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江苏省南京市18届高三数学上学期期中试题

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南京市 2017~2018 学年度第一学期期中考试
数学
一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知集合 A={2,3,5},B={x|2≤x≤4},则 A∩B=________. 2. 若复数 z 满足 z(1-i)=2i,其中 i 是虚数单位,则复数 z=________. 3. 从 1,2,3,4,5 这 5 个数中,随机抽取 2 个不同的数,则这 2 个数的和为奇数的
概率是________________________________________________________________________. 4. 某中学共有学生 2 000 人,其中高一年级共有学生 650 人,高二男生有 370 人.现
在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是 0.19,则该校高三学生共有________ 人.
5. 下面是一个算法的伪代码.如果输出的 y 值是 30,那么输入的 x 值是________.
6. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 的值为________. 7. 若曲线 y=xx+ -11在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+3=0 垂直,则实数 a 的值为 ________.
8. 已知函数 f(x)= 2sin???2x-π4 ???,x∈R,若 f(x)在区间???π8 ,34π ???上的最大值和最 小值分别为 a,b,则 a+b 的值为________.
9. 已知奇函数 f(x)的图象关于直线 x=-2 对称,当 x∈[0,2]时,f(x)=2x,那么 f(6)的值为________.
10. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b-c=14a,2sinB=3sinC, 则 cosA 的值为________.
11. 已知 a>b>0,a+b=1,则a-4 b+21b的最小值等于________. 12. 在△ABC 中,已知 AB=4,AC= 10,BC= 2,M 为边 AB 的中点,P 是△ABC 内(包 括边界)一点,则→AP·→CM的最小值是________.
13. 设函数 y=?????-alxn3+x,x2,xx≥<ee,的图象上存在两点 P,Q,使得△POQ 是以 O 为直角顶点
1

的直角三角形(其中 O 为坐标原点),且斜边的中点恰好在 y 轴上,则实数 a 的取值范围是 ______________.(e 为自然对数的底数)
14. 在平面直角坐标系中,已知⊙O1 与⊙O2 交于 P(3,2),Q 两点,两圆半径之积为123. 若两圆均与直线 l:y=kx 和 x 轴相切,则直线 l 的方程为________.
2

二、 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. (本小题满分 14 分) 设向量 a=(sinx, 3cosx),b=(-1,1),c=(1,1),其中 x∈[0,π ]. (1) 若(a+b)∥c,求实数 x 的值;
(2) 若 a·b=12,求函数 sin???x+π6 ???的值.
16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,AC 与 BD 交于点 O,PC⊥底面 ABCD,E 为 PB 上一点,G 为 PO 的中点. (1) 若 PD∥平面 ACE,求证:E 为 PB 的中点; (2) 若 AB= 2PC,求证:CG⊥平面 PBD.
3

17. (本小题满分 14 分) 如图,把一块边长为 30cm 的正六边形铁皮剪去阴影部分,制成一个正六棱柱形的无盖容 器.设容器的底面边长为 xcm,棱柱的高为 hcm,容积为 Vcm3. (1) 求出 V 关于 x 的函数关系式 V(x); (2) 当容器的底面边长为多大时,无盖容器的容积最大?最大是多少?
4

18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C:xa22+y2=1(a>1)的左、右焦点分别为 F1,F2,A,B 为椭圆上关于原点对称的 两点,椭圆 C 的离心率为 e.
(1) 若点 A 的坐标为???2e,12???,求椭圆 C 的方程; (2) 记 AF1 的中点为 M,BF1 的中点为 N,若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上. ①证明A→F1·A→F2为定值; ②设直线 AB 的斜率为 k,若 k≥ 33,求 e 的取值范围.
5

19. (本小题满分 16 分)

设函数 f(x)=x3-ax,a∈R,g(x)=xex,h(x)=???f(x),

f(x)>g(x), (e 为自然

??g(x), f(x)≤g(x)

对数的底数). (1) 当 a>0 时,求函数 f(x)的极值; (2) 若函数 h(x)的最小值为-1e,求实数 a 的取值范围; (3) 当 h(x)=g(x)时,求实数 a 的值.

6

20. (本小题满分 16 分)
已知函数 f(x)=ax-3,g(x)=bx-1+cx-2(a,b,c 是实数)且 g???-12???-g(1)=f(0). (1) 试求 b,c 所满足的关系式; (2) 若 b=0,方程 f(x)=g(x)在(0,+∞)有唯一解,求实数 a 的取值范围; (3) 若 b=1,集合 A={x|f(x)>g(x)且 g(x)<0},试求集合 A.
7

南京市 2017~2018 学年度第一学期期中考试 数学附加题
21. 【限选题】共 2 小题,每小题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
B. 选修 42:矩阵与变换

若点

A(2,1)在矩阵

M=???

