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人教A版高中数学必修1课后习题及答案(全部三章)

高中数学必修 1 课后习题答案 第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
练习(第 5 页) 1.用符号“? ”或“?”填空:
(1)设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则:中国_______ A ,美国_______ A , 印度_______ A ,英国_______ A ;
(2)若 A ? {x | x2 ? x} ,则 ?1_______ A ;

(3)若 B ? {x | x2 ? x ? 6 ? 0},则 3 _______ B ;

(4)若 C ? {x ? N |1 ? x ? 10},则 8 _______ C , 9.1_______ C .

1.(1)中国? A ,美国? A ,印度? A ,英国? A ;
中国和印度是属于亚洲的国家,美国在北美洲,英国在欧洲.

(2) ?1? A

A ? { x | x2 ? x} ? { 0 ,.1}

(3) 3 ? B

B ? { x | x2 ? x? 6 ? 0 } ? {? 3., 2 }

(4) 8 ? C , 9.1? C

9.1? N .

2.试选择适当的方法表示下列集合:

(1)由方程 x2 ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合;

(2)由小于 8 的所有素数组成的集合; (3)一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2x ? 6 的图象的交点组成的集合;

(4)不等式 4x ?5 ? 3 的解集. 2.解:(1)因为方程 x2 ? 9 ? 0 的实数根为 x1 ? ?3, x2 ? 3 ,

所以由方程 x2 ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合为{?3,3} ;

(2)因为小于 8 的素数为 2,3,5, 7 ,

所以由小于 8 的所有素数组成的集合为{2,3,5, 7} ;

(3)由

? ? ?

y y

? ?

x?3 ?2x ?

6

,得

?x

? ?

y

? ?

1 4



即一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2x ? 6 的图象的交点为 (1, 4) ,

第 1 页 共 45 页

所以一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2x ? 6 的图象的交点组成的集合为{(1, 4)} ; (4)由 4x ?5 ? 3 ,得 x ? 2 ,
所以不等式 4x ?5 ? 3 的解集为{x | x ? 2} .
1.1.2 集合间的基本关系
练习(第 7 页) 1.写出集合{a,b, c} 的所有子集. 1.解:按子集元素个数来分类,不取任何元素,得 ? ;
取一个元素,得{a},{b},{c} ;

取两个元素,得{a,b},{a, c},{b, c};

取三个元素,得{a,b, c} ,

即集合{a,b, c} 的所有子集为 ?,{a},{b},{c},{a,b},{a, c},{b, c},{a,b, c} .

2.用适当的符号填空:

(1) a ______{a,b, c} ;

(2) 0 ______{x | x2 ? 0};

(3) ? ______{x ? R | x2 ?1 ? 0} ;

(4){0,1}______ N ;

(5){0}______{x | x2 ? x} ;

(6){2,1}______{x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} .

2.(1) a ?{a,b, c} a 是集合{a,b, c} 中的一个元素;

(2) 0 ?{x | x2 ? 0} {x |x2 ? 0 ?} { ;0 }

(3) ? ? {x ? R | x2 ?1 ? 0} 方程 x2 ?1 ? 0 无实数根,{x ? R | x2 ?1 ? 0} ? ? ;

(4){0,1} N (或{0,1} ? N ) { 0 , 1是} 自然数集合 N 的子集,也是真子集;

(5){0} {x | x2 ? x} (或{0} ? {x | x2 ? x} ) {x | x2 ? x}? { 0 ,;1}
(6){2,1} ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} 方程 x2 ? 3x ? 2 ? 0 两根为 x1 ? 1, x2 ? 2 .
3.判断下列两个集合之间的关系:
(1) A ? {1, 2, 4} , B ? {x | x是 8的约数};

(2) A ? {x | x ? 3k, k ? N}, B ? {x | x ? 6z, z ? N} ;

(3) A ? {x | x是 4 与10 的公倍数,x ? N?}, B ? {x | x ? 20m, m ? N?}.

第 2 页 共 45 页

3.解:(1)因为 B ? {x | x是 8的约数} ? {1, 2, 4,8},所以 A B ; (2)当 k ? 2z 时, 3k ? 6z ;当 k ? 2z ?1时, 3k ? 6z ?3,
即 B 是 A 的真子集, B A ; (3)因为 4 与10 的最小公倍数是 20 ,所以 A ? B .
1.1.3 集合的基本运算
练习(第 11 页) 1.设 A ? {3,5, 6,8}, B ? {4,5, 7,8},求 A B, A B .

1.解: A B ? {3,5, 6,8} {4,5, 7,8} ? {5,8},

A B ? {3,5,6,8} {4,5,7,8} ? {3, 4,5,6,7,8} .

2.设 A ? {x | x2 ? 4x ? 5 ? 0}, B ? {x | x2 ? 1} ,求 A B, A B .

2.解:方程 x2 ? 4x ? 5 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 5 , 方程 x2 ?1 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 1, 得 A ? {?1,5}, B ? {?1,1},

即 A B ? {?1}, A B ? {?1,1,5}.

3.已知 A ? {x | x是等腰三角形} , B ? {x | x是直角三角形} ,求 A B, A B .

3.解: A B ? {x | x是等腰直角三角形},

A B ? {x | x是等腰三角形或直角三角形}.

4.已知全集U ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7}, A ? {2, 4,5}, B ? {1,3,5, 7} ,

求 A (痧U B), ( U A) (?U B) .

4.解:显然 ?U B ? {2, 4, 6} , ?U A ? {1,3, 6, 7},

则 A (?U B) ? {2, 4} , (痧U A) ( U B) ? {6}.

1.1 集合

习题 1.1 (第 11 页) 1.用符号“? ”或“?”填空:

A组

第 3 页 共 45 页

(1) 3 2 _______ Q ; (2) 32 ______ N ; (3)? _______ Q ; 7

(4) 2 _______ R ; (5) 9 _______ Z ; (6) ( 5)2 _______ N .

1.(1) 3 2 ? Q 3 2 是有理数;

7

7

(2) 32 ? N 32 ? 9 是个自然数;

(3)? ?Q

? 是个无理数,不是有理数; (4) 2 ? R

2 是实数;

(5) 9 ? Z

9 ? 3 是个整数;

(6) ( 5)2 ? N ( 5 2) ? 5是个自然数.

2.已知 A ? {x | x ? 3k ?1, k ? Z} ,用 “? ”或“?” 符号填空:
(1) 5 _______ A ; (2) 7 _______ A ; (3) ?10 _______ A . 2.(1) 5? A ; (2) 7 ? A; (3) ?10? A .
当 k ? 2 时, 3k ?1 ? 5;当 k ? ?3时, 3k ?1 ? ?10;
3.用列举法表示下列给定的集合:
(1)大于1且小于 6 的整数;
(2) A ? {x | (x ?1)(x ? 2) ? 0};

(3) B ? {x ? Z | ?3 ? 2x ?1 ? 3} .

3.解:(1)大于1且小于 6 的整数为 2,3, 4,5 ,即{2,3, 4,5} 为所求;

(2)方程 (x ?1)(x ? 2) ? 0 的两个实根为 x1 ? ?2, x2 ? 1,即{?2,1} 为所求;
(3)由不等式 ?3 ? 2x ?1? 3,得 ?1 ? x ? 2,且 x ? Z ,即{0,1, 2} 为所求.
4.试选择适当的方法表示下列集合:
(1)二次函数 y ? x2 ? 4 的函数值组成的集合; (2)反比例函数 y ? 2 的自变量的值组成的集合;
x (3)不等式 3x ? 4 ? 2x 的解集. 4.解:(1)显然有 x2 ? 0 ,得 x2 ? 4 ? ?4 ,即 y ? ?4 ,

得二次函数 y ? x2 ? 4 的函数值组成的集合为{y | y ? ?4} ;

(2)显然有 x ? 0 ,得反比例函数 y ? 2 的自变量的值组成的集合为{x | x ? 0}; x

(3)由不等式 3x ? 4 ? 2x ,得 x ? 4 ,即不等式 3x ? 4 ? 2x 的解集为{x | x ? 4}.

5

5

5.选用适当的符号填空:

(1)已知集合 A ? {x | 2x ? 3 ? 3x}, B ? {x | x ? 2},则有:

?4 _______ B ; ?3 _______ A ; { 2 }_______ B ; B _______ A ;
第 4 页 共 45 页

(2)已知集合 A ? {x | x2 ?1 ? 0} ,则有: 1_______ A ; {? 1}_______ A ; ? _______ A ; {1?, 1_}______ A ;
(3){x | x是菱形} _______{x | x是平行四边形} ; {x |x是等腰三角形 }_______{x | x是等边三角形} .
5.(1) ?4? B ; ?3? A; { 2 } B ; B A ; 2x ?3 ? 3x ? x ? ?3 ,即 A ? {x | x ? ?3}, B ? {x | x ? 2};
(2)1? A ; {? 1} A ; ? A ; {1?, 1=}A ; A ? {x | x2 ?1 ? 0} ? {?1,1} ;
(3){x | x是菱形} {x | x是平行四边形} ;
菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形,但是平行四边形不一定是菱形;
{x | x是等边三角形} {x | x是等腰三角形} .
等边三角形一定是等腰三角形,但是等腰三角形不一定是等边三角形.
6.设集合 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | 3x ? 7 ? 8 ? 2x} ,求 A B, A B . 6.解: 3x ? 7 ? 8 ? 2x ,即 x ? 3 ,得 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | x ? 3} ,
则 A B ? {x | x ? 2} , A B ? {x | 3 ? x ? 4}. 7.设集合 A ? {x | x是小于 9的正整数} , B ? {1, 2,3},C ? {3, 4,5,6} ,求 A B ,
A C , A (B C) , A (B C) . 7.解: A ? {x | x是小于 9的正整数} ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8},
则 A B ? {1, 2,3}, A C ? {3, 4,5,6} , 而 B C ? {1, 2,3, 4,5, 6}, B C ? {3} , 则 A (B C) ? {1, 2,3, 4,5, 6}, A (B C) ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8}. 8.学校里开运动会,设 A ? {x | x是参加一百米跑的同学}, B ? {x | x是参加二百米跑的同学}, C ? {x | x是参加四百米跑的同学} ,
第 5 页 共 45 页

学校规定,每个参加上述的同学最多只能参加两项,请你用集合的语言说明这项规定,
并解释以下集合运算的含义:(1) A B ;(2) A C .
8.解:用集合的语言说明这项规定:每个参加上述的同学最多只能参加两项,
即为 ( A B) C ? ? .

