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福建省福州市五校2015-2016学年高二下学期期中联考数学(文)试题 Word版含答案


2015—2016 学年第二学期高二年段数学(文科) 期中联考试卷(考试时间:2016 年 4 月 14 日)
完卷时间:120 分钟
参考公式: (1)独立性检验公式 (2)
P( K 2 ? k0 )

满分:150 分
? a?b?c?d )
0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

k2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) (其中 n

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

k0

n n ? ( x ? x )( y ? y ) xi yi ? nx y ? ? i i ? ? i ?1 ? = i ?1n ?b ? n 2 2 2 ? ( x ? x ) x ? nx 最小二乘法求线性回归方程系数公式 ? ? i i ? i ?1 i ?1 ? ? ? ? y ? bx ? ?a

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题只有一项是符合题目要 求的. ) 1.若集合 M ? x ?2 ? x ? 2 , N ? ?0, ?1, ?2? ,则 M ? N 等于( ) A. ?0? B. ??1? C. ?0, ?1, ?2? D ?0, ?1?

?

?

2.复数

i3 (i 为虚数单位)的共轭复数是 ( 2i ? 1
2 1 ? i 5 5
2



A. ?

B.

2 1 ? i 3 3

C. ? )

2 1 ? i 5 5

D.

2 1 ? i 3 3

3.下面各组函数中为相等函数的是( A f ( x) ? C. f ( x) ?

( x ? 1) , g ( x) ? x ? 1
x 2 ? 1, g ( x) ? x ? 1 ? x ? 1
2

B. f ( x) ? x ? 1, g (t ) ? t ? 1 D. f ( x) ? x, g ( x) ?

x2 x


4.已知集合 M ? { y | y ? x A. [?1, 2]

? 1, x ? R } , N ? {x | y ? 4 ? x 2 } ,则 M ? N ? (
C. [2, ??) D. ? )

B. [?1,??)

5.用反证法证明命题:三角形的内角至少有一个钝角。假设正确的是( A.假设至少有一个钝角 C.假设没有一个钝角 B.假设至少有两个钝角

D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角

1

6、 下图给出的是计算 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 的值的一个程序 2 4 6 20 框图,其中判断框内应填入的条件是( A.i>10? ) B.i<10?? C.i>20? ? D.i<20?

7. 已知命题 P: 若 x ? y 则 ?x ? ? y , 命题 q: 若 x ? y 则 x 2 ? y 2 。在命题:① p ? q ,② ? p ? ? q ③ p ? (?q) ,④ (?p) ? q 中,真命题是( ) A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

8.我校开展研究性学习活动,高二某同学获得一组实验数据如下表: x 1.99 3 4 5.1 6.12 ) D. y ? ( )

y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是( A. y ? 2 x ? 2 B. y ?

9.如果函数 f(x)=x2-ax-3 在区间(-∞,3]上单调递减,则实数 a 满足的条件使( A.a≤6 B. a≥6 C.a≥3 D.a≥-3

1 2 ( x ? 1) 2

C. y ? log 2 x

1 2

x

)

10.已知命题 p : x ? 1 ;命题 q : 不等式x 2 ? x ? 2 ? 0成立 ,则命题 p 的(

)是命题 q .

A.充分而不必要条件 B.充要条件 C.必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 11.下列有关命题的说法正确的是( )

2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”

2 B. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件 2 2 C.命题“ ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”

D.已知命题 p : ?x ? ?0,1? , a ? e x ,命题 q : ?x ? R ,使得 x 2 ? 4 x ? a ? 0 .若命题“ p ? q ” 是假命题,则实数 a 的取值范围是 ? ??, e ? ? ? 4, ?? ? . 12. 下列类比推理的结论不正确的是( )

①类比“实数的乘法运算满足结合律” ,得到猜想“向量的数量积运算满足结合律” ; ②类比“设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,则 S 4 , S8 ? S 4 , S12 ? S8 成等差数列” , 得到猜想“设等比数列 ?bn ? 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 ,

T8 T12 成等比数列” ; , T4 T8

③类比“平面内,同垂直于一直线的两直线相互平行” ,得到猜想 “空间中,同垂直于一直线的两直线相互平行” ; ④类比“设 AB 为圆的直径, P 为圆上任意一点,直线 PA, PB 的斜率存在,则 k PA ? k PB 为 常数” ,得到猜想“设 AB 为椭圆的长轴, P 为椭圆上任意一点,直线 PA, PB 的斜率存在, 则 k PA ? k PB 为常数”.
2

A.①④

B. ①③

C.②③

D. ②④

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在相应横线上). 13.设 P ? 2, Q ? 6 ? 2 ,那么 P, Q 的大小关系是________.

? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 14.设函数, 若 f ( x ) ? ? , f ( f (1)) ? ________. 2 ? ?x , x ? 0
15.已知函数 y ? f ? x ? 2? 定义域是 ? 0, 4? ,则 y ? 16.如下图中的实心点个数 1,5,12,22,?, 被称为五角形数,其中第 1 个五角形数记作 a1 ? 1 ,第 2 个五角形数记作 a2 ? 5 ,第 3 个五 角形数记作 a3 ? 12 , 第 4 个五角形数记作 a4 ? 22 , ??, 若按此规律继续下去, 则 an ? ___

f ? x ? 1? 的定义域是 x ?1

1 5 12 22 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤,并 填在答题卡对应的位置上) 17、 (本小题满分 10 分) ,复数 Z ? (m2 ? 3m ? 4) ? (m2 ?10m ? 9)i ( m ? R ) , (1) 当m ? 0时 ,求复数 Z 的模; (2)当实数 m 为何值时复数 Z 为纯虚数; (3)当实数 m 为何值时复数 Z 在复平面内对应的点在第二象限? 18.(本小题满分 12 分)

已知集合A ? ?x 3 ? x ? 10?, B ? ?x x2 ? 9x ? 14 ? 0?, C ? ?x 5 ? m ? x ? 2m? .
(Ⅰ)求

A ? B, ? CR A? ? B ;

(Ⅱ) 若x ? C是x ? ? A ? B ?的充分不必要条件,求实数的取值范围. 19.(本小题满分 12 分) 某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在(29.94,30.06) 的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中个抽出 500 件,量其内径尺寸,的结果如下表: 甲厂: 分组 频数 乙厂: 分组 [ 29.86, [29.90, [29.94, [29.98,
3

[29.86 , 29.90) 12

[29.90, 29.94) 63

[29.94, 29.98) 86

[29.98, 30.02) 182

[30.02, [30.06, 30.06) 30.10) 92 61

[30.10, 30.14] 4

[30.02, [30.06,

[30.10,

29.90) 频数 29

29.94) 71

29.98) 85

30.02) 159

30.06) 76

30.10) 62

30.14] 18

(I)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (II)由于以上统计数据填下面 2 ? 2 列联表, 并问是否有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件 的质量有差异”. 甲 厂 优质品 非优质品 合计 乙 厂 合计

20.某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情 况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.

y
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x x ? 1 (1)画出该函数的图像; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)设 0 ? -2 2 1 -2 -1

a ? 1 ,求 f ( x) 在 [0, a] 上的最大值.

O
-2 -1 -2

1

2

x
-2

22.(本小题满分 12 分) 已知 f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且 f(1)=1,若 m,n∈[-1,1],m-n≠0 时,有

f ( m) ? f ( n ) ? 0. m?n
1 2

(1)判断函数的单调性,需要说明理由: (2)解不等式: f ( x ? ) ? f (1 ? x ) ; (3)若不等式 f ( x) ? t ? 2at ? 1对?x ?[?1,1]与?t ?[1, 2]恒成立 ,求实数 a 的取值
2

4

范围.

5

2015—2016 学年第二学期高二年段期中考数学(文科) 联考试卷参考答案
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题只有一项是符合题目要 求的. )

C C B A C

A D B B A

D B
3n2 ? n 2
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在相应横线上. ) 13. P ? Q 14. 1

15. ? ?3,1?

16.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)

(1)当m ? 0时,Z ? ?4 ? 9i, ? Z = (-4)+9 = 97 ??????3 分 17. 解:
2

2 ? ?m ? ?4或m ? 1 ?m ? 3m ? 4 ? 0 (2)当 ? 2 即? 即m ? ?4时,复数Z 为纯虚数; ?m ? 10m ? 9 ? 0 ?m ? 9且m ? 1 ?

??????????????????7 分

? ??4 ? m ? 1 ?m ? 3m ? 4 ? 0 (3)当 ? 2 即? 即 ? 4 ? m ? 1时,复数Z 在复平面内 m ? 1 或 m ? 9 m ? 10 m ? 9 ? 0 ? ? ? 对应的点在第二象限.
2

??????????????????10 分

? B ? x | x 2 ? 9 x ? 14 ? 0 ? ? x | ( x ? 2)( x ? 7) ? 0? ? ? x | 2 ? x ? 7? 18. 解:(Ⅰ)

?

?

?A ?B ? | 3 ?x ? 7 ??????????????3 分 ?x ?
又 ? A= ? x 3? x? 1? 0?R C A x或 3 ?= x ? ?? CR A 7或 ? ? B?? x x?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

??????????????2 分

? x ?1 0? ? ? ? ? ?分 ?? 4

x ? 1? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 ? 6 ??

