

体问题,在解决的过程中要注意按什么线作轴来展或 折; ②注意被展或被折的面,在变换前后该面内的大小 关系与位置关系有没有发生变化,忽略条件的变化必将 误解题意.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

点 面 讲 考 向

变式题 如图7-38-12,正三棱柱ABC -A1B1C1的棱AB=AA1=4,M在AA1上,AM =3,P在BC上,由P沿棱柱的侧面经过棱 CC1到M的最短路线的长为3 5,设这条路 线与CC1的交点为N.求: 图7-38-12 (1)三棱柱的侧面展开图的对角线的长; (2)PC与CN的长.

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个 矩形,长为12,宽为4,其对角线的长为 122+42=4 10.
点 面 讲 考 向

(2)如图,将矩形BB1C1C绕棱CC1 旋转120°,使其与侧面AA1C1C在同 一平面内,点P运动到P1,连接 MP1,则MP1就是点P沿棱柱侧面经过 棱CC1到M的最短路线,设PC=x, 则P1C=x. 在Rt△MAP1中,有(4+x)2+32=(3 2(舍去x=-10),∴PC=P1C=2. CN P1C 2 由Rt△P1CN∽Rt△P1AM,得 MA = P A = 6 ,解得CN 1 =1.
返回目录

5 )2,解得x=

第38讲

空间几何体的表面积与体积

思想方法

14

化归与转化思想在立体几何中的应用

例 如图7-38-13,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱 AA1与侧面BCC1B1的距离为2,侧面BCC1B1的面积为4, 此三棱柱ABC-A1B1C1的体积为________.

多 元 提 能 力

图7-38-13

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

[分析] 此问题是求斜三棱柱的体积问题,必须要求底 面积和高,可以通过割补法将图形转化为熟悉的几何体, 且体积易求.

多 元 提 能 力

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

多 元 提 能 力

[答案] 4 [解析] 方法一(补形法):将三棱柱补 成四棱柱,如图7-38-14所示.记A1与 平面BCC1B1的距离为d,则d=2. 1 1 1 则V三棱柱= 2 V四棱柱= 2 S四边形BCC1B1·d= 2 ×4×2=4. 图7-38-14

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

多 元 提 能 力

方法二(分割法):连接A1B,A1C,BC1,如图7-38- 15所示. 则A1B,A1C,BC1将三棱柱ABC-A1B1C1分割成三个小 三棱锥A1-ABC,B-A1B1C1,A1-BCC1, 1 ∴VA1-ABC=VB-A1B1C1=VA1-BCC1= VABC- 3 A1B1C1, 1 ∴VABC-A1B1C1=3VA1-BCC1=3×3S△BCC1×d=4.

图7-38-15
返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

自我检评 (1)[2011· 陕西卷] -38-16所示,则它的体积为( 2π π A.8- 3 B.8- 3 2π C.8-2π D. 3
多 元 提 能 力

某几何体的三视图如图7 )

图7-38-16

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

(2)在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,PA =PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为________.

多 元 提 能 力

返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

多 元 提 能 力

3 [答案] (1)A (2) 3 a [解析] (1)正视图与侧视图一样是边长为2的正方形,里 面有两条虚线,俯视图是边长为2的正方形与直径为2的圆相 切,其直观图为棱长为2的正方体中挖掉一个底面直径为2的 圆锥,故其体积为正方体的体积与圆锥的体积之差.V正=23 2π 2π 1 2 =8,V锥= 3 π r h= 3 (r=1,h=2),故体积V=8- 3 ,故 答案为A. (2)设点P到平面ABC的距离为h,则由VP-ABC=VA-PBC得 1 1 1 2 3·h·S△ABC=3·a·2a , 1 3 2a 3 3 ∴h= = 3 a,因此点P到平面ABC的距离为 3 a. 3 2 × 2a 4
返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

【备选理由】 例1主要考查学生的观察能力和直觉解题能力;例2是 一个折叠问题,主要考查学生对平面图形到空间图形的转 化的认识,具有一定的难度,意在训练学生的解题灵活性 和空间想象能力.

教 师 备 用 题
返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

例1 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N, P,Q分别在棱A1D1,A1B1,B1C1,BC上移动,则四面体 MNPQ的最大体积是( ) 1 3 1 3 1 3 1 3 A.6a B.4a C.3a D.2a

教 师 备 用 题
返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

[解析] A 即求三棱锥Q-MNP的最大 体积,由图可知,高为Q到平面A1B1C1D1的 距离,即为正方体的棱长,只需△MNP的面 积最大,观察知,当点M在点A1、点N在点 B1、点P在点C1时(还有其他情况),△MNP的 1 1 面积最大,最大值为 2 a2,所以最大体积为 3 1 1 ×2a2×a=6a3.故选A.

教 师 备 用 题
返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

例2

已知△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC

=2,M是AB的中点.将△ACM沿CM折起,使A,B间的 距离为2 2,求三棱锥A-BCM的体积.

教 师 备 用 题
返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

解:在Rt△ABC中,∵CM为斜边 AB上的中线,AC=2,∠B=30°, 1 ∴MA=MB=MC=2AB=2, ∴三棱锥A-BCM中,点M在平面ABC内的射影是 △ABC的外心. 又折叠后的△ABC中有AC2+AB2=BC2,故折叠后的 △ABC也为直角三角形,∠BAC=90°.

教 师 备 用 题
返回目录

第38讲

空间几何体的表面积与体积

所以取BC的中点E,连接ME,则E为M在面ABC上的 射影,即ME为三棱锥M-ABC的高.又ME为△MBC的 高,MB=MC=2,∠MBE=30°, 1 ∴ME=2MB=1, 1 ∴VA-BCM=VM-ABC=3S△ABC·ME 1 1 2 2 =3×2×2×2 2×1= 3 .
教 师 备 用 题
返回目录

双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第39讲 空间点、直线、平面 之间的位置关系

返回目录

考试说明
1.理解空间直线、平面位置关系的定义.

2.了解可以作为推理依据的公理和定理.
3.能证明一些空间位置关系的简单命题.

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

—— 知 识 梳 理 ——
一、平面的概念及其表示 1.平面的概念 几何里所说的“平面”就是从一些物体(课桌面、海 平面等)抽象出来的,平面有两个特征: 无限延展 ,即平面是无边界且无限延展的; (1)___________ 平的(没有厚度) ,即平面是无厚薄、无大小、无数个 (2)_______________ 平面重叠在一起,仍然是一个平面,平面是无所谓面积 的. 一个平面把空间分成两部分,一条直线把平面分成 两部分.

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

2.平面的表示法 平行四边形 表示平面,平面可用小写希腊字 通常画____________ 平面α 、平面β;或用表示平行四边形的顶 母表示,如________ 平面AC 、 点的大写英文字母表示,如________ 平面ABCD ______________ .(如图7-39-1)

图7-39-1

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

3.空间直线之间的关系 (1)空间两条直线 平行 ? (无交点), ? ? ?共面? ? (一个交点), ? ? 相交 ? 异面( 无交点 ): 不同在 一个平面内. ? (2)异面直线所成的角: 定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作 锐角或直角 叫做异 直线a′∥a,b′∥b,把a′,b′所成的_____________ 面直线a,b所成的角. (0°,90°] 范围:________________ .

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系
二、平面的基本性质 名称 内容 图形表示 数学语 言表示 作用

如果一条 直线上的 两点 ________ 在一个平 公理1 面内,那 么这条直 线在此平 面内

①判定 A∈l, 直线在 B∈l且 平面 A∈α, 内;② B∈α?l 判定点 ?α 在平面 内

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

名称

内容

图形表示

过 不在 ________ 一条直线 公理2 上的 三点 , _______ 有且只有 一个平面

数学语 言表示 若A, B,C三 点不同 在一条 直线 上,则 A,B,C 三点确 定一个 平面α

作用

①确定 平面; ②证明 点、线 共面

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系
数学语 言表示

名称

内容

图形表示

作用

公理3

如果两个 不重合 ________ 的平面有 一个 公共 ____ 点,那么 它们有且 只有一条 过该点的 公共直线

①判定两 个平面是 否相交; ②证明点 在直线 P∈α,且 上;③证 P∈β?α 明三点共 ∩β =l, 线;④证 且P∈l 明三线共 点;⑤画 两个相交 平面的交 线
返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

注:公理2有以下三个推论: 名称 内容 经 一条直线 ________ 和直线外 ________ 一点 ______ , 有且只有 一个平面 经过 两条 ________ 相交 _______ 直线有且 只有一个 平面 图形表示 数学语言 表示 作用

推论1

推论2

若A?l, 则点A和 直线l确定 一个平面 α ①确定平 面;②证 若a∩b= 明点、线 P,则a与 共面 b确定一 个平面 α,使a? α , b? α
返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

名称

内容 经过两条 平行直线 ________ 有且只有 一个平面

图形表示

推论3

数学语言 表示 若a∥b, 则a与b确 定一个平 面α,使a ?α ,b ?α

作用 ①确定平 面;②证 明点、线 共面

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系
三、空间中直线和平面的位置关系 位置关系 直线a在 平面α内 直 线 直线a 在 与平面 平 α 平行 面 外 图形表示 符号表示 公共点 有 a?α 无数个 ________ ________ 公共点

a∥α ________

______ 没有 公 共点

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

位置关系 直 直线a 线 与平面 在 α 斜交 平 直线a 面 与平面 外 α 垂直

图形表示

符号表示 ________ a∩α=A

公共点

a⊥α ________

有且只有 一个 公 ______ 共点

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

四、空间中两个平面的位置关系 位置关系 两平面 平行 两 平 面 相 交 斜交 图形表示 符号表示 公共点

没有 公 ______ α∥β ________ 共点

α∩β=l ________

垂直

________ α⊥β且 α∩β=a ________

有一条公 直线 共______

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

—— 疑 难 辨 析 ——
1.平面的概念 (1)三角形一定是平面图形.( ) (2)正方体各面所在平面将空间分成9部分.(

)

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

[答案] (1)√

(2)×

[解析] (1)由公理2可知,不共线的三点确定唯一一 个平面. (2)正方体各面所在平面将空间分成27部分.

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

2.平面的基本性质 (1)若点A在直线l上,直线l在平面α内,则点A在平面α 内.( ) (2)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.( ) (3)两个相交平面只有有限个公共点.( ) (4)若A∈l,B∈l,A∈α,B∈α,则l?α .( ) (5)设平面α与平面β相交于l,直线a?α ,直线b?β , a∩b=M,则点M一定不在直线l上.( )

返回目录

第39讲
双 向 固 基 础

空间点、直线、平面之间的位置关系

[答案] (1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

[解析] (1)由公理1可知此命题正确. (2)两个平面能把空间分成四个部分或三个部分. (3)由公理3可知,两个相交平面交于一条直线,故 有无穷多个公共点. (4)此即为公理1的数学语言. (5)因为a∩b=M,a?α ,b?β ,所以M在α内,M 在β内.又因为平面α与平面β相交于l,所以M在l上.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

考点
点 面 讲 考 向 1.平面的基本性质 及其应用 2.空间两条直线的 位置关系 3.异面直线所成角 的计算

考频
0 0 0

示例(难度)

2012年天津T17(1)(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2009年~2012年浙江卷情况.
返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

?

