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中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题-(-含答案)


1、二次函数的定义 定义: y=ax? + bx + c ( a 、 b 、 c 是常数, a ≠ 0 ) 定义要点:①a ≠ 0 ②最高次数为 2 ③代数式一定是整式 练习:1、y=-x?,y=2x?-2/x,y=100-5 x?,y=3 x?-2x?+5,其中是二次函数的有____个。

2.当 m_______时,函数 y=(m+1)χ

m2 ? m

- 2χ +1 是二次函数?

2、二次函数的图像及性质

y 0 x

y

0

x

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
例 2:已知二次函数

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ?
直线 x ? ? b 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ? ? ? 2a , 4a ? ? ? ?
直线 x ? ? b 2a

由a,b和c的符号确定 a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x ? ? b 4ac ? b 2 时, y最小值为 2a 4a

由a,b和c的符号确定 a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x ? ? b 4ac ? b 2 时, y最大值为 2a 4a

y?

1 2 3 x ?x? 2 2

(1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点 M 的坐标。 (2)设抛物线与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A、B 两点,求 C,A,B 的坐标。 (3)x 为何值时,y 随的增大而减少,x 为何值时,y 有最大(小)值,这个最大(小)值是多少? (4)x 为何值时,y<0?x 为何值时,y>0?

3、求抛物线解析式的三种方法 1、一般式:已知抛物线上的三点,通常设解析式为________________ y=ax2+bx+c(a≠0) 2,顶点式:已知抛物线顶点坐标(h, k) ,通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式. y=a(x-h)2+k(a≠0) 3,交点式:已知抛物线与 x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般 形式.y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 练习:根据下列条件,求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点; (2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ; (3)、图象经过(0,0), (12,0) ,且最高点的纵坐标是 3 。 例 1 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的最大值是 2,图象顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-6) 。求 a、b、c。 解:∵二次函数的最大值是 2 ∴抛物线的顶点纵坐标为 2 又∵抛物线的顶点在直线 y=x+1 上 ∴当 y=2 时,x=1 ∴顶点坐标为( 1 , 2) ∴设二次函数的解析式为 y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点(3,-6) ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为 y=-2(x-1)2+2 即: y=-2x2+4x 4、a,b,c 符号的确定 抛物线 y=ax2+bx+c 的符号问题: (1)a 的符号:由抛物线的开口方向确定

(2)C 的符号:由抛物线与 y 轴的交点位置确定.

(3)b 的符号:由对称轴的位置确定

(4)b2-4ac 的符号:由抛物线与 x 轴的交点个数确定

(5)a+b+c 的符号:因为 x=1 时,y=a+b+c,所以 a+b+c 的符号由 x=1 时,对应的 y 值决定。 当 x=1 时,y>0,则 a+b+c>0 当 x=1 时,y<0,则 a+b+c<0 当 x=1 时,y=0,则 a+b+c=0 (6)a-b+c 的符号:因为 x=-1 时,y=a-b+c,所以 a-b+c 的符号由 x=-1 时,对应的 y 值决 当 x=-1,y>0,则 a-b+c>0 当 x=-1,y<0,则 a-b+c<0 当 x=-1,y=0,则 a-b+c=0

定。

练习
1、二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则 a、b、c 的符号为( A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 )

2、二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则 a、b、c 的符号为( A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0



3、二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则 a、b、c 、 △的符号为( A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0 熟练掌握 a,b, c,△与抛物线图象的关系(上正、下负)(左同、右异) 4.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限, 判断 a、b、c 的符号情况:a 0,b 0,c 0. 5.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限, 则 a、b、c 满足 的条件是:a 0,b 0,c 0.



6.二次函数 y=ax2+bx+c 中,如果 a>0,b<0,c<0,那么这个二次函数 图象的顶点必在第 象限

先根据题目的要求画出函数的草图,再根据图象以及性质确定结果(数形结合的思想) 7. 已知二次函数的图像如图所示,下列结论。⑴ a+b+c=0 ⑵ a-b+c ﹥ 0 ⑶ abc ﹥ 0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

要点:寻求思路时,要着重观察抛物线的开口方向,对称轴,顶点的位置,抛物 线与 x 轴、y 轴的交点的位置,注意运用数形结合的思想。

5、抛物线的平移
左加右减,上加下减

练习 ⑴二次函数 y=2x2 的图象向 平移 个单位可得到 y=2x2-3 的图象; 二次函数 y=2x2 的图象向 平移 个单位可得到 y=2(x-3)2 的图象。 ⑵二次函数 y=2x2 的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位可得到函数 y=2(x+1)2+2 的图象。 引申:y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2 (3)由二次函数 y=x2 的图象经过如何平移可以得到函数 y=x2-5x+6 的图象.

y=x2-5x+6 ? ( x ? ) ?
2

5 2

y=x2

5 1 y ? ( x ? )2 ? 2 4

1 4

6 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程根的情况与 b?-4ac 的关系 我们知道:代数式 b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.