(1) A B ? {x | x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学}; (2) A C ? {x | x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}.

9.设 S ? {x | x是平行四边形或梯形} , A ? {x | x是平行四边形} , B ? {x | x是菱形} , C ? { x | 是x 矩形 },求 B C , ?AB , ?S A .
9.解:同时满足菱形和矩形特征的是正方形,即 B C ? {x | x是正方形} ,
平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形,
即 ?AB ? {x | x是邻边不相等的平行四边形} , ?S A ? {x | x是梯形}. 10.已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7}, B ? {x | 2 ? x ?10},求 ?R ( A B) , ?R ( A B) , (?R A) B , A (?R B) . 10.解: A B ? {x | 2 ? x ? 10}, A B ? {x | 3 ? x ? 7},

?R A ? {x | x ? 3,或x ? 7} , ?RB ? {x | x ? 2,或x ? 10},

得 ?R ( A B) ? {x | x ? 2,或x ? 10},

?R ( A B) ? {x | x ? 3,或x ? 7} ,

(?R A) B ? {x | 2 ? x ? 3,或7 ? x ? 10} ,

A (?RB) ? {x | x ? 2,或3 ? x ? 7或x ? 10} .

B组

1.已知集合 A ? {1, 2},集合 B 满足 A B ? {1, 2} ,则集合 B 有

个.

1. 4 集合 B 满足 A B ? A ,则 B ? A ,即集合 B 是集合 A 的子集,得 4 个子集.

2.在平面直角坐标系中,集合 C ? {(x, y) | y ? x}表示直线 y ? x ,从这个角度看,

集合

D

?

? ?( ?

x,

y)

|

?2 ??x

x? ?4

y y

? ?

1? 5??

表示什么?集合

C,

D

之间有什么关系?

第 6 页 共 45 页

2.解:集合

D

?

? ?( ?

x,

y)

|

?2x ? ??x ? 4

y y

? ?

1? 5??

表示两条直线

2x

?

y

?

1,

x

?

4

y

?

5

的交点的集合,



D

?

? ?( ?

x,

y)

|

?2x ? ??x ? 4

y y

? ?

1? 5??

?

{(1,1)}

,点

D(1,1)

显然在直线

y

?

x

上,

得D C.

3.设集合 A ? {x | (x ? 3)(x ? a) ? 0, a ? R} , B ? {x | (x ? 4)(x ?1) ? 0} ,求 A B, A B .

3.解:显然有集合 B ? {x | (x ? 4)(x ?1) ? 0} ? {1, 4},

当 a ? 3时,集合 A ? {3} ,则 A B ? {1,3, 4}, A B ? ?;

当 a ?1时,集合 A ? {1,3} ,则 A B ? {1,3, 4}, A B ? {1};

当 a ? 4 时,集合 A ? {3, 4} ,则 A B ? {1,3, 4}, A B ? {4};

当 a ?1,且 a ? 3 ,且 a ? 4时,集合 A ? {3, a} ,

则 A B ? {1,3, 4, a}, A B ? ? .

4.已知全集U ? A B ? {x ? N | 0 ? x ? 10}, A (?U B) ? {1,3,5, 7} ,试求集合 B . 4.解:显然U ? {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10},由U ? A B ,

得 ?U B ? A ,即 A (痧U B) ? U B ,而 A (?U B) ? {1,3,5, 7} , 得 ?U B ? {1, 3, 5, 7} ,而 B ? 痧U ( U B) , 即 B ? {0, 2, 4,6,8.9,10} .

第一章 集合与函数概念
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
练习(第 19 页)
1.求下列函数的定义域:
(1) f (x) ? 1 ; (2) f (x) ? 1? x ? x ? 3 ?1. 4x ? 7
1.解:(1)要使原式有意义,则 4x ? 7 ? 0 ,即 x ? ? 7 , 4

第 7 页 共 45 页

得该函数的定义域为{x | x ? ? 7} ; 4

(2)要使原式有意义,则

?1? x ? 0 ??x ? 3 ? 0

,即

?3

?

x

?

1,

得该函数的定义域为{x | ?3 ? x ? 1} .

2.已知函数 f (x) ? 3x2 ? 2x ,

(1)求 f (2), f (?2), f (2) ? f (?2) 的值;

(2)求 f (a), f (?a), f (a) ? f (?a) 的值.

2.解:(1)由 f (x) ? 3x2 ? 2x ,得 f (2) ? 3? 22 ? 2? 2 ? 18 ,

同理得 f (?2) ? 3? (?2)2 ? 2? (?2) ? 8 ,

则 f (2) ? f (?2) ? 18 ? 8 ? 26 ,

即 f (2) ? 18, f (?2) ? 8, f (2) ? f (?2) ? 26;

(2)由 f (x) ? 3x2 ? 2x ,得 f (a) ? 3? a2 ? 2? a ? 3a2 ? 2a ,

同理得 f (?a) ? 3? (?a)2 ? 2? (?a) ? 3a2 ? 2a ,

则 f (a) ? f (?a) ? (3a2 ? 2a) ? (3a2 ? 2a) ? 6a2 ,

即 f (a) ? 3a2 ? 2a, f (?a) ? 3a2 ? 2a, f (a) ? f (?a) ? 6a2 .
3.判断下列各组中的函数是否相等,并说明理由:
(1)表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h ? 130t ? 5t2 和二次函数 y ? 130x ? 5x2 ;

(2) f (x) ? 1和 g(x) ? x0 . 3.解:(1)不相等,因为定义域不同,时间 t ? 0 ;
(2)不相等,因为定义域不同, g(x) ? x0 (x ? 0) .
1.2.2 函数的表示法
练习(第 23 页) 1.如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为 xcm ,
面积为 ycm2 ,把 y 表示为 x 的函数.

1.解:显然矩形的另一边长为 502 ? x2cm ,

第 8 页 共 45 页

y ? x 502 ? x2 ? x 2500 ? x2 ,且 0 ? x ? 50 ,

即 y ? x 2500 ? x2 (0 ? x ? 50) .

2.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事. (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学;(2)我骑着 车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.

离开家的距离

离开家的距离

离开家的距离

离开家的距离

O

时间 O

时间 O

时间 O

时间

(A)

(B)

(C)

(D)

2.解:图象(A)对应事件(2),在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化; 图象(B)对应事件(3),刚刚开始缓缓行进,后来为了赶时间开始加速; 图象(D)对应事件(1),返回家里的时刻,离开家的距离又为零; 图象(C)我出发后,以为要迟到,赶时间开始加速,后来心情轻松,缓缓行进.

3.画出函数 y ?| x ? 2 | 的图象.

3.解:

y

?|

x

?

2

|?

?x ? 2, x ???x ? 2,

?2 x?

2

,图象如下所示.

4.设

A ? {x | x是锐角}, B ? {0,1},从 A 到 B 的映射是“求正弦”,

与A

中元素 60 相对应

素是什么?

的 B 中的元素是什么?与 B 中的元素 2 相对应的 A 中元 2

4.解:因为 sin 60 ? 3 ,所以与 A 中元素 60 相对应的 B 中的元素是 3 ;

2

2

因为 sin 45 ? 2 ,所以与 B 中的元素 2 相对应的 A 中元素是 45 .

2

2

第 9 页 共 45 页

1.2 函数及其表示

1.求下列函数的定义域:
(1) f (x) ? 3x ; x?4

习题 1.2(第 23 页)
(2) f (x) ? x2 ;

(3)

f

(x)

?

x2

6 ? 3x

?

2



(4) f (x) ? 4 ? x . x ?1

1.解:(1)要使原式有意义,则 x ? 4 ? 0,即 x ? 4 ,

得该函数的定义域为{x | x ? 4};

(2) x ? R , f (x) ? x2 都有意义, 即该函数的定义域为 R ;
(3)要使原式有意义,则 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,即 x ? 1且 x ? 2 ,

得该函数的定义域为{x | x ? 1且x ? 2} ;

(4)要使原式有意义,则

?4 ??x

?x?0 ?1? 0

,即

x

?

4



x

?

1



得该函数的定义域为{x | x ? 4且x ? 1} .

2.下列哪一组中的函数 f (x) 与 g(x) 相等?

(1) f (x) ? x ?1, g(x) ? x2 ?1; x

(2) f (x) ? x2 , g(x) ? ( x )4 ;

(3) f (x) ? x2, g(x) ? 3 x6 .

2.解:(1) f (x) ? x ?1的定义域为 R ,而 g(x) ? x2 ?1 的定义域为{x | x ? 0}, x

即两函数的定义域不同,得函数 f (x) 与 g(x) 不相等;

(2) f (x) ? x2 的定义域为 R ,而 g(x) ? ( x)4 的定义域为{x | x ? 0} , 即两函数的定义域不同,得函数 f (x) 与 g(x) 不相等;

(3)对于任何实数,都有 3 x6 ? x2 ,即这两函数的定义域相同,切对应法则相同, 得函数 f (x) 与 g(x) 相等.
3.画出下列函数的图象,并说出函数的定义域和值域.

第 10 页 共 45 页

(1) y ? 3x ; (2) y ? 8 ; (3) y ? ?4x ? 5 ; (4) y ? x2 ? 6x ? 7 . x
3.解:(1)
定义域是 (??, ??) ,值域是 (??, ??) ;
(2)
定义域是 (??, 0) (0, ??) ,值域是 (??, 0) (0, ??) ;
(3)
定义域是 (??, ??) ,值域是 (??, ??) ;
第 11 页 共 45 页

(4)
定义域是 (??, ??) ,值域是[?2, ??) . 4.已知函数 f (x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ,求 f (? 2) , f (?a) , f (a ? 3) , f (a) ? f (3) . 4.解:因为 f (x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ,所以 f (? 2) ? 3? (? 2)2 ? 5? (? 2) ? 2 ? 8 ? 5 2 ,
即 f (? 2) ? 8 ? 5 2 ; 同理, f (?a) ? 3? (?a)2 ? 5? (?a) ? 2 ? 3a2 ? 5a ? 2 , 即 f (?a) ? 3a2 ? 5a ? 2 ; f (a ? 3) ? 3? (a ? 3)2 ? 5? (a ? 3) ? 2 ? 3a2 ?13a ?14 , 即 f (a ? 3) ? 3a2 ?13a ?14 ; f (a) ? f (3) ? 3a2 ? 5a ? 2 ? f (3) ? 3a2 ? 5a ?16 , 即 f (a) ? f (3) ? 3a2 ? 5a ?16 . 5.已知函数 f (x) ? x ? 2 ,
x?6 (1)点 (3,14) 在 f (x) 的图象上吗? (2)当 x ? 4 时,求 f (x) 的值; (3)当 f (x) ? 2 时,求 x 的值. 5.解:(1)当 x ? 3 时, f (3) ? 3 ? 2 ? ? 5 ? 14 ,
3?6 3 即点 (3,14) 不在 f (x) 的图象上; (2)当 x ? 4 时, f (4) ? 4 ? 2 ? ?3 ,
4?6
第 12 页 共 45 页

即当 x ? 4 时,求 f (x) 的值为 ?3 ;
(3) f (x) ? x ? 2 ? 2 ,得 x ? 2 ? 2(x ? 6) , x?6
即 x ?14 . 6.若 f (x) ? x2 ? bx ? c ,且 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ,求 f (?1) 的值.