探究点一

平面的基本性质及其应用

点 面 讲 考 向

例1 (1)下列命题: ①公理1可结合符号叙述为:若A∈l,B∈l且A∈α, B∈α,则必有l∈α; ②四边形的两条对角线必相交于一点; ③用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作 为平面的边界线; ④梯形是平面图形. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

(2)如图7-39-2,α∩β=l,A, B∈α,C∈β,且C?l,直线AB∩l= M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ 与β 的交线必通过( ) A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M

图7-39-2

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

思考流程 (1) 分析:注意空间图形和平面图形的异 同;推理:利用相关定义和平面性质来分析;结论:对 照平面的定义和性质逐题辨析对错. 分析:公理 3 的应用;推理:过点 A,B,C 的平面 与面的交线是 AB;结论:则 A,B,M 点都在两个平面 的交线.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[答案] (1)A (2)D [解析](1)对于①注意到直线是点集,平面也是点 集,当直线在平面上时,直线是平面的真子集,应表示为 l?α ,而不应表示成l∈α,所以①不正确; 对于②,当四边形是平面图形时,两条对角线必相交 于一点,当四边形是空间四边形时,两条对角线是不能相 交的,所以②不正确; 对于③,平面是可以无限延伸的,用平行四边形表示 的平面同样是无限延伸的,平行四边形的边并不表示平面 的边界,所以③不正确;

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

对于④,梯形的两底是两条平行线,它们可唯一确定 一个平面,由于腰的两个端点均在该平面上,故腰也在这 个平面上,即梯形的四边共面,所以梯形是平面图形,所 以④正确. (2)∵直线AB?γ ,M∈AB,∴M∈γ. 又α∩β=l,M∈l,∴M∈β. 根据公理3可知,M在γ与β的交线上,同理可知,点C 也在γ与β的交线上.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

归纳总结
点 面 讲 考 向

三个公理是立体几何的基础,公理1

的作用是确定直线在平面内的依据;公理2是确定平 面的依据;公理3是确定两个平面有一条交线的依 据,同时也是证明多点共线、多线共点的依据.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

变式题 (1)对于空间三条直线,有下列四个条件: ①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平行; ③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条 直线都相交. 其中,使三条直线共面的充分条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

(2)如图7-39-3是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是 所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是( )
点 面 讲 考 向

图7-39-3

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[答案] (1)B (2)D [解析](1)条件①和④可分别推得三条直线共面.由条件② 和③都不能推出三条直线共面,例如正方体中从一个顶点出发 的三条棱,它们就不共面;正方体中三条互相平行的棱也不共 面. (2)在A图中分别连接PS,QR,易证 PS∥QR, ∴P,S,R,Q共面; 在C图中分别连接PQ,RS,易证 PQ∥RS, ∴P,Q,R,S共面. 如图,在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共 面,D图中PS与RQ为异面直线, ∴四点不共面,故选D.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

?

探究点二

空间两条直线的位置关系

点 面 讲 考 向

例2 (1)[2012· 大连模拟] 若空间中有两条直线,则 “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共 点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

(2)给出下列四个命题: ①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两 条直线平行; ②若两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线平 行; ③若两条直线和第三条直线平行,则这两条直线平 行; ④若两条直线和一个平面平行,则这两条直线互相 平行. 其中不正确的说法是________.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:利用异面直线定义;推理:没 有交点的两条直线不一定是异面关系;结论:前面的能 推出后面,反之不一定. (2)分析:利用空间直线之间、线面之间的关系判 定;推理:数形结合;结论:逐题判断对错.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[答案] (1)A (2)①②④ [解析] (1)两条直线异面,则肯定没有交点,但没有 交点的直线不一定是异面直线,因为可能是平行关系; (2)①错误.可能平行,可能相交,也有可能异面; ②错.可能平行,但也可能相交或异面;③正确.直线 平行具有传递性;④错.可能平行,可能相交或异面.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[点评] 判断空间直线的位置关系一般有两种方法: 一是利用排除法,二是构造几何体(如正方体、空间四边 形等)模型来推断.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

归纳总结
点 面 讲 考 向

①判定空间两直线是异面直线的方法:(i)

依据异面直线的定义判定;(ii)反证法. ②要正确理解异面直线的定义,其特征是既不相交 又不平行.要弄清楚“不同在任何一个平面内的两条直 线”与“分别在两个平面内的两条直线”这两种说法的 区别.前者所指的两条直线是异面直线,后者所指的两 条直线不一定是异面直线. ③找出两平行直线的常见方法:利用公理4;利用平 行四边形的性质;利用中位线或线段成比例.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

变式题 (1)已知直线a,b是两条异面直线,直线c平 行于直线a,则直线c与直线b( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 (2)不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定 ________个平面;若相交于两点,最多能确定________个 平面;若相交于三点,最多能确定________个平面.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

[答案] (1)C (2)3

2

1

点 面 讲 考 向

[解析] (1)易知c与b有可能相交,也有可能异面. (2)三条直线相交于一点,最多可确定3个平面,如图 ①;三条直线相交于两点,最多可确定2个平面,如图 ②;三条直线相交于三点,最多可确定1个平面,如图③.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

?

探究点三

异面直线所成角的计算

点 面 讲 考 向

例3 (1)[2012· 全国卷]已知正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与 D1F所成角的余弦值为________. (2)如图7-39-4,PA⊥平面ABC, ∠ACB=90°,且PA=AC=BC=a,则 异面直线PB与AC所成的角的正切值等于 ________. 图7-39-4

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:利用直线平行移动求异面直线 之间所成的角;推理:把异面直线所成的角构造到三角 形中,利用解三角形知识求解;结论:注意异面直线所 成角的范围. (2)分析:构造成正方体(构造法);推理:利用平移方 法求解;结论:在直角三角形中求解.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系
(2) 2

3 [答案] (1)5
点 面 讲 考 向

[解析](1)连接DF,显然有DF∥AE,所以∠DFD1为 所求异面直线所成角或其补角.设正方体棱长为1,则DF 5 3 =FD1= 2 ,由余弦定理可求得∠DFD1的余弦值为 5 ,故 3 填5. (2)如图,将此几何体补形成一个正方 体DBCA-D1B1C1P,PB与AC所成的角的 大小即此正方体体对角线PB与棱BD所成角 PD 的大小.容易求得tan∠DBP=DB= 2.
返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[点评] 本例平移直线的策略分别是直接平移、补形 平移,若题设中出现等分点(尤其是中点),有时也可利 用等分点(尤其是中点)构造平行线(如中位线)达到平移 的目的.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系
归纳总结 ①平移线段法是求异面直线所成角的常用

点 面 讲 考 向

方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为 共面问题来解决,具体步骤如下: (i)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面 直线所成的角; (ii)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的 角; (iii)计算:求该角的值,常利用解三角形; (iv)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是 ? π? ? ? ,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条 0 , ? 2? ? ? 异面直线所成的角. ②求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所 成角的范围.
返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2011· 青岛二模] 已知正方体ABCD- A1B1C1D1,则异面直线BD1与AC所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° (2)[2012· 唐山模拟] 四棱锥P-ABCD的所有侧棱长都 为 5 ,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA所成角 4 C.5 3 D.5 的余弦值为( ) 5 2 5 A. 5 B. 5

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

点 面 讲 考 向

[答案] (1)D (2)A [解析] (1)如图,在该正方体 的右侧补一个棱长相等的正方体, 则易知BD1∥CE,故∠ECA即为异 面直线BD1与AC所成的角.设AB =1,则AE2=22+12=5,AC2=2,CE2=BD2+DD 3,故AC2+CE2=AE2,即∠ECA=90°. (2)因为CD平行于AB,所以CD与PA所成角就是 ∠PAB;由余弦定理可求.

2 1



返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

思想方法

15

构造模型判断空间线面的位置关系

多 元 提 能 力

例 如图7-39-5,在正方体ABCD- A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中 点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD 都相交的直线( ) A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条

图7-39-5

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

[分析] 解决此题的关键是将空间问题转化为平面问 题.过A1D1和直线EF上一点M可以确定一个平面,这个 平面都和CD有一个交点,由于M是直线EF上的动点,这 样的平面有无穷个,所以这样的直线也有无数条.
多 元 提 能 力

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

多 元 提 能 力

[解析] D 如图7-39-6,在EF上任意取一点M, 直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1 个交点N,当M取不同的位置就确定不 同的平面,从而与CD有不同的交点N, 而直线MN与这3条异面直线都有交 点.所以在空间中与三条直线A1D1, EF,CD都相交的直线有无数多条.故 选D. 图7 -39-6

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

多 元 提 能 力

自我检评 (1)[2011· 四川卷] l1,l2,l3是空间三条不 同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面 (2)四边形ABCD与CDEF是两个全等的正方形,且两 个正方形所在平面互相垂直,则DF与AC所成角的大小为 ________.

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

多 元 提 能 力

π [答案] (1)B (2) 3 [解析](1)对于A,直线l1与l3可能异面;对于C,直线l1, l2,l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面;对于D, 直线l1,l2,l3相交于同一个点时不一定共面.所以选B. (2)如图,将该图补成一个正方体,则 AG∥DF,则∠CAG即为DF与AC所成的 π 角,由AG=AC=CG知,∠CAG= 3 .

返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

【备选理由】 例1主要考查等角定理的应用,此类题在前述例题中 并未出现,故予以补充;例2则为一道以空间四边形为载 体的开放探究性试题,数学习题乃至高考题大多是由一些 经典习题通过适当构造而得到的,该题通过变换部分条件, 构造出不同的数学问题,让学生从中学会一些构题的技巧, 同时也使学生掌握了与空间四边形有关的几个常用结论.

教 师 备 用 题
返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

如图,已知直线AA′,BB′, OA′ OB′ OC′ CC′相交于O,且 OA = OB = OC . 例1 求证:△ABC∽△A′B′C′.

教 师 备 用 题
返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

OA′ OB′ OB′ OC′ 证明:∵ OA = OB , OB = OC , ∴在平面ABC与平面A′B′C′中, 有A′B′∥AB,B′C′∥BC且方向相同. ∴∠ABC=∠A′B′C′, 同理∠BAC=∠B′A′C′, ∴△ABC∽△A′B′C′.