? x1, 2 ? 当b ? 4ac ? 0时, 方程ax ? bx ? c ? 0?a ? 0?有两个不相等的实数根
2 2

? b ? b 2 ? 4ac . 2a
b . 2a

当b2 ? 4ac ? 0时, 方程ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?有两个相等的实数根 : 当b2 ? 4ac ? 0时, 方程ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0?没有实数根

? x1, 2 ? ?

二次函数 y=ax?+bx+c 的图象和 x 轴交点的横坐标,便是对应的一元二次方程 ax?+bx+c=0 的解。 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点有三种情况: (1)有两个交点 b2 – 4ac > 0 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点,则 b2 – 4ac ≥0 例(1)如果关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 有两个相等的实数根,则 m=____,此时抛物线 y=x2-2x+m 与 x 轴 有____个交点. (2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则 c=____. (3)一元二次方程 3 x2+x-10=0 的两个根是 x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数 y= 3 x2+x-10 与 x 轴的交点坐标是_ ___.

判别式: b2-4ac

二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 与 x 轴有两个不 同的交点 (x1,0) (x2,0) 与 x 轴有唯一个 交点

图象

一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 有两个不同的解 x=x1,x=x2

b2-4ac>0

y
O

x y
有两个相等的解 x1=x2=

b2-4ac=0

(?
b2-4ac<0

b ,0 ) 2a

O

?

与 x 轴没有 交点

x y x

b 2a

没有实数根

O

7 二次函数的综合运用 1.已知抛物线 y=ax2+bx+c 与抛物线 y=-x2-3x+7 的形状相同,顶点在直线 x=1 上,且顶点到 x 轴的距离为 5,请写出 满足此条件的抛物线的解析式. 解:? 抛物线 y=ax2+bx+c 与抛物线 y=-x2-3x+7 的形状相同 ? a=1 或-1 又 ? 顶点在直线 x=1 上,且顶点到 x 轴的距离为 5, ? 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可. 2.若 a+b+c=0,a?0,把抛物线 y=ax2+bx+c 向下平移 4 个单位,再向左平移 5 个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0), 求原抛物线的解析式. 分析: (1)由 a+b+c=0 可知,原抛物线的图象经过(1,0) (2) 新抛物线向右平移 5 个单位, 再向上平移 4 个单位即得原抛物线

练习题
1.直线 y=3 x-1 与 y=x-k 的交点在第四象限,则 k 的范围是………………( )

1 (B) <k<1 (C)k>1 (D)k>1 或 k<1 3 1? k ? x? ? ? y ? 3x ? 1 1? k 1 ? 3k ? 2 【提示】由 ? ,解得 ? 因点在第四象限,故 >0, 2 2 ?y ? x ? k ? y ? 1 ? 3k . ? 2 ? 1 ∴ <k<1. 3

1 (A)k< 3

<0.

【答案】B. 【点评】本题应用了两函数图象交点坐标的求法,结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等. 2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图,则下列各式中成立的个数是…………( ) (1)abc<0; (2)a+b+c<0; (3)a+c>b; (4)a<-

b 2



(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

【提示】由图象知 a<0,- 即 a+c-b<0. 【答案】B.

b >0,故 b>0,而 c>0,则 abc<0.当 x=1 时,y>0,即 a+c-b>0;当 x=-1 时,y<0, 2a b 2 b b ,即- 2a 2a

【点评】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系.因 a<0,把(4)a<- <1,所以(4)是正确的;也可以根据对称轴在 x=1 的左侧,判断出-

两边同除以 a,得 1>-

b b <1,两边同时乘 a,得 a<- 2a 2

,知(4)是正确

的. 3 . 若 一 元 二 次 方 程 x2 - 2 x - m = 0 无 实 数 根 , 则 一 次 函 数 y = ( m + 1 ) x + m - 1 的 图 象 不 经 过…………………………………………………………………………………( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【提示】由??=4+4 m<0,得 m+1<0,则 m-1<0,直线过第二、三、四象限. 【答案】A. 【点评】本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质.注意,题中问的是一次函数图象不经过的象限. 4.如图,已知 A,B 是反比例函数 y=

2 x

的 图 象 上 两 点 , 设 矩 形 APOQ 与 矩 形 MONB 的 面 积 为 S1 , S2 , )

则………………………………………………………………(

(A)S1=S2 (B)S1>S2 (C)S1<S2 (D)上述(A) 、 (B) 、 (C)都可能 【提示】因为 SAPOQ=|k|=2,SMONB=2,故 S1=S2. 【答案】A. 【点评】本题可以推广为:从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线,由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k|.