6.解:由 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ,

得1,3 是方程 x2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根,

即1? 3 ? ?b,1?3 ? c ,得 b ? ?4, c ? 3,

即 f (x) ? x2 ? 4x ? 3 ,得 f (?1) ? (?1)2 ? 4? (?1) ? 3 ? 8 ,

即 f (?1) 的值为 8 .

7.画出下列函数的图象:

(1)

F

(x)

?

?0, x ? 0 ??1, x ? 0



(2) G(n) ? 3n ?1, n ?{1, 2,3}.

7.图象如下:

8.如图,矩形的面积为10 ,如果矩形的长为 x ,宽为 y ,对角线为 d ,
第 13 页 共 45 页

周长为 l ,那么你能获得关于这些量的哪些函数?

8.解:由矩形的面积为10 ,即 xy ? 10 ,得 y ? 10 (x ? 0) , x ? 10 ( y ? 0) ,

x

y

由对角线为 d ,即 d ?

x2 ? y2 ,得 d ?

x2 ? 100 (x ? 0) , x2

由周长为 l ,即 l ? 2x ? 2y ,得 l ? 2x ? 20 (x ? 0) , x

另外 l ? 2(x ? y) ,而 xy ? 10, d 2 ? x2 ? y2 ,

得 l ? 2 (x ? y)2 ? 2 x2 ? y2 ? 2xy ? 2 d 2 ? 20 (d ? 0) ,

即 l ? 2 d 2 ? 20 (d ? 0) .

9.一个圆柱形容器的底部直径是 dcm ,高是 hcm ,现在以 vcm3 / s 的速度向容器内注入某种溶液.求溶

液内溶液的高度 xcm 关于注入溶液的时间 ts 的函数解析式,并写出函数的定义域和值域.

9.解:依题意,有

?

(

d 2

)2

x

?

vt

,即

x

?

4v ?d2

t



显然 0 ? x ? h ,即 0 ? 4v t ? h ,得 0 ? t ? h? d 2 ,

?d2

4v

得函数的定义域为[0, h? d 2 ] 和值域为[0, h] . 4v

10.设集合 A ? {a,b, c}, B ? {0,1},试问:从 A 到 B 的映射共有几个?

并将它们分别表示出来.
10.解:从 A 到 B 的映射共有 8 个.

? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0

分别是

? ?

f

(b)

?

0



? ?

f

(b)

?

0



? ?

f

(b)

?

1



? ?

f

(b)

?

0



?? f (c) ? 0 ?? f (c) ? 1 ?? f (c) ? 0 ?? f (c) ? 1

? f (a) ?1 ? f (a) ?1 ? f (a) ?1 ? f (a) ?1

? ?

f

(b)

?

0



? ?

f

(b)

?

0



? ?

f

(b)

?

1



? ?

f

(b)

?

0



?? f (c) ? 0 ?? f (c) ? 1 ?? f (c) ? 0 ?? f (c) ? 1

第 14 页 共 45 页

B组
1.函数 r ? f ( p) 的图象如图所示. (1)函数 r ? f ( p) 的定义域是什么? (2)函数 r ? f ( p) 的值域是什么? (3) r 取何值时,只有唯一的 p 值与之对应? 1.解:(1)函数 r ? f ( p) 的定义域是[?5, 0] [2, 6) ;
(2)函数 r ? f ( p) 的值域是[0, ??) ; (3)当 r ? 5 ,或 0 ? r ? 2 时,只有唯一的 p 值与之对应. 2.画出定义域为{x | ?3 ? x ? 8,且x ? 5},值域为{y | ?1 ? y ? 2, y ? 0}的一个函数的图象. (1)如果平面直角坐标系中点 P(x, y) 的坐标满足 ?3 ? x ? 8, ?1 ? y ? 2 ,那么其中哪些点不能在图象
上? (2)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别吗?
2.解:图象如下,(1)点 (x, 0) 和点 (5, y) 不能在图象上;(2)省略.
3.函数 f (x) ? [x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如,[?3.5] ? ?4 ,[2.1] ? 2 . 当 x ? (?2.5,3] 时,写出函数 f (x) 的解析式,并作出函数的图象.
第 15 页 共 45 页

??3, ? 2.5 ? x ? ?2 ???2, ? 2 ? x ? ?1 ??1, ?1 ? x ? 0 3.解: f (x) ? [x] ? ??0, 0 ? x ? 1 ??1, 1 ? x ? 2 ?2, 2 ? x ? 3 ??3, x ? 3
图象如下
4.如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2km ,从点 P 沿海岸正东12km 处有一个城镇.
(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3km / h ,步行的速度是 5km / h ,t (单位: h )表示他从小岛
第 16 页 共 45 页

到城镇的时间, x (单位: km )表示此人将船停在海岸处距 P 点的距离.请将 t 表示为 x 的函数. (2)如果将船停在距点 P 4km 处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到1h )?

4.解:(1)驾驶小船的路程为 x2 ? 22 ,步行的路程为12 ? x ,

得 t ? x2 ? 22 ? 12 ? x , (0 ? x ?12) ,

3

5

即 t ? x2 ? 4 ? 12 ? x , (0 ? x ?12) .

3

5

(2)当 x ? 4 时, t ? 42 ? 4 ? 12 ? 4 ? 2 5 ? 8 ? 3 (h) .

3

5

35

第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
练习(第 32 页)
1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.

1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率 达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人 越多,生产效率就越高.
2.整个上午 (8 : 00 12 : 00) 天气越来越暖,中午时分 (12 : 00 13 : 00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许 多.暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山 (18 : 00) 才又开始转凉.画出这一天 8: 00 20 : 00 期间气温
作为时间函数的一个可能的图象,并说出所画函数的单调区间. 2.解:图象如下
第 17 页 共 45 页

[ 8 , 1 2是]递增区间,[12,13] 是递减区间,[13,18] 是递增区间,[18, 20]是递减区间.
3.根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.

3.解:该函数在[?1, 0]上是减函数,在[0, 2] 上是增函数,在[2, 4] 上是减函数,

在[4,5] 上是增函数.

4.证明函数 f (x) ? ?2x ?1在 R 上是减函数.

4.证明:设 x1, x2 ? R ,且 x1 ? x2 , 因为 f (x1) ? f (x2 ) ? ?2(x1 ? x2 ) ? 2(x2 ? x1) ? 0 , 即 f (x1) ? f (x2 ) , 所以函数 f (x) ? ?2x ?1在 R 上是减函数.

5.设 f (x) 是定义在区间[?6,11]上的函数.如果 f (x) 在区间[?6, ?2] 上递减,在区间[?2,11]上递增,画

出 f (x) 的一个大致的图象,从图象上可以发现 f (?2) 是函数 f (x) 的一个

.

第 18 页 共 45 页

5.最小值.
1.3.2 单调性与最大(小)值
练习(第 36 页)
1.判断下列函数的奇偶性:
(1) f (x) ? 2x4 ? 3x2 ; (2) f (x) ? x3 ? 2x

(3) f (x) ? x2 ?1 ; x

(4) f (x) ? x2 ?1 .

1.解:(1)对于函数 f (x) ? 2x4 ? 3x2 ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内

每一个 x 都有 f (?x) ? 2(?x)4 ? 3(?x)2 ? 2x4 ? 3x2 ? f (x) ,

所以函数 f (x) ? 2x4 ? 3x2 为偶函数;

(2)对于函数 f (x) ? x3 ? 2x ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内

每一个 x 都有 f (?x) ? (?x)3 ? 2(?x) ? ?(x3 ? 2x) ? ? f (x) ,

所以函数 f (x) ? x3 ? 2x 为奇函数;

(3)对于函数 f (x) ? x2 ?1 ,其定义域为 (??, 0) (0, ??) ,因为对定义域内 x

每一个 x 都有 f (?x) ? (?x)2 ?1 ? ? x2 ?1 ? ? f (x) ,

?x

x

所以函数 f (x) ? x2 ?1 为奇函数; x
(4)对于函数 f (x) ? x2 ?1 ,其定义域为 (??, ??) ,因为对定义域内

每一个 x 都有 f (?x) ? (?x)2 ?1 ? x2 ?1 ? f (x) ,

所以函数 f (x) ? x2 ?1 为偶函数.

2.已知 f (x) 是偶函数, g(x) 是奇函数,试将下图补充完整.

第 19 页 共 45 页

2.解: f (x) 是偶函数,其图象是关于 y 轴对称的; g(x) 是奇函数,其图象是关于原点对称的.

习题 1.3 A组

1.画出下列函数的图象,并根据图象说出函数 y ? f (x) 的单调区间,以及在各单调区间

上函数 y ? f (x) 是增函数还是减函数.

(1) y ? x2 ? 5x ? 6 ;
1.解:(1)

(2) y ? 9 ? x2 .

函数在 (2)

(??, 5) 上递减;函数在[5 , ??) 上递增;

2

2

第 20 页 共 45 页

函数在 (??, 0) 上递增;函数在[0, ??) 上递减.
2.证明:
(1)函数 f (x) ? x2 ?1 在 (??, 0) 上是减函数; (2)函数 f (x) ? 1? 1 在 (??, 0) 上是增函数.
x 2.证明:(1)设 x1 ? x2 ? 0 ,而 f (x1) ? f (x2 ) ? x12 ? x22 ? (x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ,

由 x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,得 f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ,

即 f (x1) ? f (x2 ) ,所以函数 f (x) ? x2 ?1 在 (??, 0) 上是减函数;

(2)设

x1

?

x2

?

0 ,而

f

(x1) ?

f

(x2 )

?

1 x2

?