教 师 备 用 题
返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

例2 如图,空间四边形ABDC,E,F, G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点. (1)求证:四边形EFGH是平行四边 形; (2)若AD=BC,则四边形EFGH是什么 图形? (3)若AD⊥BC,则四边形EFGH是什么图形? (4)若AD=BC,且AD⊥BC,则四边形EFGH是什么图 形?

教 师 备 用 题
返回目录

第39讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

教 师 备 用 题

1 解:(1)证明:∵EF∥BC,且EF=2BC, 1 GH∥BC,且GH=2BC, ∴EF∥GH,且EF=GH, ∴四边形EFGH是平行四边形. 1 1 (2)由(1)知EF=2BC,同理可证FG=2AD, 又AD=BC, ∴EF=FG,∴?EFGH是菱形. (3)∵EF∥BC,FG∥AD,又AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴?EFGH是矩形. (4)由(2)、(3)已证可知,当AD=BC,且AD⊥BC时, ?EFGH是正方形.
返回目录

双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第40讲 直线、平面平行的判 定与性质

返回目录

考试说明
以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认 识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与 判定定理.

返回目录

第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

—— 知 识 梳 理 ——
一、直线与平面平行的判定与性质 类别 语言表述 图形表示 符号表示 应用 一条直线与一 个平面 a∩α=? 没有公共点 ________,则 ?a∥α 称这条直线与 这个平面平行 证明直 判定 平面外 线与平 _____________ a?α ,b 面平行 一条直线与此平 面内的一条直线 _____________ ?α , 平行,则这条 且a∥b? 直线平行于这 a∥α 个平面
返回目录

第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

类别

语言表述

图形表示

符号表示

应用

一条直 线和 一个平面平 行,则过这 条直线的任 性质 一平面与此 平面的 交线 与该 ______ 平行 直线______

a∥α,a 证明直 ?β , 线与直 α ∩β = 线平行 b?a∥b

返回目录

第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

二、平面与平面平行的判定与性质 类别 语言表述 图形表示 符号表示 应用 a?α ,b ?α , 证明平 a∩b=P, 面与平 a∥β , 面平行 b∥β?α ∥β

一个平面内的 两条相交直线 ______与 判定 另一个平面平 行,则这两个 平面平行

返回目录

第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

类别

语言表述 如果一个平面 内有两条 相交直线 分别 ________ 判 平行于另一个 定 平面内的 两条直线 ,那 ________ 么这两个平面 平行

图形表示

符号表示 应用 a?α ,b ?α , a∩b=P, 证明平 a∥ a′ , 面与平 b∥b′, 面平行 α′ ? β , b′?β ? α ∥β

返回目录

第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

类别

语言表述 垂直于 同一条直线 ___________ 判定 的两个平面 平行 两个平面平 行,则其中 性 一个平面内 质 的直线必 平行 ______ 于另 一个平面

图形表示

符号表示 a⊥α, a⊥β ?α ∥β

应用 证明平 面与平 面平行

α∥β, 证明直 a?α ?a 线与平 ∥β 面平行

返回目录

第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

类别

语言表述

图形表示 符号表示

应用

如果两个平 行平面同时 和第三个平 性质 面相交,那 么它们的 交线 平行 ______

α∥β, α∩γ= 证明直 a, 线与直 β ∩γ = 线平行 b?a∥b

返回目录

第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

—— 疑 难 辨 析 ——
1.直线与平面平行的判定和性质 (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这 条直线平行于这个平面.( ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于 这个平面内的任一条直线.( ) (3)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相 等,则直线和平面平行.( ) (4)若直线a与平面α内无数条直线平行,则 a∥α.( ) (5)若直线a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线有 无数条.( ) (6)空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中 点,则EF∥平面BCD.( )
返回目录

第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
[解析] (1)这条直线有可能在这个平面内. (2)这条直线与平面内的任一直线的位置关系是平行或异 面. (3)直线与平面平行或相交. (4)还有另一种可能:a?α . (5)画图可知,过点P且平行于a的直线只有一条,且在平面α 内. (6)EF为△ABD的中位线,故EF∥BD,由直线与平面平行 的判定定理可知,EF∥平面BCD.

返回目录

第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

2.平面与平面平行的判定和性质 (1)a?α ,b?α ,a∥β,b∥β ?α ∥β .( ) (2)α∥β,a?α ,b?β ,则a,b平行或异面.( (3)α∥β,β∥γ?α ∥γ .( ) (4)若α∥β,直线a∥α,则a∥β.( )

)

返回目录

第40讲
双 向 固 基 础

直线、平面平行的判定与性质

[答案] (1)×

(2)√

(3)√

(4)×

[解析] (1)由平面与平面平行的判定定理知,这两条直线必 须是相交直线. (2)两个平面平行,则两个平面无公共点,故分别在这两个 平面内的两条直线没有交点. (3)此为平面平行的传递性. (4)还有另一种可能:a?β .

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

考点

考频

示例(难度)

点 面 讲 考 向

2009年浙江T4(A), 1.空间线、面的平行 选择(3) 2011年浙江T4(A), 的基本问题 2012年浙江T5(B) 2.线面平行的判定与 2009年浙江T19(B), 解答(2) 性质 2010年浙江T19(B)

3.面面平行的判定与 性质

0

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2009年~2012年浙江卷情况.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

?
(
点 面 讲 考 向

探究点一

线面、面面平行的基本问题

例1 (1)[2012· 银川质检] 在空间中,下列命题正确的是 ) A.若a∥α,b∥a,则b∥α B.若a∥α,b∥α,a?β ,b?β ,则β∥α C.若α∥β,b∥α,则b∥β D.若α∥β,a?α ,则a∥β

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

(2)下列命题中,错误的是( ) A.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平 行于这个平面 B.平面α∥平面β,a?α ,过β内的一点B有唯一的一 条直线b,使b∥a C.α ∥β ,γ∥δ,α,β,γ,δ的交线为a,b,c,d, 则a∥b∥c∥d D.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的 充要条件

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

思考流程 两题的思考流程都可以为:分析:线面平 行、面面平行的判定和性质定理的使用;推理:结合图 形,合理使用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理 逐个判断正误;结论:逐一判断正误.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

[答案] (1)D (2)D [解析](1)A中,可能有b?α ;B中,a,b不一定是相交 直线;C中可能有b?β,D正确. (2)D中,一条直线与两个平面成等角,两个平面也可能 相交.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

归纳总结
点 面 讲 考 向

线面平行、面面平行的基本问题多以小题

出现,处理方法是数形结合,先画图,再确定线与面的位 置关系.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

变式题 (1)设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的 中点,当A,B分别在α,β内运动时,那么所有的动点 C( ) A.不共面 B.当且仅当A,B在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才 共面 D.不论A,B如何移动都共面

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

(2)a,b是两条异面直线,A是不在a,b上的点,则下列结 论成立的是( ) A.过A有且只有一个平面平行于a,b B.过A至少有一个平面平行于a,b C.过A有无数个平面平行于a,b D.过A且平行于a,b的平面可能不存在

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

[答案] (1)D (2)D
点 面 讲 考 向

[解析] (1)不论A,B如何移动,点C均在与α,β距离相等 的平面内,故选D. (2)过A点作两条相交直线m,n分别平行于a,b,则m,n 确定唯一平面α,但α可能过直线a,b中的一条,故选D.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

?

探究点二

线面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

例2 [2012· 辽宁卷改编] 如图7-40- 1,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC= 90°,AB=AC=λAA′,点M,N分别为A′ B和B′C′的中点. 证明:MN∥平面A′ACC′. 图7-40-1

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

[思考流程] 条件:底面是等腰直角三角形的直三棱 柱;目标:证明线面平行;方法:证明线线平行或通过证 明面面平行来证明线面平行.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质
解:(证法一) 连接AB′,AC′,由已知∠BAC=90°, AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱. 所以M为AB′中点. 又因为N为B′C′的中点. 所以MN∥AC′. 又MN?平面A′ACC′, AC′?平面A′ACC′, 因此MN∥平面A′ACC′.

点 面 讲 考 向

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

(证法二) 取A′B′中点P,连接MP,NP, 因为M,N分别为AB′与B′C′的中点,所以MP∥AA′, PN∥A′C′, 所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,又MP∩NP =P, 因此平面MPN∥平面A′ACC′,而MN?平面MPN, 因此MN∥平面A′ACC′.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 证明直线和平面的平行常用如下两种方 法:①利用直线和平面平行的判定定理,通过“线线”平 行,证得“线面”平行;②利用两平面平行的性质定理, 通过“面面”平行,证得“线面”平行. 证明线线平行的方法主要有:①平面几何有关定理; ②公理4;③线面平行的性质定理;④面面平行的性质定 理;⑤线面垂直的性质定理:若两条直线同垂直于一个平 面,则这两条直线平行.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

变式题 如图7-40-2,已知点P是三角形ABC所在平 面外一点,且PA=BC=1,截面EFGH分别平行于PA, BC(点E,F,G,H分别在棱AB,AC,PC, PB上). (1)求证:四边形EFGH是平行四边形且周 长为定值; (2)设PA与BC所成的角为θ,求四边形 EFGH的面积的最大 值. 图7-40-2

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

解:(1)证明:∵PA∥截面EFGH,平面PAB∩截面 EFGH=HE,平面PAC∩截面EFGH=GF, ∴PA∥HE,PA∥GF, ∴HE∥GF,同理HG∥EF, ∴四边形EFGH是平行四边形. BH EH x 设EH=x(0<x<1),则 BP =AP =1, PH HG ∴BP =1-x= BC ?HG=1-x, ∴四边形EFGH的周长为2(EH+HG)=2(x+1-x)=2, 即四边形EFGH是平行四边形且周长为定值.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

(2)由(1)知设EH=x(0<x<1),则有EF=HG=1-x. 又∵PA∥HE,BC∥EF, ∴∠HEF(或补角)是PA与BC所成的角, ∴S?EFGH=HE· EF·sin∠HEF=x(1-x)sinθ ? ? 1?2 1? ? =?- x-2? +4?sinθ , ? ? ? ? 1 ∴当x= 2 时,即E,F,G,H为所在边的中点时,四边 1 形EFGH的面积有最大值4sinθ .

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

?

探究点三

面面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

例3 如图7-40-3所示,正三棱柱 ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是 AB,AC,A1C1,A1B1的中点. 求证:平面A1EF∥平面BCGH.