1 b

a -1

???对应变换的作用下得到点

B(4,5),求矩阵

M

的逆矩

阵 M-1.

C. 选修 44:坐标系与参数方程

??x= 22t,

在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程是

(t 是参数).以坐

???y= 22t+4 2

标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,选取相同的单位长度,建立极坐标系,圆 C 的极坐标 方程为 ρ =2cos???θ +π4 ???.由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

8

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.
22. (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB⊥AC,AB=3,AA1=AC=4. (1) 求二面角 A1BC1B1 的正弦值;
BD (2) 在线段 BC1 上是否存在点 D,使得 AD⊥A1B?若存在,求出BC1的值;若不存在,请说 明理由.

23. (本小题满分 10 分) 如图,已知正六棱锥 PABCDEF 的底面边长为 2,高为 1.现从该棱锥的 7 个顶点中随机选 取 3 个点构成三角形,设随机变量 X 表示所得三角形的面积. (1) 求概率 P(X= 3)的值; (2) 求 X 的分布.

参考答案

1. {2,3}

2. -1-i

3 3. 5

4. 600

可得 2???12sinx- 23cosx???=2,

5. 2 或 5 6. 12 7. -2 8. 2-1 9. -4 10. -14
11. 9 12. -4 13. ???0,e+1 1??? 14.
y=2 2x

故 sin???x-π3 ???=1.

因为

x∈[0 , π

],所以

x



π 3



???-π3 ,2π3 ???,

15. (1) a+b=(sinx-1, 3cosx+1). 因为(a+b)∥c,所以 sinx-1= 3cos

故 x-π3 =π2 ,解得 x=56π .

x+1, 则 sinx- 3cosx=2,

(2) 因为 a·b=12,所以-sinx+ 3

9

cosx=12,即 sinx- 3cosx=-12,

可得 2???12sinx- 23cosx???=-12, 故 sin???x-π3 ???=-14.

因为???x+π6 ???-???x-π3 ???=π2 ,

所以 sin???x+π6 ???=sin???π2 +???x-π3 ??????=

cos???x-π3 ???.



x∈[0 , π

],可得

x



π 3



???-π3 ,2π3 ???, 又 sin???x-π3 ??? =-14<0,则 x-π3 ∈

???-π3 ,0???,故可得 cos???x-π3 ???>0.

因为 sin2???x-π3 ???+cos2???x-π3 ???=1,

所 以 cos ???x-π3 ??? =

1-???-14???2 =

15 4.
16. (1) 如图,连结 OE. 由四边形 ABCD 是正方形知 O 为 BD 的中 点. 因为 PD∥平面 ACE,PD? 平面 PBD,平 面 PBD∩平面 ACE=OE, 所以 PD∥OE. 在△PBD 中,PD∥DE,O 为 BD 为中点, 所以 E 为 PB 的中点.

(2) 在四棱锥 PABCD 中,AB= 2PC, 因为四边形 ABCD 是正方形,
所以 AC= 2AB=2OC,则 AB= 2OC, 所以 PC=OC.

在△CPO 中,PC=OC,G 为 PO 的中点, 所以 CG⊥PO. 因为 PC⊥底面 ABCD,BD? 底面 ABCD, 所以 PC⊥BD. 因 为 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , 所 以 AC⊥BD, 因为 AC,PC? 平面 PAC,AC∩PC=C, 所以 BD⊥平面 PAC, 因为 CG? 平面 PAC,所以 BD⊥CG. 因为 PO,BD? 平面 PBD,PO∩BD=O, 所以 CG⊥平面 PBD. 17. (1) 由题意可知 A1B1=CD=x,CA1 =DB1=h, 则 AC=12(AB-x)=12(30-x),

h=AC·tan60°= 23(30-x),



V(x)=Sh=6×???

43x2???×

3 2 (30-x)

=94x2(30-x),0<x<30.

(2) V′(x)=94(60x-3x2),令 V′(x)

=0,得 x=20.

当 x∈(0,20)时,V′(x)>0;当 x∈(20,

30)时,V′(x)>0,

所以 V(x)在(0,20)单调递增,在(20,

30)单调递减,

所以当且仅当 x=20 时,V(x)取得最大

值 9 000.

答:当容器的底面边长为 20cm 时,容

器的容积最大,最大容积为 9 000 cm3.

4e2 1

a2-1

18. (1) 由题意知 a2 +4=1,即 a4 =

3 16,

所以 3a4-16a2+16=0,解得 a2=4 或

a2=43.