1 x1

?

x1 ? x2 x1x2



由 x1x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,得 f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ,



f (x1) ?

f (x2 ) ,所以函数

f (x) ? 1? 1 在 (??, 0) 上是增函数. x

3.探究一次函数 y ? mx ? b(x ? R) 的单调性,并证明你的结论.

3.解:当 m ? 0时,一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是增函数;

当 m ? 0 时,一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是减函数,

令 f (x) ? mx ? b ,设 x1 ? x2 , 而 f (x1) ? f (x2 ) ? m(x1 ? x2 ) , 当 m ? 0 时, m(x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f (x1) ? f (x2 ) , 得一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是增函数;

当 m ? 0 时, m(x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f (x1) ? f (x2 ) , 得一次函数 y ? mx ? b 在 (??, ??) 上是减函数.

第 21 页 共 45 页

4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象(示意图).
4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为

5.某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租金 x 元间的关系为

y ? ? x2 ?162x ? 21000 ,那么,每辆车的月租金多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多 50
少?

5.解:对于函数 y ? ? x2 ?162x ? 21000 , 50



x

?

?

162 2?(? 1

)

?

4050 时,

ymax

?

307050 (元),

50

即每辆车的月租金为 4050 元时,租赁公司最大月收益为 307050 元.

6.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f (x) ? x(1? x) .画出函数 f (x)

的图象,并求出函数的解析式.

6.解:当 x ? 0 时, ?x ? 0 ,而当 x ? 0 时, f (x) ? x(1? x) ,

即 f (?x) ? ?x(1? x) ,而由已知函数是奇函数,得 f (?x) ? ? f (x) ,

得 ? f (x) ? ?x(1? x) ,即 f (x) ? x(1? x) ,

所以函数的解析式为

f

(x)

?

?x(1?

? ?

x(1?

x), x x), x

? ?

0
.
0

B组

1.已知函数 f (x) ? x2 ? 2x , g(x) ? x2 ? 2x (x ?[2, 4]) .

(1)求 f (x) , g(x) 的单调区间; (2)求 f (x) , g(x) 的最小值.

1.解:(1)二次函数 f (x) ? x2 ? 2x 的对称轴为 x ?1,

则函数 f (x) 的单调区间为 (??,1),[1, ??) ,

且函数 f (x) 在 (??,1) 上为减函数,在[1, ??) 上为增函数,

第 22 页 共 45 页

函数 g(x) 的单调区间为[2, 4] ,
且函数 g(x) 在[2, 4] 上为增函数;
(2)当 x ?1 时, f (x)min ? ?1,
因为函数 g(x) 在[2, 4] 上为增函数,
所以 g(x)min ? g(2) ? 22 ? 2 ? 2 ? 0 . 2.如图所示,动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是
30m ,那么宽 x (单位: m )为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大?每间熊猫居室的最大面积
是多少?

2.解:由矩形的宽为 x m,得矩形的长为 30 ? 3x m ,设矩形的面积为 S , 2

则 S ? x 30 ? 3x ? ? 3(x2 ?10x) ,

2

2

当 x ? 5 时, Smax ? 37.5 m2 , 即宽 x ? 5 m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大, 且每间熊猫居室的最大面积是 37.5 m2 .

3.已知函数 f (x) 是偶函数,而且在 (0, ??) 上是减函数,判断 f (x) 在 (??, 0) 上是增函数还是减函数,并
证明你的判断.
3.判断 f (x) 在 (??, 0) 上是增函数,证明如下:

设 x1 ? x2 ? 0 ,则 ?x1 ? ?x2 ? 0 , 因为函数 f (x) 在 (0, ??) 上是减函数,得 f (?x1) ? f (?x2 ) , 又因为函数 f (x) 是偶函数,得 f (x1) ? f (x2 ) , 所以 f (x) 在 (??, 0) 上是增函数.

复习参考题
第 23 页 共 45 页

1.用列举法表示下列集合:
(1) A ? {x | x2 ? 9};

A组

(2) B ? {x ? N |1 ? x ? 2};

(3) C ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0}.

1.解:(1)方程 x2 ? 9 的解为 x1 ? ?3, x2 ? 3 ,即集合 A ? {?3,3}; (2)1? x ? 2 ,且 x ? N ,则 x ? 1, 2 ,即集合 B ? {1, 2};

(3)方程 x2 ? 3x ? 2 ? 0 的解为 x1 ? 1, x2 ? 2 ,即集合 C ? {1, 2} . 2.设 P 表示平面内的动点,属于下列集合的点组成什么图形? (1){P | PA ? PB} (A, B是两个定点) ;

(2){P | PO ? 3cm} (O是定点) . 2.解:(1)由 PA ? PB ,得点 P 到线段 AB 的两个端点的距离相等,
即{P | PA ? PB}表示的点组成线段 AB 的垂直平分线;

(2){P | PO ? 3cm}表示的点组成以定点 O 为圆心,半径为 3cm 的圆. 3.设平面内有 ?ABC ,且 P 表示这个平面内的动点,指出属于集合
{P | PA ? PB} {P | PA ? PC}的点是什么.

3.解:集合{P | PA ? PB}表示的点组成线段 AB 的垂直平分线,

集合{P | PA ? PC}表示的点组成线段 AC 的垂直平分线,

得{P | PA ? PB} {P | PA ? PC}的点是线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 的 垂直平分线的交点,即 ?ABC 的外心. 4.已知集合 A ? {x | x2 ? 1} , B ? {x | ax ? 1} .若 B ? A ,求实数 a 的值.

4.解:显然集合 A ? {?1,1},对于集合 B ? {x | ax ? 1} ,

当 a ? 0 时,集合 B ? ? ,满足 B ? A ,即 a ? 0 ;

当 a ? 0 时,集合 B ? {1} ,而 B ? A ,则 1 ? ?1 ,或 1 ? 1,

a

a

a

得 a ? ?1,或 a ?1,

综上得:实数 a 的值为 ?1, 0 ,或1.

第 24 页 共 45 页

5.已知集合 A ? {(x, y) | 2x ? y ? 0} , B ? {(x, y) | 3x ? y ? 0} , C ? {(x, y) | 2x ? y ? 3} ,求 A B ,

A C , (A B) (B C) .

5.解:集合 A

B

?

? ?( ?

x,

y)

|

?2x ??3x

? ?

y y

? ?

0?

0

? ?

?

{(0,

0)}

,即

A

B ? {(0, 0)};

集合 A

C

?

? ?(x, ?

y)

|

?2x ??2x

? ?

y y

? ?

0? 3??

?

?

,即

A

C ??;

集合 B

C

?

? ?(x, ?

y)

|

?3x ??2x

? ?

y y

? ?

0? 3??

?

{( 3 5

,

?

9 5

)}



则 (A B) (B C) ? {(0, 0), (3 , ? 9)}. 55
6.求下列函数的定义域:

(1) y ? x ? 2 ? x ? 5 ;

(2) y ? x ? 4 . | x | ?5

6.解:(1)要使原式有意义,则

? ? ?

x x

? ?

2 5

? ?

0 0

,即

x

?

2



得函数的定义域为[2, ??) ;

(2)要使原式有意义,则

?x ? ??| x |

4?0 ?5 ? 0

,即

x

?

4

,且

x

?

5



得函数的定义域为[4,5) (5, ??) .

7.已知函数 f (x) ? 1? x ,求: 1? x
(1) f (a) ?1(a ? ?1) ; (2) f (a ?1)(a ? ?2) .

7.解:(1)因为 f (x) ? 1? x , 1? x

所以 f (a) ? 1? a ,得 f (a) ?1 ? 1? a ?1 ? 2 ,

1? a

1? a 1? a

即 f (a) ?1 ? 2 ; 1? a

(2)因为 f (x) ? 1? x , 1? x

所以 f (a ?1) ? 1? (a ?1) ? ? a , 1? a ?1 a ? 2

第 25 页 共 45 页

即 f (a ?1) ? ? a . a?2

8.设

f

(x)

?

1? 1?

x2 x2

,求证:

(1) f (?x) ? f (x) ; (2) f (1) ? ? f (x) . x

8.证明:(1)因为

f

(x)

?

1? 1?

x2 x2



所以

f

(?

x)

?

1 1

? ?

(? (?

x)2 x)2

? 1? x2 1? x2

?

f (x) ,

即 f (?x) ? f (x) ;

(2)因为

f

(x)

?

1? 1?

x2 x2



所以

f

(1) x

1? (1)2 ?x
1? (1)2

1? x2 ? x2 ?1

?

?f

(x) ,

x

即 f (1) ? ? f (x) . x

9.已知函数 f (x) ? 4x2 ? kx ? 8 在[5, 20]上具有单调性,求实数 k 的取值范围.

9.解:该二次函数的对称轴为 x ? k , 8
函数 f (x) ? 4x2 ? kx ? 8 在[5, 20]上具有单调性,

则 k ? 20 ,或 k ? 5 ,得 k ?160 ,或 k ? 40 ,

8

8

即实数 k 的取值范围为 k ?160 ,或 k ? 40 .

10.已知函数 y ? x?2 ,

(1)它是奇函数还是偶函数? (2)它的图象具有怎样的对称性?

(3)它在 (0, ??) 上是增函数还是减函数?

(4)它在 (??, 0) 上是增函数还是减函数?

10.解:(1)令 f (x) ? x?2 ,而 f (?x) ? (?x)?2 ? x?2 ? f (x) ,

即函数 y ? x?2 是偶函数;

第 26 页 共 45 页

(2)函数 y ? x?2 的图象关于 y 轴对称; (3)函数 y ? x?2 在 (0, ??) 上是减函数; (4)函数 y ? x?2 在 (??, 0) 上是增函数.

B组
1.学校举办运动会时,高一(1)班共有 28 名同学参加比赛,有15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径比赛, 有14 人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人,
没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?
1.解:设同时参加田径和球类比赛的有 x 人, 则15?8?14 ?3?3? x ? 28 ,得 x ? 3 , 只参加游泳一项比赛的有15 ? 3? 3 ? 9(人), 即同时参加田径和球类比赛的有 3 人,只参加游泳一项比赛的有 9 人.
2.已知非空集合 A ? {x ? R | x2 ? a},试求实数 a 的取值范围.

2.解:因为集合 A ? ? ,且 x2 ? 0 ,所以 a ? 0 .

3.设全集U ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}, ?U ( A B) ? {1,3} , A (?U B) ? {2, 4} ,求集合 B . 3.解:由 ?U ( A B) ? {1,3} ,得 A B ? {2, 4,5, 6, 7,8,9},
集合 A B 里除去 A (?U B) ,得集合 B , 所以集合 B ? {5, 6, 7,8,9} .