5.若点 A(1,y1) ,B(2,y2) ,C(?,y3)在反比例函数 y=-

k 2+1 的图象上,则( x



(A)y1=y2=y3 (B)y1<y2<y3 (C)y1>y2>y3 (D)y1>y3>y2 【提示】因-(k2+1)<0,且-(k2+1)=y1=2 y2=??y3,故 y1<y2<y3.或用图象法求解,因-(k2+1)<0,且 x 都大于 0,取第四象限的一个分支,找到在 y 轴负半轴上 y1,y2,y3 的相应位置即可判定. 【答案】B. 【点评】本题是反比例函数图象的性质的应用,图象法是最常用的方法.在分析时应注意本题中的-(k2+1)<0. 6.直线 y=ax+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 在同一坐标系内大致的图象是……( )

(A) (B) (C) (D) 【提示】两个解析式的常数项都为 c,表明图象交于 y 轴上的同一点,排除(A) , (B ) .再从 a 的大小去判断. 【答案】D. 【点评】本题综合运用了一次函数、二次函数的性质. (B)错误的原因是由抛物线开口向上,知 a>0,此时直线必过第一、三 象限. 7 .已知函数 y=x2-1840 x+1997 与 x 轴的交点是(m ,0 ) (n,0) ,则(m2- 1841 m+1997 ) (n2-1841 n +1997)的值 是……………………………………………( ) (A)1997 (B)1840 (C)1984 (D)1897 【提示】抛物线与 x 轴交于(m,0) (n,0) ,则 m,n 是一元二次方程 x2-1840 x+1997=0 的两个根.所以 m2-1840 m+1997 =0,n2-1840 n+1997=0,mn=1997. 原式=[ (m2-1840 m+1997)-m] [ (n2-1840 n+1997)-n]=mn=1997. 【答案】A. 【点评】本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系,应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点,并要灵活地把所求 代数式进行适当的变形. 8.某乡的粮食总产量为 a(a 为常数)吨,设这个乡平均每人占有粮食为 y(吨) ,人口数为 x,则 y 与 x 之间的函数关系 为……………………………………………( )

(A)

(B)

(C )

(D)

【提示】粮食总产量一定,则人均占有粮食与人口数成反比,即 y=

a x

.又因为人口数不为负数,故图象只能是第一象限内的

一个分支. 【答案】D. 【点评】本题考查反比例函数图象在实际问题中的应用. (A)错在画出了 x<0 时的图象,而本题中 x 不可能小于 0. (二)填空题(每小题 4 分,共 32 分)

1 的自变量 x 的取值范围是____________. x ?1 1 【提示】由 2 x-1≥0,得 x≥ ;又 x-1≠0,x≠1.综合可确定 x 的取值范围. 2 1 【答案】x≥ ,且 x≠1. 2
9.函数 y=

2x ?1 +

10.若点 P(a-b,a)位于第二象限,那么点 Q(a+3,ab)位于第_______象限. 【提示】由题意得 a>0,a-b<0,则 b>0.故 a+3>0,ab>0. 【答案】一.

11.正比例函数 y=k(k+1) x 的图象过第________象限. 【提示】由题意得 k2-k-1=1,解得 k1=2,k2=-1(舍去) ,则函数为 y=6 x. 【答案】一、三. 【点评】注意求出的 k=-1 使比例系数为 0,应舍去. 12.已知函数 y=x2-(2m+4)x+m2-10 与 x 轴的两个交点间的距离为 2 【提示】抛物线与 x 轴两交点间距离可应用公式

k 2 ?k ?1

2 ,则 m=___________.

? |a|

来求.本题有

? = (2m ? 4) 2 ? 4(m 2 ? 10) = 16m ? 56 =2 2 ,
故 m=-3. 【答案】-3. 【点评】抛物线与 x 轴两交点间距离的公式为

? |a|

,它有着广泛的应用.

13. 反比例函数 y=

k x

的图象过点 P (m, n) , 其中 m, n 是一元二次方程 x2+kx+4=0 的两个根, 那么 P 点坐标是_____________.