图7-40-3

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

[思考流程] 条件:已知正三棱柱中边的中点;目 标:证明面面平行;方法:根据面面平行的判定定理.
点 面 讲 考 向

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

证明:在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点, ∴EF∥BC. 又∵EF?平面BCGH,BC?平面BCGH, ∴EF∥平面BCGH. 又∵G,F分别为A1C1,AC的中点,三棱柱ABC-A1B1C1为正 三棱柱,∴A1G FC, ∴四边形A1FCG为平行四边形, ∴A1F∥GC. 又∵A1F?平面BCGH,CG?平面BCGH, ∴A1F∥平面BCGH. 又∵A1F∩EF=F, ∴平面A1EF∥平面BCGH.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①运用判定定理证明平面与平面平行时, 两直线是相交直线这一条件是关键,缺少这一条件则定理 不一定成立. ②平行关系的相互转化.

图7-40-4

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

变式题 例3中条件不变,过G如何作一个平面与平面 ABB1A1平行?
点 面 讲 考 向

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

点 面 讲 考 向

解:如图,过G作GM∥A1B1交B1C1于 M,再过M作MN∥B1B交BC于N, 则GM∥平面ABB1A1,MN∥平面 ABB1A1. 又∵GM∩MN=M, ∴平面GMN∥平面ABB1A1, 即平面GMN为所求作的平面.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

多 元 提 能 力

12 综合使用线面、面面平行的判定定理与性 质定理 例 如图7-40-5,P是△ABC所在 平面外一点,A′,B′,C′分别是△PBC, △PCA,△PAB的重心. (1)求证:平面A′B′C′∥平面ABC; (2)求证:AC∥平面A′B′C′; (3)求△A′B′C′与△ABC的面积之比. 图7-40-5

答题模板

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

多 元 提 能 力

解:(1)证明:连接PA′,PC′,并延长分别交BC,AB于 M,N两点,连接MN. ∵A′,C′分别是△PBC,△PAB的重心, 2 2 ∴PA′= PM,PC′= PN,∴A′C′∥MN. 3分 3 3 ∵A′C′?平面ABC,MN?平面ABC, ∴A′C′∥平面ABC,同理A′B′∥平面ABC. 又A′C′∩A′B′=A′,A′C′,A′B′?平面A′B′C′, ∴平面A′B′C′∥平面ABC. 7分

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

多 元 提 能 力

(2)证明:由(1)得平面A′B′C′∥平面ABC, 又AC?平面ABC, ∴AC∥平面A′B′C′. 2 (3)由(1)知A′C′∥MN,且A′C′=3MN, 1 又MN∥AC,且MN= AC, 2 1 ∴A′C′∥AC,且A′C′=3AC.

9分

11分

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

1 同理A′B′∥AB,且A′B′=3AB, 1 B′C′∥BC,且B′C′=3BC, ∴△A′B′C′∽△ABC, ∴△A′B′C′与△ABC的面积之比为1∶9.
多 元 提 能 力

13分 15分

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

多 元 提 能 力

[方法解读] 在证明(解)空间平行关系的问题时,通过 线面、面面平行判定定理可以得到线面平行,从而得到面 面平行;反之,通过其性质定理,又可以得到线面平行和 线线平行. ①运用判定定理证明线面平行和面面平行的关键是线 线平行.证明线线平行的方法常有:构造三角形中位线或 平行四边形,运用对应边成比例;通过面面平行来证明 等; ②运用线面平行和面面平行的性质定理的关键是构造 一个平面,从而有线线平行这个实质.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

自我检评 如图7-40-6所示,在正方 体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别 是BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证: (1)BF∥HD1; (2)EG∥平面BB1D1D; (3)平面BDF∥平面B1D1H. 图7-40-6
多 元 提 能 力

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

多 元 提 能 力

证明:(1)如图所示,取BB1的中点M,易证四边形 HMC1D1是平行四边形,∴HD1∥MC1. 又∵MC1∥BF,∴BF∥HD1. (2)取BD的中点O,连接EO,D1O, 1 则OE 2DC, 1 又D1G D1G, 2DC,∴OE ∴四边形OEGD1是平行四边形, ∴GE∥D1O. 又D1O?平面BB1D1D,EG?平面BB1D1D, ∴EG∥平面BB1D1D.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

(3)由(1)知D1H∥BF,又BD∥B1D1,B1D1,HD1?平面 HB1D1,BF,BD?平面BDF,且B1D1∩HD1=D1,DB∩BF =B, ∴平面BDF∥平面B1D1H.

多 元 提 能 力

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

【备选理由】 例1将平行关系的转化与求平行线间的距离融合,此 类题在例题中并未出现.例2为一道翻折问题,同时也是 一道开放性试题,通过该题的讲解,有助于学生掌握翻折 型综合问题的求解技巧,同时也有助于学生“变中有不变” 的辩证思想观的形成.
教 师 备 用 题
返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

例 1 l 是过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点的平面 AB1D1 与下底面 ABCD 所在平面的交线. (1)求证:D1B1∥l; (2)若 AB=a,求 l 与 D1 间的距离.

教 师 备 用 题
返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

解:(1)证明:∵D1B1∥BD,∴D1B1∥平面ABCD. 又平面ABCD∩平面AD1B1=l,∴D1B1∥l. (2)∵D1D⊥平面ABCD, 如下图,在平面ABCD内,过D作 DG⊥l于G,连接D1G,则D1G⊥l,D1G的 长即等于点D1与l间的距离. ∵l∥D1B1∥BD,∴∠DAG=45°, 2 1 2 2 6 2 2 ∴DG= 2 a,D1G= DG +D1D = 2a +a = 2 a.
教 师 备 用 题
返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

例2 如图(a),在矩形ABCD和矩形ABEF中,矩形 ABEF可沿AB任意翻折,AF=AD,M,N分别在AE,DB 上运动,且满足AM=DN.

教 师 备 用 题

(1)求证:当F,A,D不共线,M,N不与A,D重合 时,MN总平行于平面FAD; (2)不管怎样翻折矩形ABEF,直线MN总和FD平行, 这个结论对吗?如果对,请证明;如果不对,请说明能否 改变个别已知条件使上述结论成立.

返回目录

第40讲

直线、平面平行的判定与性质

教 师 备 用 题

解:(1)证明:如图(b),连接BM交FA于G,连接DG, ∵AF=AD,矩形ABCD和ABEF有公共边AB, ∴AE=DB. AM DN 又AM=DN,∴ ME =NB , AM GM DN GM 又 ME =MB,∴NB=MB , ∴DG∥MN.又DG?平面FAD,MN?平面FAD, ∴MN∥平面FAD. (2)结论错, 若M,N分别为AE,DB的中点时,则结论成立.仿上可 证.

返回目录

双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第41讲 直线、平面垂直的判 定与性质

返回目录

考试说明
以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认 识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与 判定定理.

返回目录

第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

—— 知 识 梳 理 ——
一、直线与平面垂直 任意一条直线 1.定义:如果直线l和平面α 内的________________ 都垂直,就称直线l和平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做 垂线 垂面 . 平面α的________ ,平面α叫做直线l的________ 2.直线与平面垂直的判定与性质 类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用 根据定义:一条 直线与一个平面 证直线 任意一条直线 判定 内的__________ 和平面 都垂直,则该直 ? a⊥α 垂直 线与此平面垂直

返回目录

第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

类别

语言表述 图形表示 符号语言 一条直线与一 个平面内的 两条相交直线 _____________ 判定 都垂直,则该 直线与此平面 ?l⊥α 垂直

应用 证直 线和 平面 垂直

返回目录

第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

类别

判定

语言表述 如果两条平 行直线中的 一条 __________ 垂直于一个 平面,那么 另一条 __________ 也垂直于同 一个平面

图形表示

符号语言

应用

证直线 ?b 和平面 垂直 ⊥α

返回目录

第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质
类别 语言表述 图形表示 如果一条直 线和一个平 面垂直,那 么这条直线 和这个平面 内的 任意一条直线 ___________ 都垂直 垂直于同一 个平面的两 条直线 平行 ________ 符号语言 应用

证两条直线 ?a 垂直 ⊥b

性质

证两条直线 ?a 平行 ∥b

返回目录

第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

二、两个平面垂直 1.定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角,就说这两个平面互相垂直. ________ 2.两个平面垂直的判定和性质 类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用 ∠AOB是 二面角 α -l-β的 根据定义,证明 平面角, 证两平面 判定 两平面所成的二 且 垂直 直二面角 面角是________ __________ ∠AOB =90° , ______ 则α⊥β

返回目录

第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

类别

语言表述 一个平面过另一 个平面的 垂线 判定 _________ ,那 么这两个平面垂 直

图形表示

符号语言

应用

证两平面 ?α 垂直 ⊥β

返回目录

第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

类别

语言表述 如果两个平面垂 直,那么它们所 成 二面角的平面角 ______________ 是直角

图形表示

符号语言

应用

性质 两个平面垂直, 则一个平面内垂 交线 的直 直于______ 线垂直于 另一个平面 ______________

α⊥β, ∠AOB是 二面角α-a 证两条直 -β的平 线垂直 面角,则 __________ ∠AOB =90° ______

? l⊥α

证直线与 平面垂直

返回目录

第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

—— 疑 难 辨 析 ——
1.垂直关系的理解 (1)a⊥b,b⊥c?a∥c.( ) (2)直线l是平面α内任意一条直线,若直线a⊥l,则a ⊥α .( ) (3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.( ) (4)若α⊥β,a⊥β?a∥α .( ) (5)a⊥α,a?β ?α ⊥β .( )

返回目录

第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

[答案] (1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)√

[解析] (1)a,b可能平行或异面.(2)由定义知(2)正确. (3)根据线面垂直的定义或判定定理都可以证明.(4)a∥α或 a?α .(5)符合面面垂直的判定定理.

返回目录

第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

2.线面角、二面角的理解 (1)异面直线所成的角、二面角的取值范围均为 ? π? ? ? ) ?0, 2 ?.( ? ? (2)直线a,b分别垂直于二面角的两个半平面,则a,b 所成的角就是二面角的大小.( ) (3)在二面角α-l-β的棱上取两点O,O′,在α内作 OA⊥l,在β内作O′B⊥l,则异面直线OA与O′B所成的角 即为二面角α-l-β的平面角.( )

返回目录

第41讲
双 向 固 基 础

直线、平面垂直的判定与性质

[答案] (1)×
[解析]

(2)×

(3)×
? ? ?,二面角的 ?

? π ? (1)异面直线所成的角的范围是?0, 2 ?

取值范围是[0,π ]. (2)a,b所成的角与二面角的平面角相等或互补. (3)当二面角为钝二面角时,此时的平面角为钝角,但异 面直线OA与O′B所成的角为锐角.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

考点 点 面 讲 考 向 1.线面垂直、面面垂直 的基本问题 2.线面垂直的判定与 性质 3.面面垂直的判定与 性质

考频

示例(难度)

2009年浙江T4(A), 选择(3) 2011年浙江T4(A), 2012年浙江T5(A) 解答(2) 2011年浙江T19(B), 2012年浙江T20(B)

0

2012年江西T19(1)(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2009年~2012年浙江卷情况.
返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

?