4.已知函数

f

(x)

?

?x(x ??x(x

? 4), x ? 4), x

? ?

0 0

.求

f

(1) ,

f

(?3)



f

(a ?1) 的值.

4.解:当 x ? 0 时, f (x) ? x(x ? 4) ,得 f (1) ? 1? (1? 4) ? 5 ;

当 x ? 0 时, f (x) ? x(x ? 4) ,得 f (?3) ? ?3? (?3 ? 4) ? 21;

f

(a

?

1)

?

?(a ??(a

?1)(a ?1)(a

? ?

5), 3),

a a

? ?

?1 ?1



5.证明:

(1)若 f (x) ? ax ? b ,则 f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) ;

2

2

(2)若 g(x) ? x2 ? ax ? b ,则 g( x1 ? x2 ) ? g(x1) ? g(x2 ) .

2

2

5.证明:(1)因为

f

(x)

?

ax

? b ,得

f

( x1

? 2

x2

)

?

a

x1

? 2

x2

?b

?

a 2

( x1

?

x2 ) ? b ,

第 27 页 共 45 页

f

( x1 )

? 2

f

(x2 )

?

ax1

?b

? ax2 2

?

b

?

a 2

( x1

?

x2 )

?

b



所以 f ( x1 ? x2 ) ? f (x1) ? f (x2 ) ;

2

2

(2)因为 g(x) ? x2 ? ax ? b ,



g(

x1

? 2

x2

)

?

1 4

( x12

?

x22

?

2x1x2 )

?

a(

x1

? 2

x2

)

?

b



g ( x1 )

? 2

g(x2 )

?

1 2

[(

x12

?

ax1

?

b)

?

( x2 2

?

ax2

?

b)]

?

1 2

( x12

?

x22

)

?

a(

x1

? 2

x2

)

?

b



因为

1 4

( x12

?

x22

?

2x1x2 )

?

1 2

( x12

?

x22 )

?

?

1 4

( x1

?

x2 )2

?

0





1 4

( x12

?

x22

?

2x1x2 )

?

1 2

( x12

?

x22 )



所以 g( x1 ? x2 ) ? g(x1) ? g(x2 ) .

2

2

6.(1)已知奇函数 f (x) 在[a,b] 上是减函数,试问:它在[?b, ?a] 上是增函数还是减函数?

(2)已知偶函数 g(x) 在[a,b] 上是增函数,试问:它在[?b, ?a] 上是增函数还是减函数?

6.解:(1)函数 f (x) 在[?b, ?a] 上也是减函数,证明如下:

设 ?b ? x1 ? x2 ? ?a ,则 a ? ?x2 ? ?x1 ? b , 因为函数 f (x) 在[a,b] 上是减函数,则 f (?x2 ) ? f (?x1) , 又因为函数 f (x) 是奇函数,则 ? f (x2 ) ? ? f (x1) ,即 f (x1) ? f (x2 ) , 所以函数 f (x) 在[?b, ?a] 上也是减函数;

(2)函数 g(x) 在[?b, ?a] 上是减函数,证明如下:

设 ?b ? x1 ? x2 ? ?a ,则 a ? ?x2 ? ?x1 ? b ,
因为函数 g(x) 在[a,b] 上是增函数,则 g(?x2 ) ? g(?x1) ,
又因为函数 g(x) 是偶函数,则 g(x2 ) ? g(x1) ,即 g(x1) ? g(x2 ) ,
所以函数 g(x) 在[?b, ?a] 上是减函数. 7.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 2000 元的部分
不必纳税,超过 2000 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算: 某人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,那么他当月的工资、薪金所得是多少?

第 28 页 共 45 页

7.解:设某人的全月工资、薪金所得为 x 元,应纳此项税款为 y 元,则

全月应纳税所得额

税率 (0 0)

不超过 500 元的部分

5

超过 500元至 2000 元的部分 10

超过 2000 元至 5000 元的部分 15

?0, 0 ? x ? 2000

y

?

??(x ? 2000) ? 5%, 2000 ? x ? ??25 ? (x ? 2500) ?10%, 2500

2500 ?x?

4000

??175 ? (x ? 4000) ?15%, 4000 ? x ? 5000

由 该 人 一 月 份 应 交 纳 此 项 税 款 为 26.78 元 , 得

2500 ? x ? 4000 ,

25 ? (x ? 2500)?10% ? 26.78 ,得 x ? 2517.8 ,

所以该人当月的工资、薪金所得是 2517.8 元.

新课程标准数学必修 1 第二章课后习题解答

第二章 基本初等函数(I) 2.1 指数函数 练习(P54)

1
1. a 2 =

a

3
,a 4

=4

a3

?3
,a 5

=

1

?2
,a 3 =

1

.

5 a3

3 a2

2
2. (1) 3 x2 =x 3 ,

3
(2) 4 (a ? b)3 =(a+b) 4 ,

2
(3) 3 (m - n)2 =(m-n) 3 ,

(4)

(m - n)4 =(m-n)2,(5)

p6q5

5
=p3q 2

,(6)

m3

3? 1

5

=m 2 =m 2 .

m

3.

(1)(

36

)

3 2

=[(

6

)2]

3 2

=(

6

)3=

216

;

49

7

7 343

(2)2

3

×3

1.5

×6

12

=2×3

1 2

×(

3

)

1 3

×(3×22)

1 6

11 1? ?
=2 3 3

×3

111 ??
236

=2×3=6;

2

1 1 ?1

1?1?1

5

(3)a 2 a 4 a 8 =a 2 4 8 =a 8 ;

练习(P58)

(4)2x

?1 3

(

1

x

1 3

?2
-2x 3

)=x

?1?1
3 3 -4x

?1?2 23

=1-4x-1=1 ?

4

.

2

x

第 29 页 共 45 页

1.如图

图 2-1-2-14 2.(1)要使函数有意义,需 x-2≥0,即 x≥2,所以函数 y=3 x-2 的定义域为{x|x≥2};

(2)要使函数有意义,需

x≠0,即函数

y=(

1

)

1 x

的定义域是{x∣x≠0}.

2

3.y=2x(x∈N*) 习题 2.1 A 组(P59)
1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x-y.

2 解:(1) b3 a

a2 b6

3
b2
=1

2? 1
?(a 2 6? 1

1
)2

11 ?
=a2 2

33 ?
?b2 2

=a0b0=1.

a2 b 2

1

1

11

1

1

1

1

(2) a 2 a 2 a = a 2 a 2 ? a 2 = a 2 ? a 2 =a 2 .

1

1

1

1?1?1

(3)

m ?3

m?4 m
1

m2
=

? m3
5

?m4
1

m2 3 4

=

5?1

=m0=1.

(6 m)5 ? m4

m6m4

m6 4

点评:遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.

3.解:对于(1),可先按底数 5,再按 键,再按 1 2,最后按 ,即可求得它的值.答案:1.710 0;

对于(2),先按底数 8.31,再按 键,再按 1 2,最后按 即可. 答案:2.881 0;

对于(3)这种无理指数幂,先按底数 3,再按 键,再按

键,再按 2,最后按 即可. 答案:4.728 8;

对于(4)这种无理指数幂,可先按底数 2,其次按 键,再按 π 键,最后按 即可.

13 7

1?3? 7

5

4.解:(1)a 3 a 4 a 12 =a 3 4 12 =a 3 ;

23

5

2?3?5

7

(2)a 3 a 4 ÷a 6 =a 3 4 6 =a 12 ;

答案:8.825 0.

(3)(x

1 3

y

?

3 4

)12=

x

1 ?12
3

y

? 3?12 4

=x4y-9;

(4)4a

2 3

?1
b3

÷( ?

2

a

?1 3

?1
b 3 )=(

?

2

2?1 ?1?1
×4) a 3 3b 3 3

=-6ab0=-6a;

3

3

第 30 页 共 45 页

(5)

(16s 2t ?6 25r 4

)

2 s t ? 3

4?(? 3 ) 2?(? 3 ) ?6?(? 3 )

2

2

2

2=

2?(? 3 ) 4?(? 3 )

2?6 s ?3t 9 = 5?3 r ?6

125 r 9r 6 = 64 s3

;

5 2r 2

1

1 ?

?1 2

12

1?1?1 ?1?2?2

(6)(-2x 4 y 3 )(3x 2 y 3 )(-4x 4 y 3 )=[-2×3×(-4)]x x 4 2 4 y 3 3 3 =24y;

(7)(2x

1 2

+3y

?

1 4

)(2x

1 2

-3y

?1 4

)=(2x

1 2

)2-(3y

?1 4

)2=4x-9y

?

1 2

;

1
(8)4x 4

(-3x

1 4

y

?1 3

)÷(-6x

?1 2

y

?2 3

)=

?

3?

4

x

1?1?1 442

12 ??
y33

=2xy

1 3

.

?6

点评:进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不 能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数. 5.(1)要使函数有意义,需 3-x∈R,即 x∈R,所以函数 y=23-x 的定义域为 R. (2)要使函数有意义,需 2x+1∈R,即 x∈R,所以函数 y=32x+1 的定义域为 R.
(3)要使函数有意义,需 5x∈R,即 x∈R,所以函数 y=( 1 )5x 的定义域为 R. 2

1
(4)要使函数有意义,需 x≠0,所以函数 y=0.7 x 的定义域为{x|x≠0}.

点评:求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0 的 0 次幂没有意

义.

6.解:设经过 x 年的产量为 y,一年内的产量是 a(1+ p ),两年内产量是 a(1+ p )2,…,x 年内的产量是 a(1+

100

100

p )x,则 y=a(1+ p )x(x∈N*,x≤m).

100

100

点评:根据实际问题,归纳是关键,注意 x 的取值范围. 7.(1)30.8 与 30.7 的底数都是 3,它们可以看成函数 y=3x,当 x=0.8 和 0.7 时的函数值;

因为 3>1,所以函数 y=3x 在 R 上是增函数.而 0.7<0.8,所以 30.7<30.8.

(2)0.75-0.1 与 0.750.1 的底数都是 0.75,它们可以看成函数 y=0.75x,当 x=-0.1 和 0.1 时的函数值;

因为 1>0.75,所以函数 y=0.75x 在 R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以 0.750.1<0.75-0.1.

(3)1.012.7 与 1.013.5 的底数都是 1.01,它们可以看成函数 y=1.01x,当 x=2.7 和 3.5 时的函数值; 因为 1.01>1,所以函数 y=1.01x 在 R 上是增函数.而 2.7<3.5,所以 1.012.7<1.013.5.

