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高中数学选修2-1练习题(含答案)辅导


2-1模块练习题
一、非解答题
1
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姓名:

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是

2. 已知双曲线

x2 y 2 的直线 l 与双曲线的右支 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° a 2 b2

有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是__________. 3.已知椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一 个焦点.现有一水平放置的椭圆形台球盘,其长轴长为 2a,焦距为 2c,若点 A,B 是它的焦点,当静放在点 A 的小球(不计大小) ,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后再回到点 A 时,小球经过的路程是 4.用一个与圆柱母线成 60 ? 角的平面截圆柱,截口是一个椭圆,则此椭圆的离心率是

M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 5.已知 F 1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 的点

6.已知直线 L 交椭圆

x2 y2 ? ? 1 于 M、N 两点,椭圆于 y 轴的正半轴交于点 B,若 ?BMN 的重心恰好 20 16

落在椭圆的右焦点上,则直线 L 的方程是

x2 y 2 7.设椭圆 2 ? 2 ? 1 和 x 轴正方向交点为 A,和 y 轴正方向的交点为 B,P为第一象限内椭圆上的点,使 a b
四边形 OAPB 面积最大(O为原点) ,那么四边形 OAPB 面积最大值为( A. 2ab B. )

2 ab 2

C.

1 ab 2

D. 2ab

8

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椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为______________ 2 k ?8 9

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x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 F2 A ? F2 B ? 12 , 9.已知 F1、F2 为椭圆 25 9
则 AB =___________。

10.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范 9 4
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围是 11.已知 m, n 为空间中两条不同的直线, ? , ? 为空间中两个不同的平面,下列命题正确的是( A. 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m / /? B. 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m / / ?
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C. 若 m, n 在 ? 内的射影互相平行,则 m / / n

D. 若 m ? l , ? I ? ? l ,则 m ? ?

12.在四边形 ABCD 中, AB ? AD ? 2 , BC ? 3 , CD ? 5 , AB ? AD ,现将 ?ABD 沿 BD 折起,得 三棱锥 A ? BCD ,若三棱锥 A ? BCD 的四个顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的体积为( )
1

11 2 5 2 7 2 8 2 B. C. D. ? ? ? ? 4 3 3 3 13.如图, 平面 ? ? 平面 ? , 且 A, B, C, D ? ? I ? =直线 l ,A, C 是 ? 内不同的两点, B, D 是 ? 内不同的两点, 直线 l , M , N 分别是线段 AB, CD 的中点.下列判断正确的是( )
A. A. 当 CD ? 2 AB 时, M , N 两点不可能重合 B. M , N 两点可能重合,但此时直线 AC 与 l 不可能相交 C. 当 AB 与 CD 相交,直线 AC 平行于 l 时,直线 BD 可以与 l 相交 D. 当 AB, CD 是异面直线时,直线 MN 可能与 l 平行 14. 如 图 所 示 , 在 直 三 棱 柱 ABC? A 1 B 1 C 1 中 , 底 面 是 ?ABC 为 直 角 的 等 腰 直 角 三 角 形 , AC ? 2 a ,

F 在线段 AA1 上,当 AF ? ________时, CF ? 平面 B1DF . BB1 ? 3a, D 是 AC 1 1 的中点,点

第 14 题 第 16 题

1 15.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长是 ,则直线 DA 1 与 AC 间的距离为



16.如图,在三棱锥 A ? BCD 中, BC ? DC ? AB ? AD ? 2, BD ? 2 ,平面 ABD ? 平面 BCD , O 为 BD 中点, P, Q 分别为线段 AO, BC 上的动点(不含端点) ,且

AP ? CQ ,则三棱锥 P ? QCO 体积的最大值为_________.

二、解答题
1.设椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? ,点 F2 到右准线为 l 的距离为 2 a b 2

(Ⅱ)设 M , N 是 l 上的两个动点, F 2 (Ⅰ)求 a , b 的值; 1M ? F 2N ? 0 , 证明:当 MN 取最小值时, F 1F 2 ?F 2M ? F 2N ? 0

2

2.如图、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 F(1,0) ,O 为坐标原点. a 2 b2

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点。若直线 l 绕点 F 任意 转动,都有 OA ? OB ? AB ,求 a 的取值范围.
2 2 2

3.设椭圆中心在坐标原点, A(2,, 0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭 圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.