所以椭圆

C

的方程为x42+y2=1

3x2 或4+

y2=1.

(2) 设 F2(c,0),A(x1,y1),则 F1(-c, 0),B(-x1,-y1),

10

故 M???x1-2 c,y21???,N???-c2-x1,-y21???.

所以函数 g(x)在区间(-∞,-1)上是 单调减函数,在区间(-1,+∞)上是单调

①由题意,得→OM·→ON=0.化简,得 x21+ y21=c2,

增函数, 1
所以 g(x)min=g(-1)=-e.

A→F1·A→F2=(-c-x1,-y1)·(c-x1,-

1 因为函数 h(x)的最小值为-e,

y1)=x21+y21-c2=0(定值).

所以 x=-1 是不等式 f(x)≤g(x)的解,

??? ②由题意

y1=kx1, xa212+y21=1,得到 k2(a4-2a2)

??x21+y21=c2

所以-1+a≤-1e,即 a≤1-1e. 故实数 a 的取值范围是???-∞,1-e1???. (3) 因为 h(x)=g(x),所以 g(x)≥f(x)

=1.

恒成立,即 xex≥x3-ax 对一切 x∈R 恒成立.

因为

k≥

3 3 ,所以

a4-2a2=k12∈(0,3],

令 p(x)=x2-ex,即 p′=2x-ex,p″ (x)=2-ex,

即 0<a4-2a2≤3,解得 2<a2≤3.

当 x>ln 2,p″(x)<0;当 x<ln 2,p″

所以 e2=1-a12∈???12,23???,
所以 e 的取值范围是??? 22, 36???.
19. (1) f′(x)=3x2-a.当 a>0 时,令

(x)>0, 所以 p′(x)max=2ln 2-2<0, 所以 p(x)=x2-ex 在 R 上单调递减. xex≥x3-ax 对一切 x∈R 恒成立等价于 ①当 x>0 时,问题转化为 a≥p(x)在 R

a

a

f′(x)=0,得 x1= 3,x2=- 3.

上恒成立; ②当 x=0 时,不等式恒成立,则 a∈R;

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况

③当 x<0 时,问题转化为 a≤p(x)在 R

如下:

上恒成立.

因为 p(x)=x2-ex是 R 上的单调减函数,

x

(-∞, - a3)



a 3

a (- 3,
a 3)

所以当 x>0 时,p(x)<p(0)=-1,所以

a 3

a≥-1;( 当 x<0

时a3,,p(x)>p(0)=-1,所以

a≤

-1. +∞)

(x)



0



0

综上所+述,a=-1.

x)

极大值 a

极小值

20. (1) 由 g???-12???-g(1)=f(0),得(-

所以当 x=- 3时,f(x)取极大值 2b+4c)-(b+c)=-3,

f(- a3)=23a a3=2a 9 3a,

故 b、c 所满足的关系式为 b-c-1=0. (2) 方法一:由 b=0,b-c-1=0,可

当 x=

a 3时,f(x)取极小值

f???

3a???=

-23a a3=-2a 9 3a.

(2) g′(x)=(x+1)ex.

当 x>-1 时,g′(x)>0;当 x<-1 时,

g′(x)<0,

得 c=-1. 方程 f(x)=g(x),即 ax-3=-x-2,可
转化为 ax3-3x2+1=0 在(0,+∞)上有唯 一解.
令 h(x)=ax3-3x2+1,则 h′(x)=3ax2 -6x=3x(ax-2).
当 a≤0 时,h′(x)<0,h(x)在(0,+

11

∞)上单调递减. 又 h(0)=1>0,h(1)=a-2<0,h(x)在
(0,+∞)上连续,由零点存性定理,知 h(x) 在(0,1)内存在唯一零点,即 h(x)在(0,+ ∞)上有唯一的零点;
当 a>0 时,令 h′(x)=0,得 x=0 或 x =2a,
所以 h(x)在???0,2a???上单调递减,在(2a,
+∞)上单调递增,
所以 h(x)min=h???2a???=1-a42. 若 h???2a???=0,即 a=2,则当 x∈(0,+
∞)时,h(x)≥0,当且仅当 x=2a时,h(x)
=0,即 h(x)在(0,+∞)上有唯一的零点;
若 h???2a???>0,则当 x∈(0,+∞)时,h(x)>0
恒成立,即 h(x)在(0,+∞)上不存在零点;
若 h???2a???<0,因为 h(0)=1>0,h???3a???=1>0, 所以 h(x)在???0,2a???和???2a,3a???内各有一个
零点,即函数 h(x)的零点不唯一. 综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,
0)∪{2}. 方法二:由方法一可知 a=3x-1-x-3. 令 x-1=t,则由题意可得 a=3t-t3 在
(0,+∞)上有唯一解. 令 h(t)=3t-t3(t>0),则由 h′(t)=3
-3t2=0,可得 t=1, 当 0<t<1 时,由 h′(t)>0,可知 h(t)
在(0,1)上是单调增函数; 当 t>1 时,由 h′(t)<0,可知 h(t)是
在(1,+∞)上是单调减函数, 故当 t=1 时,h(t)取得最大值 2; 当 0<t<1 时,h(t)>h(0)=0, 所以 f(x)=g(x)在(0,1)无解; 当 t>1 时,因为 h( 3)=0,所以当 t> 3
时,h(t)<0, 由零点存在性定理可知 h(t)在(1,+∞)
只有一个零点.