(4)0.993.3 与 0.994.5 的底数都是 0.99,它们可以看成函数 y=0.99x,当 x=3.3 和 4.5 时的函数值; 因为 0.99<1,所以函数 y=0.99x 在 R 上是减函数.而 3.3<4.5,所以 0.994.5<0.993.3.

8.(1)2m,2n 可以看成函数 y=2x,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 2>1,所以函数 y=2x 在 R 上是增函数.

因为 2m<2n,所以 m<n.

(2)0.2m,0.2n 可以看成函数 y=0.2x,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 0.2<1, 所以函数 y=0.2x 在 R 上是减函数.因为 0.2m<0.2n,所以 m>n.

(3)am,an 可以看成函数 y=ax,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 0<a<1, 所以函数 y=ax 在 R 上是减函数.因为 am<an,所以 m>n.

(4)am,an 可以看成函数 y=ax,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 a>1, 所以函数 y=ax 在 R 上是增函数.因为 am>an,所以 m>n.

点评:利用指数函数的单调性是解题的关键.

9.(1)死亡生物组织内碳

14

的剩余量

P

与时间

t

的函数解析式为

P=(

1

)

1 5730

.

2

第 31 页 共 45 页

当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳

14

的含量为

P=(

1

)

9?5730 5730

=(

1

)9≈0.002.

2

2

答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳 14 的含量约为死亡前含量的 2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳 14 的存在.

(2)设大约经过

t

万年后,用一般的放射性探测器测不到碳

14,那么(

1

10000t
) 5370

<0.001,解得

t>5.7.

2

答:大约经过 6 万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳 14 的. B组
1. 当 0<a<1 时,a2x-7>a4x-12 ?x-7<4x-1 ?x>-3; 当 a>1 时,a2x-7>a4x-1 ?2x-7>4x-1 ?x<-3.
综上,当 0<a<1 时,不等式的解集是{x|x>-3}; 当 a>1 时,不等式的解集是{x|x<-3}.
2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.

解:(1)设

y=x

1 2

+x

?1 2

,那么

y2=(x

1 2

+x

?1 2

)2=x+x-1+2.由于

x+x-1=3,所以

y=

5.

(2)设 y=x2+x-2,那么 y=(x+x-1)2-2.由于 x+x-1=3,所以 y=7.

(3)设 y=x2-x-2,那么 y=(x+x-1)(x-x-1),而(x-x-1)2=x2-2+x-2= 5 ,所以 y=±3 5 .

点评:整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口.

3.解:已知本金为 a 元.

1 期后的本利和为 y1=a+a×r=a(1+r), 2 期后的本利和为 y2=a(1+r)+a(1+r)×r=a(1+r)2, 3 期后的本利和为 y3=a(1+r)3,



x 期后的本利和为 y=a(1+r)x.

将 a=1 000,r=0.022 5,x=5 代入上式得 y=a(1+r)x=1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118.

答:本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为 y=a(1+r)x,5 期后的本利和约为 1 118 元.

4.解:(1)因为 y1=y2,所以 a3x+1=a-2x.所以 3x+1=-2x.所以 x= ? 1 . 5

(2)因为 y1>y2,所以 a3x+1>a-2x.
所以当 a>1 时,3x+1>-2x.所以 x> ? 1 . 5

当 0<a<1 时,3x+1<-2x.所以 x< ? 1 . 5

2.2 对数函数

练习(P64)

1.(1) log2 8 ? 3 ;

(2) log2 32 ? 5 ;

(3)

log2

1 2

?

?1 ;

(4)

log27

1 3

?

?

1 3

2.(1) 32 ? 9 ;

(2) 53 ? 125 ;

(3) 2?2 ? 1 ; 4

(4) 3?4 ? 1 81

3.(1)设 log5 25 ? x ,则 5x ? 25 ? 52 ,所以 x ? 2 ;

第 32 页 共 45 页

(2)设 log2

1 16

?

x

,则 2x

?

1 16

?

2?4

,所以

x

?

?4 ;

(3)设 lg1000 ? x ,则10x ? 1000 ? 103 ,所以 x ? 3 ;

(4)设 lg 0.001 ? x ,则10x ? 0.001 ? 10?3 ,所以 x ? ?3 ;

4.(1)1; 练习(P68)

(2)0;

(3)2;

(4)2;

1.(1) lg(xyz) ? lg x ? lg y ? lg z ;

(5)3;

(6)5.

(2) lg xy2 ? lg(xy2 ) ? lg z ? lg x ? lg y2 ? lg z ? lg x ? 2 lg y ? lg z ; z

(3) lg xy3 ? lg(xy3) ? lg z ? lg x ? lg y3 ? 1 lg z ? lg x ? 3lg y ? 1 lg z ;

z

2

2

(4) lg

x y2z

?

lg

x ? lg( y2z) ? 1 lg x ? (lg y2 ? lg z) ? 1 lg x ? 2lg y ? lg z .

2

2

2.(1) log3 (27 ? 92 ) ? log3 27 ? log3 92 ? log3 33 ? log3 34 ? 3 ? 4 ? 7 ;

(2) lg1002 ? 2 lg100 ? 2 lg102 ? 4 lg10 ? 4 ;

(3) lg 0.00001 ? lg10?5 ? ?5lg10 ? ?5 ;

(4) ln e ? 1 ln e ? 1

2

2

6 3. (1) log2 6 ? log2 3 ? log2 3 ? log2 2 ? 1;

(2) lg 5 ? lg 2 ? lg10 ?1 ;

(3)

log5

3

?

log5

1 3

?

log5

(3?

1) 3

?

log5

1

?

0

;

(4)

log3

5

?

log3

15

?

log3

5 15

?

log3

1 3

?

log3

3?1

?

?1

.

5

4.(1)1;

(2)1;

(3)

4

练习(P73)

1.函数 y ? log3 x 及 y ? log1 x 的图象如右图所示.
3

相同点:图象都在 y 轴的右侧,都过点 (1, 0)

不同点: y ? log3 x 的图象是上升的,
y ? log1 x 的图象是下降的
3
关系: y ? log3 x 和 y ? log1 x 的图象是关于 x 轴对称的.
3

第 33 页 共 45 页

2. (1) (??,1) ; (2) (0,1) (1, ??) ;

(3) (??, 1) ; 3

(4)[1, ??)

3. (1) log10 6 ? log10 8 (2) log0.5 6 ? log0.5 4 (3) log 2 0.5 ? log 2 0.6 (4) log1.5 1.6 ? log1.5 1.4

3

3

习题 2.2 A 组(P74)

1. (1) log3 1 ? x ;

(2)

log4

1 6

?

x

;

(3) log4 2 ? x ;

(4) log2 0.5 ? x

(5) lg 25 ? x

(6) log5 6 ? x

2. (1) 5x ? 27

(2) 8x ? 7

(3) 4x ? 3

(4) 7x ? 1 3

(5) 10x ? 0.3 (6) ex ? 3

3. (1) 0 ;

(2) 2 ;

(3) ?2 ;

(4) 2 ;

(5) ?14 ;

(6) 2 .

4. (1) lg 6 ? lg 2 ? lg 3 ? a ? b ;

lg 4 2 lg 2 2a (2) log3 4 ? lg 3 ? lg 3 ? b ;

(3)

log2

12

?

lg12 lg 2

?

2 lg 2 ? lg lg 2

3

?

2

?

lg lg

3 2

?

2

?

b a

;

(4) lg 3 ? lg 3 ? lg 2 ? b ? a 2

5. (1) x ? ab ;

(2) x ? m ; n

(3) x ? n3 ; m

(4) x ?

b
.

c

6. 设 x 年后我国的 GDP 在 1999 年的 GDP 的基础上翻两番,则 (1? 0.073)x ? 4

解得 x ? log1.073 4 ? 20 . 答:设 20 年后我国的 GDP 在 1999 年的 GDP 的基础上翻两番.

7. (1) (0, ??) ;

(2) ( 3 ,1] . 4

8. (1) m ? n ;

(2) m ? n ;

9. 若火箭的最大速度 v ?12000 ,

(3) m ? n ;

(4) m ? n .

那么 2000 ln ???1?

M m

? ??

?

12000

?

ln(1

?

M ) ? 6 ?1? m

M m

? e6

?

M m

? 402

答:当燃料质量约为火箭质量的 402 倍时,火箭的最大速度可达 12km/s.
10. (1)当底数全大于 1 时,在 x ?1 的右侧,底数越大的图象越在下方.

所以,①对应函数 y ? lg x ,②对应函数 y ? log5 x ,③对应函数 y ? log2 x .

(2)略.

(3)与原函数关于 x 轴对称.

11.

(1)

log2

25? log3

4 ? log5

9

?

lg 25 lg 2

?

lg 4 lg 3

?

lg 9 lg 5

?

2 lg 5 lg 2

?

2 lg 2 lg 3

?

2 lg 3 lg 5

?

8

(2) loga

b ? logb

c ? logc

a

?

lg b lg a

?

lg c lg b

?

lg a lg c

?1

第 34 页 共 45 页

12. (1)令 O ? 2700 ,则 v ?

1 2 log3

2700 ,解得 v ?1.5 . 100

答:鲑鱼的游速为 1.5 米/秒.

(2)令

v

?

0

,则

1 2

log3

O 100

? 0 ,解得 O ?100 .

答:一条鱼静止时的耗氧量为 100 个单位.

B组

1.

由 x log3 4 ? 1 得: 4x

? 3, 4?x

? 1 ,于是 4x 3

? 4?x

? 3 ? 1 ? 10 33

2.

①当 a ?1时, loga

3 4

? 1恒成立;

②当 0

?

a

?1时,由 loga

3 4

?1?

loga

a

,得 a

?

3 4

,所以 0

?

a

?

3 4

.

综上所述:实数 a 的取值范围是{a 0 ? a ? 3 或 a ? 1} 4

3. (1)当 I

?1

W/m2 时, L1

1 ? 10 lg 10?12

? 120 ;

(2)当 I ? 10?12

W/m2 时, L1

10?12 ? 10 lg 10?12

?0

答:常人听觉的声强级范围为 0 120dB.