4. 如图所示的几何体 P ? ABCD中,四边形 ABCD为菱形, ?ABC ? 120? , AB ? a , PB ? 3a , PB ? AB ,平面 ABCD ? 平面 PAB , AC ? BD ? O , E 为 PD 的中点, G 为平面 PAB 内任一点. (Ⅰ)在平面 PAB 内,过G 点是否存 在直线 l 使 OE / / l ? 如果不存在,请说明理由,如果存在,请说明作法; (Ⅱ)过 A , C , E 三点的平面将几何体 P ? ABCD 截去三棱锥D ? AEC ,求剩余几何体 AECBP 的体积.

3

5.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC ,

1 ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ? , 2
AB ? 1 , M 是 PB 的中点
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(1)求 AC 与 PB 所成角的余弦值; (2)求面 AMC 与面 BMC 所成夹角的余弦值.

6.如图, 在三棱锥 S ? ABC 中,?ABC 是边长为 4 的正三角形, 平面 SAC ? 平面 ABC ,SA ? SC ? 2 2 ,

M 为 AB 的中点.
(1)证明: AC ? SB ;

S
om]

(2)求二面角 S ? CM ? A 的余弦值; (3)求点 B 到平面 SCM 的距离.

C

A

M

B

4

参考答案
一、选择题 1. ?0,1?

y 2 x2 2 ? ? 1, ? 2 ? 0 ? k ? 1 焦点在 y 轴上,则 2 2 k k

b x 与直线 l 平行,或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时,直线 l 与 a b c 双曲线的右支有且只有一个交点,所以 ? 3 ,即 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 4a 2 ,所以 e ? ? 2 . a a 3. 4 a

2.[2,+∞) 【解析】当渐近线 y ?

4. e ?

c 1 ? a 2

解:设圆柱底面半径为 R,则 a ?

R 2R ? ,b ? R , 0 sin 60 3

∴ c ? a 2 ? b2 ? ( 5. e ? (0, )

c 1 2R 2 R ,∴ e ? ? 。 ) ? R2 ? a 2 3 3

P

y

1 2

解:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则

c ? b ? c 2 ? b2 ? a 2 ? c 2 ? e2 ?
所以 e ? (0, ) 。 6. 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 点为 F (2, 0) ,

1 又 e ? (0,1) , 2

F1

O F2

x

1 2

解:设 M、N 的坐标分别为 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,点 B 坐标为 B(0, 4) ,椭圆右焦

∵ ?BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上,

? x1 ? x2 ? 0 ?2 ? ? x ?x ?6 ? 3 ?? 1 2 ∴? ,∴ MN 的中点坐标为 (3, ?2) , 又点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) 在椭圆 ? y1 ? y2 ? 4 ? 0 ? y1 ? y2 ? ?4 ? 3 ?

x12 y12 x2 2 y2 2 x2 y2 ? ? 1 上, ∴ ? ? 1, ? ? 1 ,两式相减得: 20 16 20 16 20 16
x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ( x ? x )( x ? x ) ( y ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0? 1 2 1 2 ?? 1 20 16 20 16
∴直线 MN 的斜率 k ?

y1 ? y2 16( x1 ? x2 ) 16 ? 6 6 ?? ?? ? x1 ? x2 20( y1 ? y2 ) 20 ? (?4) 5 y
6 ( x ? 3) , 5
B P

∴直线 MN 的方程为 y ? 2 ? 即 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 。

O

A

x
5

7.B 解: ?OAB 的面积为

1 ab ,四边形 OAPB 的面积大于 2

?OAB 的面积而小于 ?OAB 的面积的 2 倍,故选 B。

5 8. 4, 或 ? 4

c2 k ? 8 ? 9 1 ? ,k ? 4 ; 解:当 k ? 8 ? 9 时, e ? 2 ? a k ?8 4
2

当 k ? 8 ? 9 时, e ?
2

c2 9 ? k ? 8 1 5 ? ? ,k ? ? 2 a 9 4 4

9.8 解:依题直线 AB 过椭圆的左焦点 F 1 ,在 ?F2 AB 中,

| F2 A | ? | F2 B | ? | AB |? 4a ? 20 ,又 | F2 A | ? | F2 B |? 12 ,∴ | AB |? 8.
10. (?

