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高中数学必修五人教版(教师用)第二章§2.5 等比数列的前n项和(二)Word版含答案


学习目标 1.熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和. 知识点一 等比数列前 n 项和公式的函数特征 思考 若数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -1,那么数列{an}是不是等比数列?若数列{an}的前 n 项和 Sn=2 n+1 n -1 呢? n 答案 当 Sn=2 -1 时, ? n=1, ?S1, an=? ?Sn-Sn-1,n≥2 ? ? ?1, n=1, =? n-1 ?2 ,n≥2, ? n∈N*是等比数列; 当 Sn=2 n+1 -1 时, ?3, n=1, ? =? n ? ?2 ,n≥2, ?S1, n=1, ? an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2 n∈N*,不是等比数列. 梳理 当公比 q≠1 时,设 A= a1 n ,等比数列的前 n 项和公式是 Sn=A(q -1). q-1 当公比 q=1 时,因为 a1≠0,所以 Sn=na1,Sn 是 n 的正比例函数. 知识点二 等比数列前 n 项和的性质 思考 若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列吗? 答案 设{an}的公比为 q,则 Sn=a1+a2+?+an, S2n-Sn=an+1+an+2+?+a2n =a1q +a2q +?+anq =q Sn, n n n n S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+?+a3n =an+1q +an+2q +?+a2nq =q (S2n-Sn), ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列,公比为 q . 梳理 等比数列{an}前 n 项和的三个常用性质 n n n n n (1)数列{an}为公比不为-1 的等比数列,Sn 为其前 n 项和,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍构成等 比数列. (2)若{an}是公比为 q 的等比数列,则 Sn+m=Sn+q Sm(n,m∈N ). (3)若{an}是公比为 q 的等比数列,S 偶,S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则:①在其 前 2n 项中, n * S偶 =q; S奇 ②在其前 2n+1 项中,S 奇-S 偶=a1-a2+a3-a4+? -a2n+a2n+1= a1+a2n+1q a1+a2n+2 = (q≠-1). 1-(-q) 1+q 知识点三 错位相减法 思考 在上一节,我们是如何求公比不为 1 的等比数列{an}的前 n 项和 Sn=a1+a2+?+an 的? 答案 在等式两端乘以公比,两式会出现大量的公共项,通过相减消去即可. 梳理 如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前 n 项和时,一般使用如 下方法: Sn=a1b1+a2b2+?+anbn, qSn=a1b1q+a2b2q+?+anbnq =a1b2+a2b3+?+anbn+1, ① ② ①-②得(1-q)Sn=a1b1+(a2-a1)b2+(a3-a2)b3+?+(an-an-1)bn-anbn+1 =a1b1+d(b2+b3+?+bn)-anbn+1 =a1b1+d ∴Sn= b2(1-qn-1) -anbn+1, 1-q a1b1-anbn+1 b2(1-qn-1) +d 2 . 1-q (1-q) 上述方法称为“错位相减法” . 类型一 等比数列前 n 项和公式的函数特征 应用 例 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=a -1(a 是不为零且不等于 1 的常数), 则数列{an}( A.一定是等差数列 B

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