探究点一

线面、面面垂直的基本问题

点 面 讲 考 向

例1 (1)[2012· 金华十校联考] 设α是空间中的一个平 面,l,m,n是三条不同的直线,则下列命题中正确的是 ( ) A.若m?α ,n?α ,l⊥m,l⊥n,则l⊥α B.若m?α ,n⊥α,l⊥n,则l∥m C.若m⊥α,n⊥α,则m∥n D.若l⊥m,l⊥n,则n∥m

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

(2)设α,β,γ为彼此不重合的三个平面,l为直线,给 出下列命题: ①若α∥β,α∥γ,则β∥γ; ②若α⊥γ,β⊥γ,且α∩β=l,则l⊥γ; ③若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平 面α垂直; ④若α内存在不共线的三点到β的距离相等,则平面α平 行于平面β. 上面命题中,真命题的序号为________.(写出所有真 命题的序号)

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

思考流程 (1)分析:运用空间线面平行与垂直的判定 定理和性质;推理:结合图形,运用定理逐个排除;结 论:得出正确结果. (2)分析:运用面面平行与垂直的判定定理和性质; 推理:数形结合,运用定理逐个排除;结论:得出正确结 果.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

[答案] (1)C (2)①② [解析](1)m?α ,n?α ,l⊥m,l⊥n,需要m与n相交 才有l⊥α,A错误. 若m?α ,n⊥α,l⊥n,l与m可能平行、相交、也可能 异面,B错误. 若l⊥m,l⊥n,n与m可能平行、相交、也可能异面,D 错误. (2)由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直 线,所以③错,④中的不共线的三点有可能是在平面的两 侧,所以两个平面可能相交也可能平行,故填①②.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 线面、面面垂直的基本问题多以小题形式 出现,解题顺序是将文字语言或符号语言转化为图形,即 数形结合,分析线面、面面垂直问题,画图时先确定面, 再确定线的所有可能的位置.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2012· 无锡一中模拟] 设l,m是两条不同 的直线,α是一个平面,有下列四个命题: ①若l⊥α,m?α ,则l⊥m;②若l⊥α,l∥m,则 m⊥α;③若l∥α,m?α ,则l∥m;④若l∥α,m∥α,则 l∥m. 其中命题正确的是________. (2)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面, 下列命题中的假命题是( ) A.若m⊥α,m⊥β,则α∥β B.若m∥n,m⊥α,则n⊥α C.若m∥α,α∩β=n,则m∥n D.若m⊥α,m?β ,则α⊥β

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

[答案] (1)①② (2)C [解析] (1)根据直线与平面垂直的定义,命题①正确; 两条平行中的一条直线垂直于一个平面,另一条也垂直这个 平面,命题②正确;直线与平面平行时直线不一定平行这个 平面内的任意直线,命题③不正确;直线与平面的平行不具 有传递性,命题④不正确. (2)垂直于同一条直线的两个平面平行,选项A中的命题 正确;两平行线中一条垂直一个平面另一条也垂直这个平 面,选项B中的命题正确;C中直线m和n可能平行、相交或异 面,故选项C中的命题不正确;D即线面垂直的判定定理,选 项D中的命题正确.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

[点评] 解决和空间垂直关系有关的基本问题的关键是熟 练掌握线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理,解题时 多结合图形,数形结合.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

?

探究点二

线面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

例2 如图7-41-1,已知Rt△ABC所在平面外一点 S,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中 点. (1)求证:SD⊥平面ABC; 图7-41-1 (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

[思考流程] 条件:三棱锥的三条侧棱相等,底面是 直角三角形;目标:证明线面垂直;方法:根据判定定理 可转化为证明线线垂直.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

证明:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE. 在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点, 故DE∥BC,且DE⊥AB. ∵SA=SB, ∴△SAB为等腰三角形, ∴SE⊥AB. ∵DE⊥AB,SE∩DE=E, ∴AB⊥平面SDE. 又SD?平面SDE, ∴AB⊥SD. 在△SAC中,SA=SC,D为AC的中点, ∴SD⊥AC. 又∵SD⊥AB,AC∩AB=A, ∴SD⊥平面ABC.
返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

又∵SD⊥AB,AC∩AB=A, ∴SD⊥平面ABC. (2)若AB=BC,则BD⊥AC. 由(1)可知SD⊥平面ABC,BD?平面ABC, ∴SD⊥BD. ∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判 定定理;二是利用面面垂直的性质定理.解题时,注意线 线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直 时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上 的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直 径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形 (或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等 等.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

变式题 如图7-41-2所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点. 求证:A1E⊥平面ADE.
点 面 讲 考 向

图7-41-2

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

证明:∵AB=BC=1,E为BB1中点,且BB1=2,由勾股 定理知:
点 面 讲 考 向

A1E= 1+1= 2,AE= 1+1= 2, 则A1A2=A1E2+AE2, ∴A1E⊥AE. ∵AD⊥平面AA1B1B,A1E?平面AA1B1B, ∴A1E⊥AD. 又AD∩AE=A,∴A1E⊥平面ADE.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

?

探究点三

面面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

例 3 [2012· 课程标准卷改编] 如图 7-41-3,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC 1 =2AA1,D 是棱 AA1 的中点. 证明:平面 BDC1⊥平面 BDC.

图 7-41-3

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

[思考流程] 条件:如题目;目标:证明面面垂直;方 法:运用面面垂直的判定定理来证明.
点 面 讲 考 向

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所 以BC⊥平面ACC1A1. 又DC1?平面ACC1A1,所以DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1= 90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又 DC1?平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

[点评] 面面垂直的问题常常转化为证线面垂直、线线 垂直的问题解决,其关键在于寻找平面内一直线垂直于另 一平面,即将证明面面垂直转化为证明线面垂直,利用判 定定理证明;也可作出二面角的平面角,证明平面角为直 角,利用定义证明.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

归纳总结 ①证明两个平面垂直,首先要考虑直线与平 面的垂直,也可简单地记为“证面面垂直,找线面垂直”, 是化归思想的体现,这种思想方法与空间中的平行关系的证 明非常类似,这种转化方法是本讲内容的显著特征,掌握化 归与转化思想方法是解决这类问题的关键. ②空间垂直关系之间的转化——这也是立体几何中证明 垂直关系常用的思路,三种垂直关系的转化可结合图记忆.

图7-41-4

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

变式题 如图7-41-5所示,过S引三条 长度相等但不共面的线段SA,SB,SC,且 ∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°. 求证:平面ABC⊥平面BSC. 图7-41-5

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

点 面 讲 考 向

证明:∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°, ∴AB=AC=SA.取BC中点O,连接AO,SO, 则AO⊥BC,SO⊥BC, ∴∠AOS为二面角A-BC-S的平面角. 设SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°, 2 1 2 2 2 2 ∴BC= 2a,SO= 2 a,AO =AC -OC =2a , ∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°, ∴平面ABC⊥平面BSC.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

答题模板

13

空间位置关系问题的规范解答

多 元 提 能 力

例 如图7-41-6所示,在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角 形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边的中点. (1)求证:BG⊥平面PAD; (2)求证:AD⊥PB; (3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平 面DEF⊥平面ABCD?证明你的结论.

图7-41-6
返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

解:(1)证明:在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为 AD的中点,所以BG⊥AD.2分 又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BG⊥平面PAD. 5分 (2)证明:如图7-41-7,连接 PG,因为△PAD为正三角形, G为AD的中点,得PG⊥AD. 4分 由(1)知BG⊥AD, 图7-41-7 PG?平面PGB,BG?平面PGB,PG∩BG=G,所以 AD⊥平面PGB.7分 因为PB?平面PGB, 所以AD⊥PB. 8分
返回目录

多 元 提 能 力

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

多 元 提 能 力

(3)当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证 明如下:取PC的中点F,连接DE,EF,DF, 在△PBC中,FE∥PB,在菱形ABCD中,GB∥DE, 而FE?平面DEF,DE?平面DEF, EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面PGB. 11分 因为BG⊥平面PAD,所以BG⊥PG, 又因为PG⊥AD,AD∩BG=G, ∴PG⊥平面ABCD, 13分 而PG?平面PGB, 所以平面PGB⊥平面ABCD, 14分 所以平面DEF⊥平面ABCD. 15分

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

多 元 提 能 力

[方法解读] 立体几何在高考题中只能算作是中等题, 但大多数考生得不到满分,究其原因主要是因为“对而不 全”. ①运用判定定理或性质定理证明问题时漏写条件.解 决这个问题的方法是真正理解每个定理的条件和结论,在 书写时一定要把要点罗列,如证明线面垂直时,一定要体 现一条直线和平面内两条相交直线同时垂直才可以; ②解答过程要有条理.在解决复杂的立体几何问题 时,要注意层层铺垫,先证(求)什么,再证(求)什么,要有 条理,其反应的是考生思路清晰,表达全面.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

自我检评 =2,AD=2

如图7-41-8,矩形ABCD中,已知AB 2 ,M,N分别为AD和BC的中点,对角线

BD与MN交于O点,沿MN把矩形ABNM折起,使平面 ABNM与平面MNCD所成角为60°,如下图. (1)求证:BO⊥DO; (2)求AO与平面BOD所成角的正弦值.
多 元 提 能 力

图7-41-8

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

解:(1)由题设,M,N是矩形的边AD和BC的中点,所 以AM⊥MN,BC⊥MN,折叠垂直关系不变,所以∠AMD 是平面ABNM与平面MNCD的平面角,依题意,∠AMD= 60°. 由AM=DM,可知△MAD是正三角形,所以AD= 2 ,在矩形ABCD中,AB=2,AD=2
多 元 提 能 力

2 ,所以,BD=

6 ,由题可知BO=OD= 3 ,由勾股定理可知△BOD是直 角三角形,所以BO⊥DO. (2)设E,F分别是BD,CD的中点,则EF⊥CD, OF⊥CD,所以,CD⊥面OEF,OE⊥CD. 又BO=OD,所以OE⊥BD,OE⊥面ABCD.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

又OE?面BOD,所以平面BOD⊥平面ABCD. 过A作AH⊥BD,由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平 面BOD,连接OH,

多 元 提 能 力

所以OH是AO在平面BOD的投影, 所以∠AOH为所求的角,即AO与平面BOD所成角. 2 3 AH是Rt△ABD斜边上的高,所以AH= 3 , 2 AO=BO=OD= 3,所以sin∠AOH=3.
返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

教 师 备 用 题

【备选理由】 本讲主要内容为垂直关系的判定与性质,有时此类考 题也以小题形式出现,故补充第1题,旨在揭示垂直关系 在小题中的命题规律及求解策略.直线与平面所成的角和 二面角在少数新课标省份的高考文科卷中也出现过.但难 度不大,故补充第2,3题,通过这两道题的讲解,可让学 生初步掌握一些简单的线面角和二面角的大小问题的求解 策略.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

例1 [2012· 浙江卷] 设l是直线,α,β是两个不同的平 面( ) A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β

教 师 备 用 题
返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

[答案]B [解析] 本题考查了线面、面面平行,线面、面面垂 直等简单的立体几何知识,考查学生对书本知识的掌握情 况以及空间想象、推理能力.对于选项A,若l∥α, l∥β,则α∥β或平面α与β相交;对于选项B,若l∥α, l⊥β,则α⊥β;对于选项C,若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l在 平面β内;对于选项D,若α⊥β,l∥α,则l与β 平行、相 交或l在平面β内.
教 师 备 用 题
返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

例 2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求二面角A-B1D1-C的余弦值的大小; (2)求二面角C1-BD-C的平面角的正切值.