3 5 3 5 , ) 可以证明 PF1 ? a ? ex, PF2 ? a ? ex, 且 PF12 ? PF22 ? F1F22 5 5 5 ,则 (a ? ex)2 ? (a ? ex)2 ? (2c)2 , 2a2 ? 2e2 x2 ? 20, e2 x2 ? 1 3

而 a ? 3, b ? 2, c ? 5, e ?

x2 ?
11.A 14. 15.

1 1 1 3 5 3 5 ,? ? x ? ,即? ?e? 2 e e e 5 5
12.D 13B

a 或 2a ;
3 3

A(0,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A1(0,0,1), AC ? (1,1,0), DA1 ? (0, ?1,1)

设 MN ? ( x, y, z), MN ? AC, MN ? DA 1, x ? y ? 0, ? y ? z ? 0, 令y ? t 则 MN ? (?t , t , t ) ,而另可设 M (m, m,0), N (0, a, b), MN ? (?m, a ? m, b)

??m ? ?t 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ?a ? m ? t , N (0, 2t , t ), 2t ? t ? 1, t ? , MN ? (? , , ), MN ? 3 3 3 3 9 9 9 3 ; ?b ? t ?
16.

2 48

二、解答题 1.解:因为 e ?

a a , F2 到 l 的距离 d ? ? c ,所以由题设得 c c

? a 2 ? ? ? c 2 ? ?a ? c ? 2 ? ?c

解得 c ? 2, a ? 2

由 b ? a ? c ? 2 ,得 b ?
2 2 2

2

6

(Ⅱ)由 c ? 2, a ? 2 得 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ? ??

2, 0 , l 的方程为 x ? 2 2

?

? ? 由知 F M ? F N ? 0 知 ? 2
1 2

故可设 M 2 2, y1 , N 2 2, y2

?

? ?
6 y1

2 ? 2, y1 ? 2 2 ? 2, y2 ? 0

得 y1 y2 ? ?6 ,所以 y1 y2 ? 0, y2 ? ?

MN ? y1 ? y 2 ? y 1 ?

6 1 ? y 1 ? ?2 6 y1 y1

当且仅当 y1 ? ? 6 时,上式取等号,此时 y2 ? ? y1 所以, F1F2 ? F2 M ? F2 N ? ?2 2,0 ?

?

? ?

2, y1 ?

? ?

2, y2 ? ? 0, y1 ? y2 ? ? 0

?

2.解:(Ⅰ)设 M,N 为短轴的两个三等分点,因为△ MNF 为正三角形, 所以 OF ?

3 3 2b MN , 1 ? , 解得b= 3. 2 2 3
x2 y 2 ? ? 1. 4 3

a 2 ? b2 ? 1 ? 4 ,因此,椭圆方程为
(Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). (ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

OA ? OB ? 2a 2 , AB ? 4a 2 (a 2 ? 1),因此,恒有 OA ? OB ? AB .
(ⅱ)当直线 AB 不与 x 轴重合时,设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1代入 整理得 (a2 ? b2 m2 ) y 2 ? 2b2my ? b2 ? a2b2 ? 0,

2

2

2

2

2

2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 b2

2b2 m b 2 ? a 2b 2 , y1 y2 ? 2 所以 y1 ? y2 ? ? 2 a ? b 2 m2 a ? b 2m2
因为恒有 OA ? OB ? AB ,所以 ? AOB 恒为钝角. 即 OA OB ? ( x1, y1 ) ( x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 恒成立.
2 2 2

x1x2 ? y1 y2 ? (my1 ?1)(my2 ?1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1

(m2 ? 1)(b2 ? a 2b2 ) 2b2 m2 ? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? ? 2 ?1 ? ? 0. a 2 ? b 2 m2 a ? b 2 m2 a 2 ? b 2 m2
7

又 a ? b m ? 0 ,所以 ?m a b ? b ? a b ? a ? 0 对 m ? R 恒成立,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

即 m a b ? a ? b ? a b 对 m ? R 恒成立,当 m ? R 时, m a b 最小值为 0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以 a ? b ? a b ? 0 , a2 ? b2 (a2 ? 1) ? b4 ,
2 2 2 2

∵a ? 0, b ? 0,∴a ? b2 ? a2 ?1 ,即 a2 ? a ?1 ? 0 ,
解得 a ?

