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双曲线定义及标准方程(第2课时)


2.2.1双曲线及其标准方程
(第二课时)
——普通高中课程标准实验教科书 选修1-1
授课教师:田华峰 授课班级:二年三、四班 时间:2013.11.22

第一部分 复习回顾

双曲线定义: 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的 绝对值等于常数 (小于|F1F2| )的点的轨迹叫 做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两 焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

双曲线的标准方程:

第一部分 复习回顾 椭圆、双曲线对比: 椭
定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

方程

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 a b a b

F(±c,0)
焦点 a.b.c的关 系

F(±c,0)

F(0,±c)

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

第一部分 复习回顾

判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出

a, b, c及焦点坐标。

x2 y2 ?1? ? ? 1 4 2 x2 y2 ?3? ? ? ?1 4 2

x2 y2 ?2? ? ? 1 2 2 x2 y2 ?4? ? ? 1(m ? 0, n ? 0) m n

答案:

题后反思:

?1?a ? 2, b ? 2 , c ? 6 (? 6 ,0).( 6 ,0) 先把非标准方程 化成标准方程, ?2?a ? 2 , b ? 2 , c ? 2 (?2,0).( 2,0) 再判断焦点所在 ?3?a ? 2 , b ? 2, c ? 6 (0, 6 ).( 0,? 6 ) 的坐标轴。 ?4?a ? m , b ? n , c ? m ? n ( m ? n ,0).( ? m ? n ,0)

第二部分 知识应用

变式一: 方程 表示双曲线时,则m的取值范围

m ? ?1 或 m ? 2
变式二:
表示焦点在y轴的双曲线时,求m的范围。 ?m ? 1 ? 0 ?m?2 ? ?2 ? m ? 0

第二部分 知识应用 讨论:
x2 y2 1.方程 ? ? 1(mn ? 0)是否表示双曲线? m n

2.当方程mx 2 ? ny 2 ? 1中的m、n满足什么条 件时,方程表示椭圆、圆、双曲线?

第二部分 知识应用

例2、已知双曲线的焦点 F1(-4,0), F2(4,0), 双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6,求 双曲线的标准方程.
解:因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的 标准方程为 x2 y2
a
2

?

b

2

? 1( a ? 0, b ? 0)

根据已知条件,| F1F2 |? 8. || PF1 | - | PF2 ||? 6 所以2c=8,2a=6.即a=3,c=4.
x2 y2 ? ? 1. 因此,双曲线的标准方程为 9 7

那么b2=c2-a2=16-9=7

第二部分 知识应用
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ①焦点在在 ②焦点在在
2 2

答案: ①

x2 y2 ② 设双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a b

x y ? ?1 16 9

x 轴上, a ? 4, b ? 3 ; x轴上,经过点 (? 2 ,? 3 ), (

15 , 2) 3

.

15 , 2) 得 代入点 (? 2 ,? 3 ), ( 3
3 ? 2 ? 2 ?1 ? a2 b ? 5 2 ? ? 2 ?1 b ? 3a 2

? 2m ? 3n ? 1 1 1 令 m ? 2 , n ? 2 则 ?5 ? m ? 2n ? 1 a b ?3 ?

?m ? 1 ? 1 解得 ? n ? ? 3 ?

y2 故所求双曲线的标准方程为 x 2 ? ? 1. 3

第二部分 知识应用

2.求适合下列条件的双曲线的标准方程。
x2 y2 ①与椭圆 ? ? 1 ,有公共的焦点, 且经过 A(3,0) 25 9 点.

②焦点为 F1 0,?6), F2 0, ,且经过点 ( ( 6)

M(2, 5) ? .

第三部分 归纳小结

双曲线的定义

双曲线的标准方程

应用

51页练习A组1、2;

56页习题2.3 A组1、2题。

第四部分 课后作业

三维随堂精练P20双曲线(一)


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