故当 a=2 或 a≤0 时,方程 f(x)=g(x) 在(0,+∞)有唯一解.
从而所求 a 的取值范围是{a|a=2 或 a≤0}.
(3) 由 b=1,b-c-1=0,可得 c=0. 由 A={x|f(x)>g(x)且 g(x)<0}得 ax-3>1x且 x<0,即 ax2-3x-1<0 且 x<0.
当 a>0 时,A=???3- 29a+4a,0???; 当 a=0 时,A=???-13,0???;
9 当 a<-4时,A=(-∞,0);
9 当 - 4 ≤ a<0 时 , A = ( - ∞ ,
3+ 29a+4a)∪(3- 29a+4a,0). 数学附加题
21. B. 由题意知 M???21???=???45???,则???22+ b-a1???

=???45???,

所以?????22+ b-a= 1=4, 5,解得?????ab==23,,

所以

M=???

1 3

2 -1

???.

由 |M| = ?? ?

1 3

2 -1

?? = - 7 ?



M-1=

??

1 7

2 7

??.

??

3 7

1 -7

??

C. 因为 ρ = 2cos θ - 2sin θ , 即 ρ 2= 2ρ cos θ - 2ρ sin θ , 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2- 2

x+ 2y=0,即???x- 22???2+???y+ 22???2=1,

12

所以圆心的直角坐标为??? 22,- 22???.

因为直线的普通方程为 x-y+4 2=0,

所以圆心 C 到直线 l 距离是

??? 22+ 22+4 2???=5,
2

故直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最

小值是 52-12=2 6.

22. (1) 如图,以 A 为原点建立如图所

示的空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),

B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4), C1(4,0,4).
设平面 A1BC1 的法向量为 n1=(x,y,z),

则?????nn11··AA→→11BC=1=00,,即?????34yx- =40z.=0, 取 z=3,则 x=0,y=4,

所以平面 A1BC1 的一个法向量为 n1=(0, 4,3).

同理可得平面 BB1C1 的一个法向量为 n2 =(3,4,0),

所以 cos〈n1,n2〉=|nn11·||nn22|=1265.

因为〈n1,n2〉∈[0,π ],

所以二面角

A1BC1B1

3 的正弦值为

41 25 .

X
(2) 假设存在. P
设 D(x,y,z)是线段 BC1 上一点,且B→D=

即 9-25λ =0,解得 λ =295.

因为295∈[0,1],所以在线段 BC1 上存

在点 D,使得 AD⊥A1B,此时BBCD1=λ =295. 23. (1) 从 7 个顶点中随机选取 3 个点
构成三角形, 共有 C37=35(种)取法. 其中 X= 3的三角形如△ABF,这类三
角形共有 6 个,

所以 P(X= 3)=365.

(2)由题意,X 的可能取值为 3,2, 6, 2 3,3 3.
其中 X= 3的三角形如△ABF,这类三 角形共有 6 个;
其中 X=2 的三角形有两类,如△PAD(3 个),△PAB(6 个),共有 9 个;

其中 X= 6的三角形如△PBD,这类三 角形共有 6 个;

其中 X=2 3的三角形如△CDF,这类三 角形共有 12 个;

其中 X=3 3的三角形如△BDF,这类三 角形共有 2 个,

6

9

因此 P(X= 3)=35,P(X=2)=35,P(X

6

12

= 6)=35,P(X=2 3)=35,P(X=3 3)

=325.

所以随机变量 X 的概率分布列为

3

2

6

23

33

6

9

6

12

2

35

35

35

35

35

λ B→C1,0≤λ ≤1,则(x,y-3,z)=λ (4, -3,4),
所以 x=4λ ,y=3-3λ ,z=4λ , 所以→AD=(4λ ,3-3λ ,4λ ).

因为 AD⊥A1B,所以A→D·A→1B=0,

13

14


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