A ? B ? ?x | 3 ? x ? 7?
?

? x ? C是x ? ? A ? B?的充分不必要条件, ?C ? ? A ? B? ??????7 分
5 ① 当 C ? ? 时,满足 C ? ? A ? B ? ,此时 5 ? m ? 2m ,解得 m ? ;?????????9 分 ? 3
?5 ? m ? 2m, 5 ? ② 当 C ? ? 时,要使 C ? ? A ? B ? ,当且仅当 ?5 ? m ? 3, 解得 ? m ? 2 .?????11 分 ? 3 ?2m ? 7, ?

综上所述,实数 m 的取值范围为 ? ??, 2? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

6

19.解: (Ⅰ)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品,从而甲厂生产的零件的优质品率估计为

360 ? 72% ; 500
乙 厂 抽 查 的 产 品 中 有 320 件 优 质 品 , 从 而 乙 厂 生 产 的 零 件 的 优 质 品 率 估 计 为

320 ? 64% 500
(Ⅱ)

……6 分

……8 分

x2 ?

1000 ? (360 ?180 ? 320 ?140) 2 500 ? 500 ? 680 ? 320 ? 7.35 ? 6.635,

所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.……12 分 1 20.解 (1)由所给数据计算得 t = (1+2+3+4+5+6+7)=4, 7 1 y =7(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,?????????2 分

i=1

?=(ti-
7

7

t )2=9+4+1+0+1+4+9=28,

? (ti- t )(yi- y )=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5
i=1

+2×0.9+3×1.6=14,????????????????????????4 分

? ?ti- t ??yi- y ?
^ i=1 7

7

b=

? ?ti- t ?2
i=1 ^

^ ^ 14 =28=0.5,a= y -b t =4.3-0.5×4=2.3,????6 分

所求线性回归方程为y=0.5t+2.3. ?????????????8 分
^

(2)由(1)知, b=0.5>0, 故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加, 平均每年增加 0.5 千元.????????????????????????10 分
^

将 2015 年的年份代号 t=9 代入(1)中的线性回归方程,得y=0.5×9+2.3=6.8, 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元.
7

????????????????????????12 分

(1) f ( x ) ? ? 21. 解:

? x 2 ? x( x ? 1) ? 图象略(图像3分)??????? 6分 2 ? ? x ? x ( x ? 1)

1? ? ?1 ? (2)由图象得函数f ( x)的单调增区间为 ? ??, ? , ?1, ?? ?;减区间为 ? ,1? 2? ? ?2 ?
???????????????????????????8 分

1 (3)当0 ? a ? 时,f ( x)在 ? 0, a ? 上,f ( x) max ? f (a) ? a ? a 2 ??????10 分 2 1 1 1 当 ? a ?1时, f ( x在 ) ? 0? ,a 上, f ( f ( ? )?????????12 分 mx a) x ? 2 2 4
22. 解:(1) ?

? f (m) ? f (n) ? 0 ? f (m) ? f (n) ? 0 f (m) ? f (n) ????2 分 ? 0? ? 或? m?n ?m ? n ? 0 ?m ? n ? 0

①任意x1, x2 ? [?1,1], 且x1 ? x2,即x1 ? x2 ? 0时 f ( x 1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x 1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)为[ ?1,1]上的减函数。 ②任意x1, x2 ? [?1,1], 且x1 ? x2,即x1 ? x2 ? 0时 f ( x 1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x 1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)为[ ?1,1]上的减函数。

综上所述,f ( x)为[?1,1]上的减函数。

????????????4 分

1 (2) ? f ( x ? ) ? f (1 ? x) 2 1 1 ? ? 3 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? ? 2 ? x ? 2 ? ? 1 1 ? ? ?1 ? 1 ? x ? 1 ? ?0 ? x ? 2 ? ? x ? 4 2 ? ? 1 1 ?x ? ? 1? x ?x ? 2 4 ? ? 1? ? 1 ? 不等式的解集为 ? x | ? x ? ? 2? ? 4
?????????????????????????????8 分

(3) ? f ( x)为?-1,1? 上的减函数 ? f ( x) min ? f (1) ? 1 ? f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1对?x ? [?1,1]与?t ? [1, 2]恒成立 ? t 2 ? 2at ? 1 ? 1对?t ? [1, 2]恒成立??????????10分 ? t 2 ? 2at ? 0 ? 2at ? t 2 ? 2a ? t在?t ? [1, 2]恒成立 ? 2a ? 2即a ? 1???????????????12分

8

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9


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