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2.4.1二次函数的图像课件(北师大版必修1)

§4

二次函数性质的再研究
4.1 二次函数的图像

学习目标
1.理解二次函数y ? a( x ? h) 2 ? (a ? 0)中的参数 k a, h, k的作用
2.会用配方法把二次函数y=ax 2 ? bx ? c(a ? 0)化成 y ? a( x ? h) 2 ? (a ? 0)的形式 k
3.理解y=ax2与y=a(x+h)2+k(a≠0)及y=ax2+bx+c的 图像之间的关系.

问题导引
填表
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标

y ? ( x ? 2)2 ? 3
y ? ?2( x ? 4)2 ? 5 y ? a( x ? h) ? k
2

向上
向下
a >0时,向上 a <0时,向下

x ? ?2

(?2, ?3)
(4, 5)

x?4

x ? ?h

( ? h, k )

思考:

(1)y =x 和y ? ax(a ? 0)的图像之间有什么
2 2

关系?
(2)y =ax 2和y ? a( x ? h) 2 +(a ? 0)的图像之间 k 有什么关系?

(3)y =ax 和y ? ax +bx ? (a ? 0)的图像之间 c
2 2

有什么关系?

在同一个坐标系下画出下列函数图像

(1)y ? x

2

(2)y ?2x2
1 2 (3)y ? x 2

(4)y ? -2x2

列表

x
x 2 2x
1 2 x 2
2

… … … …

-3 9 18
9 2

-2 4 8 2

-1 1 2
1 2

0 0 0 0 0

1 1 2
1 2

2 4 8 2 -8

3 9 18
9 2

… … … …

?2x 2 …

-18 -8

-2

-2

-18 …

y ? x2与y ? 2 x2的图像

1 2 y ? x 与y ? x 的图像 2
2

y ? x 与y ? ?2x 的图像
2 2

抽象概括
1.二次函数

y ? ax (a ? 0) 的图像可由 y ? x2 的图
2

像各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到
2.a决定了图像的开口方向:a>0开口向上,a<0开口向下 3.a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小: |a|越小,图像开口就越大

一 下列二次函数图像开口,按从小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1) ________________

1 2 (1) f ( x) ? ? x 4

1 2 (2) f ( x) ? x 2

1 2 (3) f ( x) ? x 3

(4) f ( x) ? ?3x2

动手实践
在同一个坐标系中画出下列函数图像

(1)y ? 2 x

2

(2)y ?2(x ? 1) ? 3
2

(3)y ? -3x

2
2

(4)y ? -3(x ?1) ? 1

抽象概括
对于二次函数 y

? a ( x ? h) ? k
2

(a≠0)的图像

1.a决定了二次函数图像的开口大小及方向
2.h决定了二次函数图像的左右平移 “ h正左移,h负右移”

3.k决定了二次函数图像的上下平移 “k 正上移,k负下移”



将二次函数 y

? 3x 2的图像平行移动,顶点移到(-3,2),

y ? 3( x ? 3)2 ? 2 则它的解析式为____________

例1.二次函数f(x)与 g(x)的图像开口大小相同,开口
方向也相同,已知函数g(x)的解析式和f(x) 图像的顶 点,写出函数f(x)的表达式

(1)函数g(x) ? x 2 ,f (x)图像的顶点是(4, ?7);
(2)函数g(x) ? ?2(x ? 1)2 ,f (x)图像的顶点是(?3, 2).

解 : 如果二次函数的图像与y ? ax 2的图像开口大 小相同, 开口方向也相同, 顶点坐标是(?h, k), 则其 解析式为y ? a (x ? h) 2 ? k.

(1)因为f (x)与g(x) ? x 2的图像开口大小相同, 开口方向也相同, f(x)图像的顶点是 (4, ?7), 所以 f (x) ? (x ? 4) 2 ? 7 ? x 2 ? 8x ? 9

(2)因为f (x)与g(x) ? ?2(x ? 1) 2 的图像开口大小 相同, 开口方向也相同, g(x) ? ?2(x ? 1) 2 又与y ? ?2x 2 的图像开口大小相同, 开口方向也相同,所以f (x)与 y ? ?2x 2的图像开口大小也相同, 开口方向也相同. 又因为f (x)图像的顶点坐标是(?3, 2), 所以 f (x) ? ?2(x ? 3) 2 ? 2 ? ?2x 2 ? 12x ? 16.

思考:

1 y ? x ? 8x ?12由y ? x 如何变换得到? .
2 2

解析:y ? x 2 ? 8x ? 12 ? (x ? 4)2 ? 4
故由y ? x 2向右平移4个单位,再向 下平移4个单位得到

2.y ? 2x 2 ? 8x ? 12由y ? 2x 2如何变换得到?
解析:y ? 2x 2 ? 8x ? 12 ? (x 2 ? 4x) ? 12 2 ? (x 2 ? 4x ? 4 ? 4) ? 12 ? 2(x ? 2) 2 ? 4 2 故应由y ? 2x 2向右平移2个单位,再向 上平移4个单位得到

1.把下列二次函数配方:
3 4 2 4 f ( x) ? ( x ? ) ? 4 3 3 2.由 y ? 3( x ? 2)2 ? 5 的图像经过怎样的平移变换,
可以得到

(1)f (x) ? 3 ? 5x ? 2x 2 ; 3 2 (2)f (x) ? x ? 2x. 4

5 49 f ( x) ? ?2( x ? ) 2 ? 4 8

y ? 3x 2 的图像.

右移2单位,下移5单位

3.把函数

y ? x 2 ? 3x 的图像向右平移2个单位,再向下

平移3个单位所得图像对应的函数解析式为__________ .

y ? (x ? 2)2 ? 3(x ? 2) ? 3 ? x 2 ? 7x ? 7

1.二次函数y ? a(x ? h) 2 ? k(a ? 0)中的参数 a, h, k的作用

2.y=ax 2 (a ? 0)与y ? a(x ? h)2 ? k(a ? 0)的图像 变换规律

在科学上进步而道义上落后的人,不是前
进,而是后退。 ——亚里士多德


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