【提示】P(m,n)在双曲线上,则 k=xy=mn,又 mn=4,故 k=4. 【答案】 (-2,-2) . 【点评】本题是反比例函数、一元二次方程知识的综合应用.由题意得出 k=mn=4 是关键. 14. 若一次函数 y=kx+b 的自变量 x 的取值范围是-2≤x≤6, 相应函数值 y 的范围是-11≤y≤9, 则函数解析式是___________.

5 ? ?? 11 ? ?2k ? b ?k ? 【提示】当 k>0 时,有 ? ,解得 ? 2 ?9 ? 6k ? b ? ?b ? ?6. 5 ? ?? 11 ? 6k ? b ?k ? ? 当 k<0 时,有 ? ,解得 ? 2 ?9 ? ?2k ? b ? ?b ? 4. 5 5 【答案】y= x-6 或 y=- x+4. 2 2
【点评】因 k 是待定字母,而 k 的不同取值,导致线段分布象限不一样,自变量的取值与函数取值的对应关系也就不同.故本 例要分 k>0 时自变量最大值对应函数最大值,与 k<0 时自变量最大值对应函数最小值两种情形讨论. 15.公民的月收入超过 800 元时,超过部分须依法缴纳个人收入调节税,当超过部分不足 500 元时,税率(即所纳税款占超过部 分的百分数)相同.某人本月收入 1260 元,纳税 23 元,由此可得所纳税款 y(元)与此人月收入 x(元) ( 800<x<1300 ) 间的函数关系为____________. 【提示】因 1260-800=460,

23 460

=5%,故在 800<x<1300 时的税率为 5%.

【答案】y=5%(x-800) . 【点评】本题是与实际问题相关的函数关系式,解题时应注意并不是每个人月收入的全部都必须纳税,而是超过 800 元的部分才 纳税,故列函数式时月收入 x 须减去 800. 16.某种火箭的飞机高度 h(米)与发射后飞行的时间 t(秒)之间的函数关系式是 h=-10 t2+20 t,经过_________秒, 火箭发射后又回到地面. 【提示】火箭返回地面,即指飞行高度为 0,则-10 t2+20 t=0,故 t=0 或 t=20. 【答案】20. 【点评】注意:t=0 应舍去的原因是此时火箭虽在地面,但未发射,而不是返回地面.

(三)解答题 17. (6 分)已知 y=y1+y2,y1 与 x 成正比例,y2 与 x 成反比例,并且 x=1 时 y=4,x=2 时 y=5,求当 x=4 时 y 的值. 【解】设 y1=k1x,y2=

k2 x

,则 y=k1x+

k2 x



把 x=1 时 y=4,x=2 时 y=5 分别代入上式,得

?4 ? k1 ? k2 ? ? k 5 ? 2k1 ? 2 ? 2 ?
解得



?k1 ? 2 ? ?k 2 ? 2. 2 ∴ 函数解析式为 y=2 x+ . x 2 17 当 x=4 时,y=2×4+ = . 4 2 17 ∴ 所求的 y 值为 . 2
【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式.关键在于正确设出 y1,y2 与 x 的函数解析式.注意两个比例系数应分别用 k1, k2 表示出来,而不能仅用一个 k 值表示. 18. (6 分)若函数 y=kx2+2(k+1)x+k-1 与 x 轴只有一个交点,求 k 的值. 【提示】本题要分 k=0,k≠0 两种情况讨论. 【解】当 k=0 时,y=2 x-1,是一次函数,此时,直线与 x 轴必有一个交点. 当 k≠0 时,函数为二次函数, 此时,??=4(k+1)2-4 k(k-1) =12 k+4=0. ∴ ∴ k=-

1 . 3

所求的 k 值为 0 或-

1 . 3

【点评】注意,当问题中未指明函数形式,而最高次项系数含字母时,要注意这个系数是否为 0.函数图象与 x 轴有一个交点包 括两种情形:当函数是一次函数时,直线与 x 轴必只有一个交点;当函数是二次函数时,在??=0 的条件下,图象与 x 轴只有一 个交点. 19. (8 分)已知正比例函数 y=4 x,反比例函数 y=