1? 5 1? 5 1? 5 或a ? (舍去),即 a ? , 2 2 2 1? 5 , ??) . 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为 (

x2 ? y 2 ? 1, 3.解(Ⅰ) :依题设得椭圆的方程为 4
直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . 如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 , 故 x2 ? ? x1 ? y B O E D A F x

2 1 ? 4k
2





由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? 由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 所以

1 5 10 ; (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2

2 . 1 ? 2k

2 3 2 10 2 ,化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,解得 k ? 或 k ? . ? 3 8 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2

( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5 x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



h2 ?

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 1 AB (h1 ? h2 ) ? 2 2

5

4(1 ? 2k ) 5(1 ? 4k 2 )

?

2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2

?2

1 ? 4k 2 ? 4 k ≤2 2 , 1 ? 4k 2
8

当 2k ? 1 ,即当 k ?

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 2

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为
2 2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 S ? S△BEF ? S△AEF ? x2 ? 2 y2 ? ( x2 ? 2 y2 ) 2 ? x2 2 2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 ) ?2 2,

当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 4.【解析】 (Ⅰ)过 G 点存在直线 l 使 OE l ,理由如下: 由题可知 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的中点,所以在 ?PBD 中,有 OE / / PB . 若点 G 在直线 PB 上,则直线 PB 即为所求作直线 l ,所以有 OE / / l ; 若点 G 不在直线 PB 上,在平面 PAB 内,过点 G 作直线 l ,使 l / / PB , 又 OE / / PB ,所以 OE / / l ,即过 G 点存在直线 l 使 OE / / l . (Ⅱ) 连接 EA ,EC , 则平面 ACE 将几何体分成两部分: 三棱锥 D ? AEC 与几何体 AECBP(如 图所示). 因为平面 ABCD ? 平面 PAB ,且交线为 AB , 又 PB ? AB ,所以 PB ? 平面 ABCD ,故 PB 为几何体 P ? ABCD 的高. 又四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 120? , AB ? a , PB ? 3a , 所以 S四边形ABCD ? 2 ? 所以 VP? ABCD 又 OE / /
3 2 3 2 a ? a , 4 2 1 3 2 1 1 a ? 3a ? a 3 . ? S四边形ABCD ? PB ? ? 3 2 2 3

1 PB ,所以 OE ? 平面 ACD , 2 1 1 1 S ?ACD ? EO ? VP ? ABCD ? a 3 , 所以 V三棱锥D? AEC ? V三棱锥E ? ACD ? 3 4 8 1 3 1 3 3 3 所以几何体 AECBP 的体积 V ? VP? ABCD ? V三棱锥D? EAC ? a ? a ? a . 2 8 8
5. 21.证明:以 为坐标原点 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

. (1)因

9

(2)平面

的一个法向量设为



平面

的一个法向量设为



所求二面角的余弦值为 6.解析: (1)证明:取 AC 的中点 O ,连接 OS , OB 因为 SA ? SC , BA ? BC ,所以 AC ? SO 且 AC ? BO . 因为平面 SAC ? 平面 ABC ,平面 SAC ? 平面 ABC ? AC ,所以 SO ? 平面 ABC 所以 SO ? BO . 如右图所示,建立空间直角坐标系 O ? xyx 则 A(2,0,0), C(?2,0,0), S (0,0,2), B(0,2 3,0) 所以 AC ? (?4,0,0), BS ? (0,?2 3,2) 因为 AC ? BS ? (?4,0,0) ? (0,?2 3,2) ? 0 所以 AC ? SB (2)由(1)得 M (1, 3,0) ,所以 CM ? (3, 3,0), CS ? (2,0,2) 设 n ? ( x, y, z) 为平面 SCM 的一个法向量,则

? ?n ? CM ? 3x ? 3 y ? 0 ,取 z ? 1,则 x ? ?1, y ? 3 ? ? ? n ? CS ? 2 x ? 2 z ? 0

所以 n ? (?1, 3,1)

又因为 OS ? (0,0,2) 为平面 ABC 的一个法向量,所以 cos n, OS ?

n ? OS n OS

?

5 5

所以二面角 S ? CM ? A 的余弦值为

5 . 5
10


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