教 师 备 用 题
返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

教 师 备 用 题

解:(1)取B1D1中点O1,连接AO1, CO1, ∵在正方体AC1中,B1D1⊥AO1,CO1 ⊥B1D1, ∴∠AO1C即为二面角A-B1D1-C的 平面角. 6 在△AO1C中,AO1=CO1= 2 ,AC= 2, 1 可以求得cos∠AO1C=3, 1 即二面角A-B1D1-C的余弦值的大小为3.
返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

(2)取BD的中点O,连接CO,C1O, ∵在正方体AC1中,CO⊥BD,CC1⊥平面ABCD,C1O ⊥BD, ∴∠COC1为平面C1BD与平面ABCD所成二面角C1- BD-C的平面角, 可以求得tan∠COC1= 2, 所以二面角C1-BD-C的平面角的正切值为 2.

教 师 备 用 题
返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

例 3 [2012· 天津卷] 如图,在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1, PC=2 3,PD=CD=2. (1)求异面直线PA与BC所成角的正切 值; (2)证明平面PDC⊥平面ABCD; (3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

教 师 备 用 题
返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

教 师 备 用 题

解:(1)如图所示,在四棱锥P- ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以 AD=BC且AD∥BC,又因为AD⊥PD, 故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角. PD 在Rt△PDA中,tan∠PAD=AD=2. 所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2. (2)证明:由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD,又由 于AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC,而AD? 平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD. (3)在平面PDC内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点 E,连接EB.

返回目录

第41讲

直线、平面垂直的判定与性质

由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与 平面ABCD的交线,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直 线PB与平面ABCD所成的角. 在△PDC中,由于PD=CD=2,PC=2 ∠PCD=30°. 在Rt△PEC中,PE=PCsin30°= 3. 由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因 此BC⊥PC. 在Rt△PCB中,PB= PC2+BC2= 13.
教 师 备 用 题

3

,可得

PE 39 在Rt△PEB中,sin∠PBE=PB= 13 . 39 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 13 .
返回目录

双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第42讲 空间直角坐标系与空 间角

返回目录

考试说明

1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平 面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几 何问题中的应用.

返回目录

第42讲
双 向 固 基 础

空间直角坐标系与空间角

—— 知 识 梳 理 ——
一、空间直角坐标系 在平面直角坐标系的基础上,过坐标原点O增加一个与 平面xOy垂直的z轴即可建立一个空间直角坐标系,如图7- 42-1,点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面, yOz平面,xOz平面.

图7-42-1
返回目录

第42讲
双 向 固 基 础

空间直角坐标系与空间角

二、空间向量的标准正交分解和坐标表示 1.空间向量的标准正交分解:在给定的空间直角坐标系 中,i,j,k分别为x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,对于 空间任一向量a,存在唯一的一组三元有序实数(x,y,z),使 得a=xi+yj+zk,我们把a=xi+yj+zk叫做向量a的标准正交 分解,把i,j,k叫做标准正交基.在空间向量的标准正交分 解中,我们把a· i=x,a· j=y,a· k=z分别称为向量a在x轴,y 轴,z轴正方向上的投影.由空间向量的坐标表示可知,向量 的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影. 2.在标准正交分解下,我们把(x,y,z)叫做空间向量a 的坐标,记作a=(x,y,z),a=(x,y,z)叫做向量a的坐标表 示.

返回目录

第42讲
双 向 固 基 础

空间直角坐标系与空间角

三、利用空间向量求空间角的公式 ? π? ? 1.异面直线所成角θ∈?0, ? ?. 2 ? ? 设a,b分别为异面直线a,b的方向向量,则cosθ =|cos ? a· b? 〈a,b〉|=?|a||b|?. ? ?
? π ? 2.线面角θ∈?0, 2 ? ? ? ?. ?

设a是直线l的方向向量,n是平面的法向量,则sinθ =|cos ? a· n? 〈a,n〉|=?|a||n|?. ? ?

返回目录

第42讲
双 向 固 基 础

空间直角坐标系与空间角

3.二面角的取值范围是θ∈[0,π ],平面角是直角的二面 直二面角 . 角叫做____________ 其计算公式为:设m,n分别为平面α,β的法向量,则θ与 〈m,n〉互补或相等, ? m· n? |cosθ |=|cos〈m,n〉|=?|m||n|?. ? ?

返回目录

第42讲
双 向 固 基 础

空间直角坐标系与空间角

—— 疑 难 辨 析 ——
1.两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的 角.( ) 2.直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线 与平面所成的角.( ) 3.两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的 角.( ) ? π? ? 4.两直线夹角的范围是 ?0, ? ? ,两异面直线夹角的范 2 ? ? ? ? π? π? ? ? ? 围是 ?0, ? ,直线与平面所成角的范围是 ?0, ? ? ,两平面夹 2 2 ? ? ? ? ? π? ? 角的范围是?0, ? ,二面角的范围是[0,π ].( ) ? 2? ?
返回目录

第42讲
双 向 固 基 础

空间直角坐标系与空间角

[答案] 1.×

2.×

3.×

4.√

[解析] 1.方向向量所成的角可能是钝角. 2.向量的夹角可能是钝角,即使直线的方向向量和平面 的法向量所成的角为锐角,这个角也是线面角的余角. 3.可能相等也可能互补. 4.根据各个角的定义.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

考点
点 面 讲 考 向 1.异面直线所成 的角 2.线面角

考频
0 解答 (3) 解答 (1)

示例(难度)

2009年浙江T19, 2010年浙江T20, 2012年浙江T20 2011年浙江T20

3.面面角

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,考 频分析2009年~2012年浙江卷情况.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

?

探究点一

异面直线所成的角

点 面 讲 考 向

例1 如图7-42-2,在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,求直线AM与 CN所成角的余弦值.

图7-42-2

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

→ =AA → 1 +A → → → → 解:方法一:∵AM 1M,CN=CB+BN,
点 面 讲 考 向

1 → → → → → → → → ∴AM·CN=(AA1+A1M)· (CB+BN)=AA1·BN=2,

而|

→ AM

|= = 1 5 1+4= 2 ,



返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

→ ·CN → AM 5 → 同理可得|CN |= 2 ,令α为所求的角,则cosα = → ||CN →| |AM
点 面 讲 考 向

1 2 2 =5=5, 4 2 即直线AM与CN所成夹角的余弦值为5.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

→ ,DC → ,DD → 1的方 方法二:以 D 点为坐标原点,分别以DA 向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标 系.
点 面 讲 考 向



? ? ? 1 1? A(1,0,0),M?1,2,1?,C(0,1,0),N?1,1,2?. ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? 1 1? → → ∴AM=?0,2,1?,CN=?1,0,2?.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角
2

点 面 讲 考 向

1 1 1 → → → 故AM· CN=0×1+2×0+1×2=2, |AM|= ?1?2 5 → 5 2 2 ? ? = 2 ,|CN|= 1 +0 + 2 = 2 , ? ? 1 → ·CN → AM 2 2 ∴cosα = = =5, → → 5 5 |AM||CN| 2×2 2 即直线 AM 与 CN 所成夹角的余弦值为5.

0

?1?2 +?2? +12 ? ?

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

a·b [点评] 向量的数量积公式 cos〈a,b〉= 是求异面直线 |a||b| 所成角的常用方法, 但需要注意两异面直线所成的角的取值范围 与向量的夹角的取值范围是不同的, 空间中两条直线所成的夹角 是不超过 90°的角,因此,如果按公式计算的分子的数量积为 一个负值,则应当取绝对值,使之变为正值,这样求得的角才会 是锐角.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

a·b 归纳总结 向量的数量积公式cos〈a,b〉= 是求异 |a|· |b| 面直线所成角的常用方法,但需要注意两异面直线所成的角的 取值范围与向量的夹角的取值范围是不同的,空间中两条直线 所成的夹角是不超过90°的角,因此,如果按公式计算得到的 数量积为一个负值,则应当取绝对值,使之变为正值,这样求 得的角才会是锐角.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

?

探究点二

线面角

点 面 讲 考 向

例2 如图7-42-3,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 为矩形,PD⊥底面ABCD,AD= PD,E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证:EF⊥平面PAB; (2)设AB= 2 BC,求AC与平面 图7-42-3 AEF所成角的正弦值.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

解:(1)证明:建立空间直角坐标系(如 图),设AD=PD=1,AB=2a(a>0),则 E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0), ? 1 1? B(2a,1,0),P(0,0,1),F ?a,2,2? .得 ? ? ? ? 1 1 → = ?0, , ? , PB → =(2a,1,-1), AB → =(2a,0,0).由 EF 2 2? ? ? 1 1? → → → ⊥ AB → ,即 EF · AB = ?0,2,2? ·(2a,0,0)=0,得 EF ? ? EF⊥AB, 同理EF⊥PB,又AB∩PB=B,所以EF⊥平面PAB.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

2 (2)由AB= 2BC,得2a= 2,即a= . 2 ? 2 ? ? 2 1 1? ? ? ? 得E? ,0,0?,F? ,C( 2,0,0). , , ? 2 2 2? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? → =( 2 ,-1,0), AE → = ? ,-1,0? → = 有 AC , EF ? ? 2 ? ? 1 1? ?0, , ?. 2 2? ? 设平面AEF的法向量为n=(x,y,1), ? 1 1? ? ?0, , ?=0, (x,y,1)· → ? ? 2 2? n · EF = 0 , ? ? 由 ? ? ? ? ? 2 ? → ? ? ?n· AE=0 ? ?(x,y,1)· ,- 1 , 0 ? ?=0 ? ? 2 ? 1 ?1 y + =0, ?2 2 ? ? 2x-y=0, ?2
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角
? ?y=-1, 解得? 于是n=(- ? ?x=- 2.