4. (1)由 x ?1 ? 0 ,1? x ? 0 得 ?1? x ?1,∴函数 f (x) ? g(x) 的定义域为 (?1,1)

(2)根据(1)知:函数 f (x) ? g(x) 的定义域为 (?1,1)

∴ 函数 f (x) ? g(x) 的定义域关于原点对称

又∵ f (?x )? g ?( x ?) l ao g? (x1? ) a l?o xg ?( 1f x )? g x( ) ( ) ∴ f (x) ? g(x) 是 (?1,1) 上的偶函数.

5. (1) y ? log2 x , y ? log0.3 x ;
习题 2.3 A 组(P79)
1.函数 y= 1 是幂函数. x2
2.解析:设幂函数的解析式为 f(x)=xα,

(2) y ? 3x , y ? 0.1x .

因为点(2, 2 )在图象上,所以 2 =2α.

所以

α=

1

,即幂函数的解析式为

f(x)=x

1 2

,x≥0.

2

3.(1)因为流量速率 v 与管道半径 r 的四次方成正比,所以 v=k·r4;

(2)把

r=3,v=400

代入

v=k·r4

中,得

k=

400 34



400 81

,即

v=

400 81

r4;

(3)把 r=5 代入 v= 400 r4,得 v= 400 ×54≈3 086(cm3/s),

81

81

第 35 页 共 45 页

即 r=5 cm 时,该气体的流量速率为 3 086 cm3/s.
第二章 复习参考题 A 组(P82)

1.(1)11; (2) 7 ; (3) 1 ; (4) 9 .

8

1000

25

1

1

1

1

11

11

2.(1)原式= (a 2 ? b 2 )2 ? (a 2 ? b 2 )2 = a ? 2a 2 b 2 ? b ? a ? 2a 2 b 2 ? b = 2(a ? b) ;

1

1

1

1

a?b

a?b

(a 2 ? b 2 )(a 2 ? b 2 )

(2)原式=

(a

(a ? a?1 )2 ? a?1)(a ? a?1)

=

a a

? ?

1
a 1

=

a2 a2

?1
.
?1

a

3.(1)因为

lg2=a,lg3=b,log125=

lg 5 lg 12

=

lg 10 2
lg 22 ?

3

=

2

1 ? lg lg 2 ?

2 lg

3

,所以

log125=

1? a 2a ? b

.

(2)因为 log2 3 ? a , log3 7 ? b

log14

56

?

log7 23 ? 7 log7 2? 7

=

3log 7 2 ? 1 1 ? log 7 2

=

3(log 3 2 ? log 3 7) 1 ? log 3 2 ? log 3

? 7

1

=

3( 1 ? b) a 1? 1 ?

? b

1

=

ab ab

?3 ?1

.

a

4.(1)(-∞, 1 )∪( 1 ,+∞);(2)[0,+∞).

2

2

5.( 2 ,1)∪(1,+∞);(2)(-∞,2);(3)(-∞,1)∪(1,+∞). 3

6.(1)因为 log67>log66=1,所以 log67>1.又因为 log76<log77=1,所以 log76<1.所以 log67>log76.

(2)因为 log3π>log33=1,所以 log3π>1.又因为 log20.8<0,所以 log3π>log20.8. 7.证明:(1)因为 f(x)=3x,所以 f(x)·f(y)=3x×3y=3x+y.

又因为 f(x+y)=3x+y,所以 f(x)·f(y)=f(x+y).

(2)因为 f(x)=3x,所以 f(x)÷f(y)=3x÷3y=3x-y.

又因为 f(x-y)=3x-y,所以 f(x)÷f(y)=f(x-y).

8.证明:因为 f(x)=lg 1 ? x ,a、b∈(-1,1), 1? x

所以 f(a)+f(b)=lg 1 ? a ? lg 1 ? b =lg (1 ? a)(1 ? b) , 1? a 1? b (1 ? a)(1 ? b)

f( a ? b 1? ab

1?
)=lg(
1?

a?b
1? ab a?b

)=lg 1 ? 1?

ab ab

? ?

a a

? ?

b b

=lg

(1 ? (1 ?

a)(1 ? a)(1 ?

b) b)

.

1? ab

所以 f(a)+f(b)=f( a ? b ). 1? ab

9.(1)设保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式为 y=k·ax(a>0,且 a≠1).

第 36 页 共 45 页

因为点(0,192)、(22,42)在函数图象上,

所以

??192 ? k ? ??42 ? k ?

? a0 , a22 ,

解得

?k ? ? ??a

? 192, ? 22 7
32

?

0.93.

所以 y=192×0.93x, 即所求函数解析式为 y=192×0.93x. (2)当 x=30 ℃时,y≈22(小时); 当 x=16 ℃时,y≈60(小时), 即温度在 30 ℃和 16 ℃的保鲜时间约为 22 小时和 60 小时.
(3)图象如图:

图 2-2
10.解析:设所求幂函数的解析式为 f(x)=xα,因为 f(x)的图象过点(2, 2 ), 2

所以

2

=2α,即

?1
22

=2α.所以

α= ?

1

.所以

?1
f(x)=x 2

(x>0).

2

2

图略,f(x)为非奇非偶函数;同时它在(0,+∞)上是减函数. B组
1.A

2.因为

2a=5b=10,所以

a=log210,b=log510,所以

1 a

+

1 b

=

1 log 2 10

+

1 log 5

10

=lg2+lg5=lg10=1.

3.(1)f(x)=a ? 2 在 x∈(-∞,+∞)上是增函数. 2x ?1
证明:任取 x1,x2∈(-∞,+∞),且 x1<x2.

f(x1)-f(x2)=a

?

2 2x ?1

-a+

2

2 ? x 2

1

2

2

2(2 x1 ? 2 x2 )

=

-

=

.

2 x2 ? 1 2x1 ? 1 (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1)

因为 x1,x2∈(-∞,+∞),
所以 2x2 ? 1 ? 0.2x1 ? 1 ? 0.

又因为 x1<x2,

所以 2x1 ? 2x2 即 2x1 ? 2x2 <0.所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).

所以函数

f(x)=a

?

2 2x ?

1

在(-∞,+∞)上是增函数.

(2)假设存在实数 a 使 f(x)为奇函数,则 f(-x)+f(x)=0,

第 37 页 共 45 页



a

?

1 2?x ?

1

+a

?

2 2x ?1

=0

? a=

1 2?x ?

1

+

1 2x ?1

=

2 2x ?1

+

1 2x ?

1

=1,

即存在实数 a=1 使 f(x)= ? 1 为奇函数. 2?x ?1

4.证明:(1)因为 f(x)= e x ? e ?x ,g(x)= ex ? e?x ,

2

2

所以[g(x)]2-[f(x)]2=[g(x)+f(x)][g(x)-f(x)]

= ( e x ? e?x ? e x ? e?x )( e x ? e?x e x ? e?x )

2

2

2

2

=ex·e-x=ex-x=e0=1, 即原式得证.

(2)因为 f(x)= e x ? e ?x ,g(x)= ex ? e?x ,

2

2

所以 f(2x)= e 2x

? e ?2x

,2f(x)·g(x)=2·e x

? e?x

ex
·

? e?x

e2x
=

? e ?2x

.

2

2

2

2

所以 f(2x)=2f(x)·g(x).

(3)因为 f(x)= e x ? e ?x ,g(x)= ex ? e?x ,所以 g(2x)= e 2x ? e ?2x ,

2

2

2

[g(x)]2+[f(x)]2=( ex ? e?x )2+( e x ? e ? x )2

2

2

e 2x ? 2 ? e ?2x ? e 2x ? 2 ? e ?2x e 2x ? e ?2x

=

=

.

4

2

所以 g(2x)=[f(x)]2+[g(x)]2. 5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当 t=1 时,θ=52,于是 52=15+(62-15)e-k,
解得 k≈0.24,那么 θ=15+47e-0.24t. 所以,当 θ=42 时,t≈2.3;当 θ=32 时,t≈4.2.
答:开始冷却 2.3 和 4.2 小时后,物体的温度分别为 42 ℃和 32 ℃.物体不会冷却到 12 ℃. 6.(1)由 P=P0e-kt 可知,当 t=0 时,P=P0;当 t=5 时,P=(1-10%)P0.于是有(1-10%)P0=P0e-5k,

解得

k=

?

1

ln0.9,那么

P=P0e

(1 5

ln

0.9)t

.

5

所以,当

t=10

时,P=P0e

1?10??n 5

0.9

=P0eln0.81=81%P0.

答:10 小时后还剩 81%的污染物.

(2)当

P=50%P0 时,有

1 ( ln 0.9)t
50%P0=P0e 5

,解得

t=

ln 0.5 1 ln 0.9

≈33.

5

答:污染减少 50%需要花大约 33h.

第 38 页 共 45 页

(3)其图象大致如下:
图 2-3
新课程标准数学必修 1 第三章课后习题解答
第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 练习(P88)
1.(1)令 f(x)=-x2+3x+5,作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7(1)),它与 x 轴有两个交点, 所以方程-x2+3x+5=0 有两个不相等的实数根.
(2)2x(x-2)=-3 可化为 2x2-4x+3=0,令 f(x)=2x2-4x+3, 作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7(2)),它与 x 轴没有交点,所以方程 2x(x-2)=-3 无实数根.
(3)x2=4x-4 可化为 x2-4x+4=0,令 f(x)=x2-4x+4,作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7(3)), 它与 x 轴只有一个交点(相切),所以方程 x2=4x-4 有两个相等的实数根.
(4)5x2+2x=3x2+5 可化为 2x2+2x-5=0,令 f(x)=2x2+2x-5,作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7(4)), 它与 x 轴有两个交点,所以方程 5x2+2x=3x2+5 有两个不相等的实数根.
图 3-1-2-7
第 39 页 共 45 页