k x

. (1)当 k 为何值时,这两个函数的图象有两个交点?k 为何值时,这

两个函数的图象没有交点?(2)这两个函数的图象能否只有一个交点?若有,求出这个交点坐标;若没有,请说明理由. 【解】由 y=4 x 和 y=

k x

,得

4 x2-k=0,??=16 k. (1)当??>0,即 k>0 时,两函数图象有两个交点; 当??<0,即 k<0 时,两函数图象没有交点; (2)∵ 比例系数 k≠0,故??≠0. ∴ 两函数图象不可能只有一个交点. 20. (8 分)如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图,横断面的地平线为 x 轴,横断面的对称轴为 y 轴,桥拱的 D′GD 部分为一段抛物线,顶点 G 的高度为 8 米,AD 和 AD′是两侧高为 5.5 米的立柱,OA 和 OA′为两个方 向的汽车通行区,宽都为 15 米,线段 CD 和 CD′为两段对称的上桥斜坡,其坡度为 1∶4. (1)求桥拱 DGD′所在抛物线的解 析式及 CC′的长. (2)BE 和 B′E′为支撑斜坡的立柱,其高都为 4 米,相应的 AB 和 A′B′为两个方向的行人及非机动车通 行区,试求 AB 和 A′B′的宽. (3)按规定,汽车通过桥下时,载货最高处和桥拱之间的距离不可小于 0.4 米,今有一大型运 货汽车,装载上大型设备后,其宽为 4 米,车载大型设备的顶部与地面的距离为 7 米,它能否从 OA(OA′)安全通过?请说明 理由.

【分析】欲求函数的解析式,关键是求出三个独立的点的坐标,然后由待定系数法求之.所以关键是由题中线段的长度计算出 D、 G、D′的坐标,当然也可由对称轴 x=0 解之. 至于求 CC′、AB、A′B′的数值,则关键是由坡度的定义求解之;到底能否安全通过,则只需在抛物线的解析式中令 x =4,求出相应的 y 值,即可作出明确的判断. 【解】 (1)由题意和抛物线的对称轴是 x=0,可设抛物线的解析式为 y=ax2+c. 由题意得 G(0,8) ,D(15,5.5) ∴

?c ? 8 ? 5 ? c ? 5.5. ?2 2 a
1 ? ?a ? ? 90 ? ? ?c ? 8. 1 2 x +8. y= ? 90 AD 1 = 且 AD=5.5, AC 4
AC=5.5×4=22(米) . CC′=2C=2×(OA+AC)=2×(15+22)=74(米) . CC′的长是 74 米.



∴ 又 ∴ ∴ ∴

(2)∵ ∴ ∴

EB BC



1 4

,BE=4,

BC=16. AB=AC-BC=22-16=6(米) . A′B′=AB=6(米) . (3)此大型货车可以从 OA(OA′)区域安全通过. 在 y= ?

1 2 1 37 x +8 中,当 x=4 时,y=- ×16+8= 7 ,而 90 90 45 19 37 7 -(7+0.4)= >0, 45 45



可以从 OA 区域安全通过.

21. (8 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象抛物线 G 经过(-5,0) , (0,

5 2

) , (1,6)三点,直线 l 的解析式为 y=2 x

-3. (1)求抛物线 G 的函数解析式; (2)求证抛物线 G 与直线 l 无公共点; (3)若与 l 平行的直线 y=2 x+m 与抛物线 G 只有一个公共点 P,求 P 点的坐标. 【分析】 (1)略; (2)要证抛物线 G 与直线 l 无公共点,就是要证 G 与 l 的解析式组成的方程无实数解; (3)直线 y=2 x+m 与抛物线 G 只有一个公共点,就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解,求出这组解,就得 P 点的坐标. 【解】 (1)∵ 抛物线 G 通过(-5,0) , (0,

5 2

) , (1,6)三点,



?0 ? 25a ? 5b ? c ?5 ? , ? ?c 2 ? ? ?6 ? a ? b ? c

1 ? ?a ? 2 ? 解得 ?b ? 3 ? 5 ?c ? . 2 ? 1 ∴ 抛物线 G 的解析式为 y= 2

x2+3 x+

5 2



? y ? 2x ? 3 ? (2)由 ? 1 5, y ? x 2 ? 3x ? ? 2 2 ? 1 11 消去 y,得 x2+x+ =0, 2 2 1 11 ∵ ?=12-4× × =-10<0, 2 2
∴ 方程无实根,即抛物线 G 与直线 l 无公共点.

? y ? 2x ? m ? (3)由 ? 1 5 ,消去 y,得 y ? x 2 ? 3x ? ? 2 2 ? 1 2 5 x +x+ -m=0. 2 2
∵ ∴ 抛物线 G 与直线 y=2 x+m 只有一个公共点 P, ??=12-4×



1 2

×(

5 2

-m)=0.

解得 m=2. 把 m=2 代入方程①,解得 x=-1. 把 x=-1 代入 y=

1 2

x2+3 x+

5 2

,得 y=0.

∴ P(-1,0) . 【点评】本题综合运用了二次函数解析式的求法.抛物线与直线的交点等知识,其关键是把函数问题灵活转化为方程知识求解.


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