2,-1,1).

点 面 讲 考 向

→ 与n的夹角为〈 AC → , 设AC与面AEF所成的角为θ, AC n〉. → ·n| | AC → 则sinθ =|cos〈 AC ,n〉|= = → |AC|· |n| |( 2,-1,0)· (- 2,-1,1)| 3 =6. 2+1+0· 2+1+1 3 所以,AC与平面AEF所成角的正弦值为 6 .

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

[点评] 利用向量求直线与平面所成的角,可以避免 复杂的几何作图和论证过程,求线面角的问题,可以先找 出角,再转化成线线角的问题加以求解,也可以找出平面 的一个法向量,求出直线的方向向量与法向量的夹角,其 余角就是所求的直线与平面所成的角.但要注意,直线与 ? π? ? 平面所成的夹角的范围是 ?0, ? ? ,而向量与向量所成的夹 2 ? ? 角的范围是[0,π ],所以要注意二者之间的联系与区 别.设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条斜线,则AB 与平面α所成的角的正弦值为sinθ =|cos〈 → ·n? ?AB ? ?. → ||n| ? ? |AB
返回目录

→ AB

,n〉|=

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

归纳总结 利用向量求直线与平面所成的角,可以避 免复杂的几何作图和论证过程,求线面角的问题,可以先 找出角,再转化成线线角的问题加以求解,也可以找出平 面的一个法向量,求出直线的方向向量与法向量的夹角, 其余角就是所求的直线与平面所成的角.但要注意,直线 ? π? ? 与平面所成的夹角的范围是 ?0, ? ,而向量与向量所成的 2? ? ? 夹角的范围是[0,π ],所以要注意二者之间的联系与区 别.设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条斜线,则AB 与平面α所成的角的正弦值为sinθ =|cos〈 → ·n? ?AB ? ?. → ? |AB||n| ? → AB ,n〉|=

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

变式题 在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB, AC,BC边上的点,满足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB= 1∶2(如图7-42-4(1)).将△AEF沿EF折起到A1EF的位 置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B,A1P(如 图7-42-4(2)). (1)求证:A1E⊥平面BEP; (2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小.

图7-42-4

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

解:不妨设正三角形的边长为3,则 (1)在图(1)中,取BE的中点D,连接DF, ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,∴AF=AD=2,而A= 60°,∴△ADF为正三角形. 又AE=DE=1,∴EF⊥AD. 在图(2)中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB为二面角 A1-EF-B的一个平面角, 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE. 又BE∩EF=E,∴A1E⊥面BEF,即A1E⊥面BEP.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

(2)在图(2)中,A1E⊥面BEP,∴A1E⊥BP,∴BP垂直 于A1E在面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理), 设A1E在面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于Q, 则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q. 在△EBP中,∵BE=BP=2,∠EBP=60°, ∴△EBP为正三角形,∴BE=EP. 又A1E⊥面BEP,∴A1B=A1P,∴Q为BP的中点,且 EQ= 3,而A1E=1, EQ ∴在Rt△A1EQ中,tan∠EA1Q= A E = 3 ,即直线A1E 1 与面A1BP所成角为60°.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

?

探究点三

面面角

点 面 讲 考 向

例3 如图7-42-5,在空间几何体AB-CDEF 中,底面CDEF为矩形,DE=1,CD=2,AD⊥底面 CDEF,AD=1,平面BEF⊥底面 CDEF,且BE=BF= 2. (1)求平面ABE与平面ABF所成的锐 二面角的余弦值; 图7-42-5 (2)已知点M,N分别在线段DF,BC上,且DM= λDF,CN=μCB.若MN⊥平面BCF,求λ,μ的值.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

解:(1)如图,分别以DE,DC,DA 为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则 E(1,0,0),A(0,0,1),F(1,2,0), E(0,2,0). 因为平面BEF⊥底面CDEF,则点B 的横坐标为1,由BE=BF= 2 ,EF=2,得点B的纵坐标和竖 坐标都为1,即B(1,1,1). 设平面ABE的法向量为n=(x,y,z), → =(-1,0,1),EB → =(0,1,1), 又EA → =0, ? ? EA ?n· ?-x+z=0, 则? 得? 取z=1,得n=(1,-1, ? → y + z = 0 , ? ? EB=0, ?n· 1).
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

设平面ABF的法向量为m=(x,y,z), → =(1,1,0),FB → =(0,-1,1), 又AB
点 面 讲 考 向
? ?x+y=0, 得? 取y=-1,得m=(1,-1,-1). ? ?-y+z=0,

n· m 1 由cos〈n,m〉= = , |n||m| 3 1 故平面ABE与平面ABF所成的锐二面角的余弦值为 . 3 → =λ DF → 得(x1,y1,z1)=λ(1,2, (2)设M(x1,y1,z1),由 DM → =μ CB → ,得(x2, 0),得M(λ2,2λ,0);设N(x2,y2,z2),由 CM y2-2,z2)=μ(1,-1,1), → =(λ-μ,2λ+μ-2,-μ). 得N(μ,2-μ,μ),则NM
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

→ =(1,0,0),CB → =(1,-1,1), 又CF
点 面 讲 考 向

→· → =0, ? ? CF ?NM ?λ -μ=0, 由? 得? 解得λ=μ= ? →· → =0, ?λ-μ-2λ-μ+2-μ=0, ? CB ?NM 1 2.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

[点评] 在处理二面角问题时,常会遇到求二面角大小 的问题,需先判断二面角的大小.因为二面角有时为锐 角、直角,有时也为钝角,所以计算之前,不妨先依题意 判断一下二面角的大小,然后再根据向量的计算来求二面 角的大小.用法向量方法处理二面角的问题时,将传统求 二面角问题时的三步曲:“找——证——求”直接简化成 了一步曲:“计算”.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

归纳总结 在处理二面角问题时,常会遇到求二面角 大小的问题,需先判断二面角的大小.因为二面角有时为 锐角、直角,有时也为钝角,所以在计算之前,不妨先依 题意判断一下二面角的范围,然后再根据向量的计算来求 二面角的大小.用法向量方法处理二面角的问题时,将传 统求二面角问题时的三步曲:“找——证——求”直接简 化成了一步曲:“计算”.利用两个平面的法向量的夹角 来求二面角的余弦值,这是求二面角大小的一种很好的方 法.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

变式题 如图7-42-6,四边形ABCD中,△BCD为 正三角形,AD=AB=2,BD=2 3,AC与BD交于O点.将
点 面 讲 考 向

△ACD沿边AC折起,使D点至P点,已知PO与平面ABCD 所成的角为θ,且P点在平面ABCD内的射影落在△ACD 内. (1)求证:AC⊥平面PBD; (2)若已知二面角A-PB-D的 21 余弦值为 7 ,求θ的大小. 图7-42-6

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

点 面 讲 考 向

解:(1)易知O为BD的中点,则 AC⊥BD,所以AC⊥PO. 又BD∩PO=O,BD,PO?平面 PBD, 所以AC⊥平面PBD. (2)以OB为x轴,OC为y轴,过O垂直于平面ABC向上 的直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(0,-1,0), B( 3,0,0),P(- 3cosθ ,0, 3sinθ ). 易知平面PBD的法向量为j=(0,1,0), → =( 3,1,0),AP → =(- 3cosθ ,1, 3sinθ ). AB

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

设平面ABP的法向量为n=(x,y,z), 则由
点 面 讲 考 向

→, ? ?n⊥AB ? → ? ?n⊥AP



→ = 3x+y=0, ? AB ?n· ? → =- 3xcosθ +y+ 3zsinθ =0, ? AP ?n· 解得,
? ? ?1,- ?

?y=- 3x, ? ? cosθ +1 ?z= sinθ x, ?

令x=1,则n=

cosθ +1? ? 3, , sinθ ? ?
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角
则|cos〈n,j〉|= |n· j| = |n||j| 3 = cosθ +12 1+3+ sinθ



点 面 讲 考 向

21 7 , (cosθ +1)2 解得 =3,即 3sinθ -cosθ =1, sin2θ
? π? 1 ? ? 即sin?θ - ?=2, 6? ? ? π π? ? ? 又θ∈?0, ?,∴θ= 3 2? ?



π 故θ= 3 .

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

答题模板


14

空间角问题的规范解答

如图7-42-7(1),在直角梯形ABCD中,∠BAD

=∠ABC=90°,AD= 3 ,BC=CD=2 3 ,点E是AB边 上一点,现将△ADE沿DE折起,使平面ADE⊥平面 BCDE,且CD⊥AD,如图7-42-7(2). (1)求证:AE⊥CD; (2)问在棱AB上是否存在 一点P,使二面角P-CD-A 7 的余弦值为 26 13 ,若存在, 请求出AP的长,若不存在, 请说明理由. 图7-42-7

多 元 提 能 力

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

解:(1)过A作AO⊥DE于点O, ∵平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE, ∴AO⊥平面BCDE,∴AO⊥CD. 2分 ∵CD⊥AD,AD∩AO=A,∴CD⊥平面ADE, 3分 ∴CD⊥AE. 5分 (2)由(1)可知CD⊥DE, 设AE=a,则BE=3-a,DE=
多 元 提 能 力

3+a2

,CE=

(3-a)2+12. ∵DE2+CD2=CE2,∴a=1,即AE=1. 7分 建立以O为原点,以OA为z轴,以OD为y轴,平行于CD的 直线为x轴的空间直角坐标系, 8分

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

多 元 提 能 力

图7-42-8 ? ? ? ? ? 3 1 3? ? ? ? ? ? 则A?0,0, ?,D 0,2,0 ,E 0,-2,0?, 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 B? 3,-2,0?,C2 3, ,0. 2 ? ? ? 3 3 3 ? ? → → 设AP=λAB,则P? 3λ ,- λ, - λ? , 2 2 2 ? ? ? → =(2 3,0,0),DP → = 3λ ,-3λ -3, 3- 3λ . DC 2 2 2 2 11分

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角
=0,

→ 设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),利用m· DP → =0. m· DC

?2 3x=0, ? 即? 得 3λ 3 3 3λ 3λx- + y+ - z=0, ? 2 2 2 2 ? ? 3(1+λ)? ? ? → = m= ?0,1, ,平面ACD的法向量为 EA ? 1-λ ? ?
多 元 提 能 力
? 1 ? 0 , ? 2, ?

3? ? , 2? ?

13分

→ m · EA 7 → ∴cos〈m,EA〉= = , → 2 13 |m|· |EA|
?1+λ? ?1+λ? 1 ? ?2 ? ? 得5? ? -13?1-λ?+6=0,∴λ=3, ?1-λ? ? ?

