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上海市普陀区2013届高三一模数学答案(理)


上海市普陀区 2013 届高三一模数学试题(理) 参考答案
一、填 空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [1,3] (n? N )
*

2. ?

3. {?1, 0} 8.180

4. arctan 9. ? 1

2 2
10.3

5. 3

9

6. an ? 3n ? 2 11.

13. 1 : 1

3 5 3 14. [ , 2 ) 4
7.

1 210

12.1

二、选择题(本 大题满分 20 分)本 大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生 应 在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
15. B 16. B 17. D 18. C

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区 域内写出必要的步骤. 19.【解】 (1) d ? 6cm , R ? 3cm , V球 ?

4 3 4 ?R ? ? ? 27 ? 36? cm3 ????2 分 3 3

h ? 2 , V圆柱 ? ?R2 ? h ? ? ? 9 ? 2 ? 18? cm3 ????2 分
V ? V球 ? V圆柱 ? 36? ? 18? ? 54? ? 169 .6 cm3 ????2 分
2 (2) S球表 ? 4?R ? 4 ? ? ? 9 ? 36? cm ????2 分
2

S圆柱侧 ? 2?Rh ? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? 12? cm2 ????2 分
36? ? 12? 48 ? 4 ? m2 4 10 10 48 2 2500 个“浮球”的表面积的和 S 2500 ? 2500 ? 4 ? ? 12? m 10 所用胶的质量为 100 ? 12? ? 1200? (克)????2 分
1 个“浮球”的表面积 S1 ? 答:这种浮球的体积约为 169 .6 cm ;供需胶 1200 ? 克.
3

20.【解】 (1)由题意可知,动点 A 的轨迹为抛物线,其焦点为 F (2, 0) ,准线为 x ? ?2

设方程为 y 2 ? 2 px ,其中

p ? 2 ,即 p ? 4 ??2 分 2

所以动点 A 的轨迹方程为 y 2 ? 8x ??2 分 (2)过 A 作 AB ? l ,垂足为 B ,根据抛物线定义,可得 | AB |?| AF | ??2 分

y B A
由于 AK ? ???2 分

2 AF ,所以 ?AFK 是等腰直角三角形

K ?2 O

F
2

其中 | KF |? 4 ????2 分

x

所以 S ?AFK ?

1 ? 4 ? 4 ? 8 ????2 分 2

x ? ?2

21.【解】 (1)在 △ ABC 中,由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos A …………2 分
2 2 2

1 48 ? 36 ? c 2 ? 2 ? c ? 6 ? (? ) …………2 分 3 2 即 c ? 4c ? 12 ? 0 , (c ? 6)(c ? 2) ? 0 ,解得 c ? 2 …………2 分
(2)由 cos A ? ?

1 2 2 ? 0 得 A 为钝角,所以 sin A ? …………2 分 3 3 a b ? 在 △ ABC 中, 由正弦 定理,得 sin A sin B 2 2 6? b ? sin A 3 ? 6 …………2 分 则 sin B ? ? a 3 4 3

3 ……2 分 3 2 1 cos 2 B ? 1 ? 2 sin 2 B ? 1 ? 2 ? ? ? 3 3 6 3 2 2 sin 2B ? 2 sin B ? cos B ? 2 ? ? ? 3 3 3 ? 2 2 1 2 2 4? 2 2 ( c o s B ? si n2 B) ? 2 (? ? )? 所 以 cos ( B ? ) ? ………2 4 2 2 3 3 6
由于 B 为锐角,则 cos B ? 分 22.【解】 (1)由已知条件得, A1 A2 ? (1,1), A1 A2 ? OA2 ? OA ,所以 OA2 ? (1,2)……2 1 分

???? ?

