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抛物线 标准方程第二课时


高二数学备课组

一、复习回顾: 1、抛物线的定义:
平面内与一个定点F 和一条定直线L(L不过 F)的距离相等的点的轨 迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点 ,直线L叫做抛物线的准 线.

L
N M

K

F

注意:定点F不在直线L上.( F ? l )

2、抛物线的标准方程:
标准方程

y 2 ? 2 px( p ? 0) y 2 ? ?2 px( p ? 0)
y y
F

x 2 ? 2 py( p ? 0)
y

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
y o x
F

图 形

.

.

o

x

F

o

x

F

o

x







线

p F ( ,0) 2 p x?? 2

F (?

p ,0) 2 p x? 2

p F (0, ) 2 p y?? 2

F (0,?

p ) 2 p y? 2

二、典例精析
例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标 ? ),求它的标准方程. 原点,并且经过点M(2, 2 2

解: 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原
点,并且经过点M(2, 2 2 ), ? 所以设方程为: y 2 ? 2 px ( p ? 0) 又因为点M在抛物线上: 所以:?2 (
2

2) ? 2 p ? 2 ? p ? 2
? 4x

因此所求抛物线标准方程为:2 y

练1:求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。
解:1)设抛物线的标准方程为 x2 =2py(P>0),把A(-3,2)代入, A 得p= 9
2)设抛物线的标准方程为 y2 = -2px(P>0),把A(-3,2)代入, 得p= 2



y

4

O

x

3

4 9 2= 2 =? x ∴抛物线的标准方程为x y或 y 3 2



练2 1、已知原点为顶点, 轴为对称轴的抛物 x 线的焦点在直线 2x-4y+4=0,求抛物 线方程。 x2 y2 2、若抛物线 y2=mx 与椭圆 + =1 9 5 有一个共同的焦点,求 m 的值。

例2

已知点M(3,a)在抛物线y2=4x上, 求点M到抛物线焦点的距离。
l 解法1:
Y

由题意,抛物线焦点为F(1,0)

M

将(3,a)代入y2=4x得
a ? ?2 3
O F X

∴点M( 3,?2

3



∴点M到焦点的距离 d=

(3 ? 1) ? (?2 3 )
2

2

=4

例2:
已知点M(3,a)在抛物线y2=4x上, 求点M到抛物线焦点的距离。
l
解法2: 由抛物线定义,点M到抛物线
Y
M

焦点F(1,0)的距离即点M 到准线x=-1的距离。

O

F

X

∴d=∣3-(-1)∣=4

练3:已知直线l:x=2p与抛物线 交于A、B两点,求证:OA⊥OB.
y

y 2 =2px(p>0)

证明:由题意得,A(2p,2p),B(2p,-2p)

A

y2=2px C(2p,0)

所以 K OA =1,K OB =-1
O

因此OA⊥OB

x

B
L:x=2p

三、课堂练习
(1)若点P是抛物线y2=4x上的点,且点P到焦点F 的距离为10,求点P的坐标 。 (9,6)或(9,-6)
(2)抛物线

y ? 4x 的弦AB垂直x轴,若|AB|= 4
2

3 ,

则焦点到AB的距离为
(3)已知直线x-y=2与抛物线 y
2

2



? 4x 交于A、B两
(4, 2)


点,那么线段AB的中点坐标是

(4)求焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程.

y ? 16 x或x ? ?8 y
2 2

y2 ? 4x (5)点A的坐标为(3,1),若P是抛物线
F是抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最小值为?

上的一动点,

4

思考题:
y 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线=2px(p>0)
交于A、B两点,求证:OA⊥OB.
证明:设l 的方程为y=k(x-2p) 或x=2p
y

2

A

y2=2px

代入y2=2px得,

? y A ? yB ? ?4 p 2 ? x A xB ? y A y B ? 0
所以OA⊥OB.

k 2 x 2 ? (4 pk2 ? 2 p) x ? 4 p 2k 2 ? 0 2 可知 xA ? xB ? 4 p 2 2 又 y A ? yB ? 4 p 2 xA xB ? 16 p 2

O

C(2p,0)

x

B
l

今日作业: 课本76页:A组7、8、9、10


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