6 ∴存在点P,AP= . 3

15分
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

多 元 提 能 力

[方法解读]在立体几何学习中,要多培养空间想象能 力,对于图形的翻折问题,关键是利用翻折后的不变量,二 面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一,是高 考数学必考的知识点之一.作,证,解,是求二面角的三步 骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是所求二面角, 并将这个二 面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形, 利用解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也拓宽 了解决立体几何问题的角度,不过在向量运用过程中,首先 要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形,坐标才会 容易求得.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

自我检评 如图7-42-9,在几何体SABCD中,AD⊥ 平面SCD,BC∥AD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2, → =λCE →. ∠SDC=120°,点E在SC上且满足SE (1)求SC与平面SAB所成角的正弦 值; (2)当λ为何值时,二面角S-AB-E的 大小为30°? 图7-42-9

多 元 提 能 力

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

解:如图,过点D作DC的垂线交SC于 F,以D为原点,分别以DC,DF,DA为 x,y,z轴建立空间直角坐标系. ∵∠SDC=120°,∴∠SDF=30°, 又SD=2,则点S到y轴的距离为1,到x轴 的距离为 3 .则有D(0,0,0),S(-1, 3 ,0),A(0,0,2),
多 元 提 能 力

C(2,0,0),B(2,0,1). → =(2,0- (1)设平面SAB的法向量为n=(x,y,z),∵ AB → =(-1, 3,-2). 1),AS

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

→ =2x-z=0, ? AB ?n· 则有? 取x= 3, → ? AS=-x+ 3y-2z=0, ?n· → =(3,- 3,0), 得n=( 3,5,2 3),又SC 设SC与平面SAB所成角为θ,
多 元 提 能 力

2 3 10 = , 2 3×2 10 20 10 故SC与平面SAB所成角的正弦值为 . 20 → ,n〉|= 则sinθ =|cos〈SC

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

→ =λ CE → ,所以 DE → - DS → =λ( DE → - DC → ),∴ DE →= (2)因为 SE 1 → -λ DC → ),E ( DS 1-λ
?1+2λ ? 3 ? ? , , 0 ? λ -1 ? 1-λ ? ?

→ = ,∴ AE

?1+2λ ? 3 ? ? → , ,- 2 ? λ-1 ?,AB=(2,0,-1). 1 - λ ? ?

多 元 提 能 力

设平面EAB的法向量为m=(x,y,1),则 ? 1 → ?m· ?x=2, ? AB=2x-1=0, ? ?? 1 + 2 λ 3 →= AE x+ y-2=0, ?y=5-2λ, ?m· λ -1 1-λ ? 2 3 ?
?1 5-2λ ? 1 ? ? ,1? = ∴m= ?2, ( 2 3 2 3 ? ?

3 ,5-2λ,2 3 ),取m1=

( 3,5-2λ,2 3).
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

因为平面SAB的法向量为n=( 3,5,2 3). 3+5(5-2λ)+12 n· m1 ∴cos〈n,m1〉= = |n|×|m1| 2 10× 3+(5-2λ)2+12 3 = , 2 化简得λ2+10λ-20=0,解得λ=-5± 3 5,
多 元 提 能 力

经检验,当λ=-5-3 5 <0时,二面角S-AB-E的大小为 30°.

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

【备选理由】 本讲主要内容为空间向量解决空间角问题,多数题目 都以解答题出现,但对于线线角也常以小题出现,故补充 例1,近年来,高考对翻折及探索性问题也相对热衷,故 补充例2,例3.三道题目主要是对空间角的理解及向量求 法的加深.

教 师 备 用 题
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

例1 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB= 2,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为 ( ) 10 1 A. B. 10 5 3 10 3 C. 10 D.5

教 师 备 用 题
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

[解析]

C

本题考查异面直线夹角求法,利用平移, 2 ,

CD1∥BA1,因此求△EBA1中∠A1BE即可,易知EB=

3 10 A1E=1,A1B= 5 ,故由余弦定理求得cos∠A1BE= 10 , 或由向量法可求.

教 师 备 用 题
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

例2 在如图(1)所示的等腰梯形ABCD′中,
AB∥CD′,AB=BC=2,∠ABC=120°,E,F,G分别为 D′C,AE,BC的中点,现将△AED′沿AE翻折至图(2)的位 置(点D′翻至点D),H为CD的中点. (1)求证:DF∥平面EGH; π (2)当异面直线EH与AD所成角为 3 时,求二面角D- AE-B的余弦值.

教 师 备 用 题
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

解:如图(1)所示的等腰梯形ABCD′中,由平面几何方 法,过A,B两点分别作CD′的垂线,结合已知条件经计算易 得:CD′=4.故△AED′,△BEC及△AEB均为正三角形,且 三点B,F,D′在一条直线上.易得BD′⊥AE且BF∥EG. (1)方法一:在图(2)中,连接BD,BF,∵G,H分别为 BC,CD的中点,故GH∥BD,又BF∥EG,故面FBD∥面 EGH. 又DF?面FBD,故DF∥平面EGH. 方法二:连接CF交EG于M,连HM,易得M为CF的中 点,故HM为△CDF的中位线,∴DF∥HM,故DF∥平面 EGH.
教 师 备 用 题
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

(2)以F为坐标原点,FA,FB所在射线 分别为x,y轴建立如图所示空间直角坐标 系.显然∠BFD为二面角D-AE-B的平面 角,设∠BFD=θ, 则有D(0, 3cosθ , 3sinθ ),C(-2, 3 ,0),A(1, 0,0),E(-1,0,0).
? 3 3 3 ? H为CD的中点,故H?-1, + cosθ , sinθ 2 2 2 ? ? ? 3 3 3 ? → = ?0, + cosθ , sinθ ? → =(-1, EH , AD ? 2 2 2 ? ? ? ? ?, ?

3 cos

教 师 备 用 题

θ , 3sinθ ),

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

3 3 2 3 2 3 3 → → ∴EH·AD= cosθ + cos θ + sin θ = cosθ + , 2 2 2 2 2 π 异面直线EH与AD所成角为 , 3 ? 3 ? ( cos θ + 1 ) ? 2 ? → ·EH →? ?AD π 6 ? = ? ? = 故cos 3 = ? 4 → ||EH → |? ? |AD ?2× 6 cosθ +1? 2 ? ? cosθ +1, 1 解得cosθ =-3.

教 师 备 用 题

返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

例3 如图,在四棱锥P-
ABCD中,PA⊥底面ABCD, ∠DAB为直角,AB∥CD,AD =CD=2AB,E,F分别为 PC,CD的中点. (1)试证:CD⊥平面BEF; (2)设PA=k· AB,且二面角E-BD-C的平面角大于 30°,求k的取值范围.

教 师 备 用 题
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

解:(1)如图,以A为原点, AB所在直线为x轴,AD所在直线 为y轴,AP所在直线为z轴建立空 间直角坐标系,设AB=a,则易 知点A,B,C,D,F的坐标分别 为 A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a, 0),F(a,2a,0). → =(2a,0,0),BF → =(0,2a,0), 从而DC → ·BF → =0,故DC → ⊥BF →. DC 设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 ? ? b? b? → → → =0,故 DC →⊥ E ?a,a,2? .从而 BE = ?0,a,2? . DC · BE ? ? ? ? →. BE 由此得CD⊥面BEF.
返回目录

教 师 备 用 题

第42讲

空间直角坐标系与空间角

(2)设 E 在 xOy 平面上的投影为 G,过 G 作 GH⊥BD,垂 足为 H,由三垂线定理知 EH⊥BD. 从而∠EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角. 由 PA=k· AB 得
? ka? P(0, 0, ka), E?a,a, 2 ?, G ( a, a, 0). 设 ? ?

→ =(x-a,y-a,0),BD → =(-a,2a,0). H(x,y,0),则GH → ·BD → =0 得-a(x-a)+2a(y-a)=0,即 x-2y=- 由GH a①,
教 师 备 用 题

x-a → → → 又因BH=(x-a, y, 0), 且BH与BD的方向相同, 故 = -a y ,即 2x+y=2a②. 2a
返回目录

第42讲

空间直角坐标系与空间角

? 2 ? 1 3 4 → =?- a,- a,0?, 由①②解得 x= a,y= a,从而GH 5 5 5 ? 5 ? 5 → |GH|= a. 5 ka →| 2 |EG 5 tan∠EHG= = = 2 k.由 k>0 知, ∠EHG 是锐角, → 5 |GH| 5a 由∠EHG>30°,得 tan∠EHG>tan30°,即

5 3 2 k> 3 ,故 k 的取值范围为 k>
教 师 备 用 题

.

返回目录


赞助商链接
推荐相关:

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)高考专...

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)高考专题突破:高考中的立体几何问题_数学_高中教育_教育专区。高考专题突破 高考中的立体几何问题考点自测 1.(2013·...


浙江专版版高考数学一轮复习第七章立体几何学案(数学教案)

浙江专版高考数学一轮复习第七立体几何学案(数学教案)_数学_高中教育_教育专区。第七立体几何 第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 1.简单几何...


【新步步高】(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 专题...

【新步步高】(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 专题四 立体几何与空间向量 第1讲 空间几何体 理_数学_高中教育_教育专区。第 1 讲 空间几何体 1.(2014·...


(浙江专版)19版高考数学一轮复习第八章立体几何8.2空间...

(浙江专版)19版高考数学一轮复习第八章立体几何8.2空间点线面的位置关系学案_高考_高中教育_教育专区。§8.2 空间点、线、面的位置关系 考纲解读 考点 考纲...


浙江专版2019版高考数学一轮复习第八章立体几何8.5空间...

浙江专版2019版高考数学一轮复习第八章立体几何8.5空间向量及其应用学案20180403310_高考_高中教育_教育专区。§8.5 空间向量及其应用 考纲解读 考点 考纲内容 要求 ...


浙江专版2018高考数学一轮复习第7章立体几何第4节直线...

浙江专版2018高考数学一轮复习第7立体几何第4节直线平面平行的判定及其性质_数学_高中教育_教育专区。第四节 直线、平面平行的判定及其性质 1.直线与平面平行的...


...一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第七章 立体几...

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第七立体几何7.3_数学_高中教育_教育专区。§ 7.3 直线、平面平行的判定与性质 1.直线与平面平行...


...一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第七章 立体几...

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第七立体几何7.6_数学_高中教育_教育专区。§ 7.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 ...


...一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第七章 立体几...

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)知识梳理 第七立体几何7.2_数学_高中教育_教育专区。§ 7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.四个公理...


浙江专版2019版高考数学一轮复习第八章立体几何8.3直线...

浙江专版2019版高考数学一轮复习第八章立体几何8.3直线平面平行的判定和性质学案2018040336_高考_高中教育_教育专区。§8.3 直线、平面平行的判定和性质 考纲解读 考点...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com