An An?1 ? (1,1),则 OAn?1 ? OAn ? (1, 1)

设 OAn ? ( xn , y n ) ,则 xn?1 ? xn ? 1 , y n?1 ? y n ? 1 所以 xn ? 0 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ; yn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ………2 分 即 An ? (n ? 1, n) 满足方程 y ? x ? 1 ,所以点 An 在直线 y ? x ? 1 上. ………1 分 (证明 An 在直线 y ? x ? 1 上也可以用数学归纳法证明.) (2)由(1)得 An (n ? 1, n)

2 Bn Bn ?1 ? OB n ?1 ? OB n ? (3 ? ( ) n ,0) ………1 分 3
设 Bn (u n , vn ) ,则 u1 ? 3 , v1 ? 0

vn?1 ? vn ? 0 ,所以 vn ? 0
2 2 u n ?1 ? u n ? 3 ? ( ) n , 逐差累和得, u n ? 9(1 ? ( ) n ) , 3 3 2 n 所以 Bn (9(1 ? ( ) ), 0) ???2 分 3
设直线 y ? x ? 1 与 x 轴的交点 P ? ?1,0? ,则

an ? S?PAn?1Bn?1 ? S ?PAn Bn

1? ?2? ? ?10 ? 9 ? ? 2? ?3? ?

n ?1

n ? 1? ?2? ? ? ? n ? 1? ? ?10 ? 9 ? ? ? n 2? ?3? ? ? ? ? ?

2 an ? 5 ? (n ? 2)( ) n ?1 , n ? N * ……2 分 3 2 n ?1 * (3)由(2) an ? 5 ? (n ? 2)( ) , n ? N 3
n n ?1 n ?1 ? ?2? ? ? ? 2? ? 4?n? 2? an ?1 ? an ? ?5 ? ? n ? 1? ? ? ? ? ?5 ? ? n ? 2 ? ? ? ? ? …2 分 ? ? 3 ? 3? ?3? ? ? ?3? ? ? ? ? ? ?

于是, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , a5 ? a6 ? a7 ? ? ………2 分 数列 ?an ? 中项的最大值为 a4 ? a5 ? 5 ?

16 16 , P?5 则 ,即最小的正整数 p 的 27 27
*

值为 6 ,所以,存在最小的自然数 p ? 6 ,对一切 n ? N 都有 a n ? p 成立.??2 分

23.【解】 (1)由 f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 得 2 sin x ? sin 2 x

化简得, 2 sin x(1 ? cos x) ? 0 , sin x ? 0 或 cos x ? 1 ………2 分 解得 x ? k? 或 x ? 2k? , k ? Z ,即集合 M ? {x | x ? k? } k ? Z ………2 分 (若学生写出的答案是集合 M ? {x | x ? k? , k ? Z} 的非空子集,扣 1 分,以 示区别。) (2)证明:由题意得, a
x ?1

? a x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )………2 分

变形得, a x (a ? 1) ? 1 ,由于 a ? 0 且 a ? 1

1 ………2 分 a ?1 1 x ? 0 ,即 a ? 1 ………2 分 因为 a ? 0 ,所以 a ?1 ax ?
(3)当 ? 1 ? x ? 0 ,则 0 ? ? x ? 1 ,由于函数 g (x) 在 (?1,1) 上是偶函数 则 g ( x) ? g (? x) ? log2 (1 ? x) 所以当 ? 1 ? x ? 1 时, g ( x) ? log2 (1? | x |) ?????2 分 由于 f ( x) ? x ? 2 与函数 g (x) 在集合 M 上“ 互为 H 函数” 所以当 x ? M , f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 恒成立,

g ( x) ? 2 ? g ( x ? 2) 对于任意的 x ? (2n ? 1,2n ? 1) ( n ? N )恒成立,
即 g ( x ? 2) ? g ( x) ? 2 ?????2 分 所以 g[ x ? 2(n ? 1) ? 2] ? g[ x ? 2(n ? 1)] ? 2 , 即 g ( x ? 2n) ? g[ x ? 2(n ? 1)] ? 2 所以 g ( x ? 2n) ? g ( x) ? 2n , 当 x ? (2n ? 1,2n ? 1) ( n ? N )时, x ? 2n ? (?1,1)

g ( x ? 2n) ? log2 (1? | x ? 2n |) ?????2 分
所以当 x ? M 时,

g ( x) ? g[(x ? 2n) ? 2n] ? g ( x ? 2n) ? 2n ? log2 (1? | x ? 2n |) ? 2n ???2 分


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