2.(1)作出函数图象(图 3-1-2-8(1)),因为 f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0, 所以 f(x)=-x3-3x+5 在区间(1,1.5)上有一个零点. 又因为 f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,所以 f(x)=-x3-3x+5 在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.
(2)作出函数图象(图 3-1-2-8(2)),因为 f(3)<0,f(4)>0, 所以 f(x)=2x·ln(x-2)-3 在区间(3,4)上有一个零点. 又因为 f(x)=2x·ln(x-2)-3 在(2,+∞)上是增函数,所以 f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.
(3)作出函数图象(图 3-1-2-8(3)),因为 f(0)<0,f(1)>0, 所以 f(x)=ex-1+4x-4 在区间(0,1)上有一个零点. 又因为 f(x)=ex-1+4x-4 在(-∞,+∞)上是增函数,所以 f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.
(4)作出函数图象(图 3-1-2-8(4)),因为 f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0, 所以 f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x 在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.
图 3-1-2-8 练习(P91)
1.由题设可知 f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是 f(0)·f(1)<0, 所以函数 f(x)在区间(0,1)内有一个零点 x0. 下面用二分法求函数 f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4 在区间(0,1)内的零点. 取区间(0,1)的中点 x1=0.5,用计算器可算得 f(0.5)=-0.55. 因为 f(0.5)·f(1)<0,所以 x0∈(0.5,1). 再取区间(0.5,1)的中点 x2=0.75,用计算器可算得 f(0.75)≈0.32. 因为 f(0.5)·f(0.75)<0,所以 x0∈(0.5,0.75). 同理,可得 x0∈(0.625,0.75),x0∈(0.625,0.687 5),x0∈(0.656 25,0.687 5). 由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1, 所以原方程的近似解可取为 0.656 25.
2.原方程可化为 x+lgx-3=0,令 f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得 f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48. 于是 f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解 x0. 下面用二分法求方程 x=3-lgx 在区间(2,3)的近似解. 取区间(2,3)的中点 x1=2.5,用计算器可算得 f(2.5)≈-0.10. 因为 f(2.5)·f(3)<0,所以 x0∈(2.5,3). 再取区间(2.5,3)的中点 x2=2.75,用计算器可算得 f(2.75)≈0.19. 因为 f(2.5)·f(2.75)<0,所以 x0∈(2.5,2.75). 同理,可得 x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),
第 40 页 共 45 页

x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375). 由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01, 所以原方程的近似解可取为 2.593 75. 习题 3.1 A 组(P92) 1.A,C 点评:需了解二分法求函数的近似零点的条件. 2.由 x,f(x)的对应值表可得 f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0, 又根据“如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且 f(a)·f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点.” 可知函数 f(x)分别在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点. 3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令 f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1, 可算得 f(-1)=-1,f(0)=5.于是 f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解. 下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1 在区间(-1,0)内的近似解. 取区间(-1,0)的中点 x1=-0.5,用计算器可算得 f(-0.5)=3.375. 因为 f(-1)·f(-0.5)<0,所以 x0∈(-1,-0.5). 再取(-1,-0.5)的中点 x2=-0.75,用计算器可算得 f(-0.75)≈1.58. 因为 f(-1)·f(-0.75)<0,所以 x0∈(-1,-0.75). 同理,可得 x0∈(-1,-0.875),x0∈(-0.937 5,-0.875). 由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1, 所以原方程的近似解可取为-0.937 5. 4.原方程即 0.8x-1-lnx=0,令 f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义, 用计算器算得 f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是 f(0.5)·f(1)<0, 所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解. 下面用二分法求方程 0.8x-1=lnx 在区间(0,1)内的近似解. 取区间(0.5,1)的中点 x1=0.75,用计算器可算得 f(0.75)≈0.13. 因为 f(0.75)·f(1)<0,所以 x0∈(0.75,1). 再取(0.75,1)的中点 x2=0.875,用计算器可算得 f(0.875)≈-0.04. 因为 f(0.875)·f(0.75)<0,所以 x0∈(0.75,0.875). 同理,可得 x0∈(0.812 5,0.875),x0∈(0.812 5,0.843 75). 由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1, 所以原方程的近似解可取为 0.843 75. 5.由题设有 f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,于是 f(2)·f(3)<0, 所以函数 f(x)在区间(2,3)内有一个零点.
下面用二分法求函数 f(x)=lnx ? 2 在区间(2,3)内的近似解. x
取区间(2,3)的中点 x1=2.5,用计算器可算得 f(2.5)≈0.12. 因为 f(2)·f(2.5)<0,所以 x0∈(2,2.5). 再取(2,2.5)的中点 x2=2.25,用计算器可算得 f(2.25)≈-0.08. 因为 f(2.25)·f(2.5)<0,所以 x0∈(2.25,2.5). 同理,可得 x0∈(2.25,2.375),x0∈(2.312 5,2.375),x0∈(2.343 75,2.375),
x0∈(2.343 75,2.359 375),x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25). 由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01, 所以原方程的近似解可取为 2.347 656 25. B组

1.将系数代入求根公式 x= ?b ? b2 ? 4ac ,得 x= 3 ? (?3)2 ? 4? 2? (?1)2 = 3 ? 17 ,

2a

2?2

4

第 41 页 共 45 页

所以方程的两个解分别为 x1= 3 ? 17 ,x2= 3 ? 17 .

4

4

下面用二分法求方程的近似解.

取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令 f(x)=2x2-3x-1.

在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得 f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.

于是 f(1.775)·f(1.8)<0.

所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.

由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,

所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为 1.8.

同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.

所以方程精确到 0.1 的近似解分别是 1.8 和-0.3.

2.原方程即 x3-6x2-3x+5=0,令 f(x)=x3-6x2-3x+5,函数图象如下图所示.

图 3-1-2-9 所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解. 取区间(-2,0)的中点 x1=-1,用计算器可算得 f(-1)=1. 因为 f(-2)·f(-1)<0,所以 x0∈(-2,-1). 再取(-2,-1)的中点 x2=-1.5,用计算器可算得 f(-1.5)=-7.375. 因为 f(-1.5)·f(-1)<0,所以 x0∈(-1.5,-1). 同理,可得 x0∈(-1.25,-1),x0∈(-1.125,-1),x0∈(-1.125,-1.062 5). 由于|(-1.062 5)-(-1.125)|=0.062 5<0.1, 所以原方程在区间(-2,0)内的近似解可取为-1.062 5. 同理,可得原方程在区间(0,1)内的近似解可取为 0.7,在区间(6,7)内的近似解可取为 6.3. 3.(1)由题设有 g(x)=2-[f(x)]2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.

第 42 页 共 45 页

(2)函数图象如下图所示.

图 3-1-2-10

(3)由图象可知,函数 g(x)分别在区间(-3,-2)和区间(-1,0)内各有一个零点.

取区间(-3,-2)的中点 x1=-2.5,用计算器可算得 g(-2.5)=0.187 5. 因为 g(-3)·g(-2.5)<0,所以 x0∈(-3,-2.5). 再取(-3,-2.5)的中点 x2=-2.75,用计算器可算得 g(-2.75)≈0.28. 因为 g(-3)·g(-2.75)<0,所以 x0∈(-3,-2.75). 同理,可得 x0∈(-2.875,-2.75),x0∈(-2.812 5,-2.75). 由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,

所以原方程在区间(-3,-2)内的近似解可取为-2.812 5.

同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.

所以函数 g(x)精确到 0.1 的零点约为-2.8 或-0.2.

点评:第 2、3 题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术

条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.

第三章 复习参考题 A 组(P112)

1.C 2.C

3.设经过时间

t

后列车离

C

地的距离为

y,则

y=

?200 ?100t, ??100t ? 200,

0 2

? ?

t t

? ?

2, 5.

4.(1)圆柱形; (3)上底大、下底小的圆台形;

(2)上底小、下底大的圆台形; (4)呈下大上小的两节圆柱形.

图 3-2 图略.

第 43 页 共 45 页

图 3-3

5.令 f(x)=2x3-4x2-3x+1,函数图象如图 3-3 所示:

函数分别在区间(-1,0)、(0,1)和区间(2,3)内各有一个零点,

所以方程 2x3-4x2-3x+1=0 的最大的根应在区间(2,3)内.

取区间(2,3)的中点 x1=2.5,用计算器可算得 f(2.5)=-0.25.因为 f(2.5)·f(3)<0,所以 x0∈(2.5,3).

再取(2.5,3)的中点 x2=2.75,用计算器可算得 f(2.75)≈4.09.

因为 f(2.5)·f(2.75)<0,所以 x0∈(2.5,2.75).

同理,可得 x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.5,2.5625),x0∈(2.5,2.53125),

x0∈(2.515625,2.53125),x0∈(2.515625,2.5234375).

由于|2.523 437 5-2.515 625|=0.007 812 5<0.01,

所以原方程的最大根约为 2.523 437 5.

6.令 lgx= 1 ,即得方程 lgx ? 1 =0,再令 g(x)=lgx ? 1 ,用二分法求得交点的横坐标约为 2.5.

x

x

x

图 3-4 7.如图,作 DE⊥AB,垂足为 E.由已知可得∠ADB=90°.
因为 AD=x,AB=4,于是 AD2=AE×AB,即 AE= AD 2 = x2 . AB 4

所以

x2
CD=AB-2AE=4-2×

=4 ?

x2

.

4

2

于是 y=AB+BC+CD+AD=4+x+4 ? x2 +x= ? x2 +2x+8.

2

2

由于 AD>0,AE>0,CD>0,所以 x>0, x2 >0,4 ? x2 >0,解得 0<x<2 2 .

4

2

第 44 页 共 45 页

所以所求的函数为 y= ? x2 +2x+8,0<x<2 2 . 2

8.(1)由已知可得

N=N0(

1 e?

)t.因为

λ

是正常数,e>1,所以

eλ>1,即

0<

1 e?

<1.



N0

是正常数,所以

N=N0(

1 e?

)t 是在于 t 的减函数.

(2)N=N0e-λt,因为 e-λt=

N N0

,所以-λt=ln

N N0

,即 t= ?

1 ?

ln

N N0

.

(3)当 N= N 0 时,t= ? 1 N0 = ? 1 ln2.

2

? 2N0 ?

9.因为 f(1)=-3+12+8=17>0,f(2)=-3×8+12×2+8=8>0,f(3)<0,所以,下次生产应在两个月后开始. B组
1.厂商希望的是甲曲线;客户希望的是乙曲线.

? ? ?

3 t2, 2

0 ? t ? 1,

2.函数的解析式为 y=f(t)= ???? ?

3 (t ? 2)2 ? 2

3,

1 ? t ? 2,

? 3,

t ? 2.

?

??

函数的图象为

图 3-5
备课资料 [备选例题] 【例】对于函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数 x0,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点.
(1)当 a=2,b=-2 时,求 f(x)的不动点; (2)若对于任何实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),当 a=2,b=-2 时,f(x)=2x2-x-4,
设 x 为其不动点,即 2x2-x-4=x,则 2x2-2x-4=0,解得 x1=-1,x2=2,即 f(x)的不动点为-1,2. (2)由 f(x)=x,得 ax2+bx+b-2=0.关于 x 的方程有相异实根,则 b2-4a(b-2)>0,即 b2-4ab+8a>0. 又对所有的 b∈R,b2-4ab+8a>0 恒成立,故有(4a)2-4·8a<0,得 0<a<2.
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