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重庆南开中学2014—2015学年度上期高二半期考试数学(理)试题


重庆南开中学 2014—2015 学年度上期半期考试 高二数学(理)试题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.复数 z ? A.1

2 的虚部为( 1? i
B. ? 1

) C. i ) D. ? i

2.命题“ ?x ? (0,?? ), x ? A. ?x ? (0,?? ), x ?

1 ? 2 ”的否定为( x

1 ?2 x 1 C. ?x ? (0,?? ), x ? ? 2 x 1 2 3.抛物线 y ? x ? 0 的准线方程为( 2 1 1 A. y ? B. x ? 2 2

1 ?2 x 1 D. ?x ? (0,?? ), x ? ? 2 x
B. ?x ? (0,?? ), x ? ) C. y ? 2 D. x ? 2 ) D.既不充分也不必要条件
0

4.“直线 y ? kx ? 2 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切”是“ k ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

3 ”的(

C.充要条件

5.已知向量 a ? (1,0,?1) ,则下列向量中与 a 所成夹角为 120 的是( A. (1,0,1) B. (1,?1,0) C. (0,?1,?1)



D. (?1,1,0)

6.已知椭圆 C :

x2 y2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1、F2 ,离心率为 ,过 F2 的直 2 3 a b


线 l 交 C 于 A、B 两点。若 ?AF1 B 的周长为 12,则椭圆 C 的方程为( A.

x2 y2 ? ?1 9 5

B.

y2 x2 ? ?1 9 5

C.

x2 y2 ? ?1 9 4

D.

y2 x2 ? ?1 9 4

7.已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A、B 两点,且 AB 的中 a2 b2


点为 M (1,3) ,则双曲线的渐近线方程为(

A. y ? ?3x

B. y ? ? 3x

C. y ? ?

1 x 3

D. y ? ?

3 x 3

8 . 三 棱 锥 O ? ABC 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz 中 的 坐 标 分 别 是

O(0,0,0)、A(1,0,1)、B(1,1,0)、C (0,1,1) ,则点 C 到平面 OAB 的距离为(
A.



2 3 3

B.

3 2

C.

6 3

D. 2

9.已知 F1、F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 椭圆和双曲线的离心率的乘积的最小值为( A. ) C. 3 D. 2 3

?
3

,则

3 3

B.

3 2

10.已知棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的内切球为球 O,P 为球 O 的球面上动点,

DP ? BC1 , 则点 P 的轨迹的周长为(
A. ? B. 2?

) C. 3? D. 2?

二、填空题: (本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. i ? i ? i ? i ?
2 3 4

12. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 作直线 l 与抛物线 A、B 两点, 若 AB 中点 M 的横坐标为
2

3 , 2

则 AB ? 13.如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA 1 ? 6 ,异面直线 BC1 与

AA1 所成角的大小为

? ,则该三棱柱的体积为 6
x2 y2 ? ? 1 上的动点, 14 7

14. 设 P、Q 分别为圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1和椭圆 则 PQ 的最大值为

x2 y2 15.已知 F1、F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 P 在双曲线上且不与顶 a b
点重合,过 F2 作 ?F1 PF2 的角平分线的垂线,垂足为 A ,若 OA ? b ,则该双曲线的离心率 为

三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分) 16.已知 m ? R ,复数 z ? m ? m ? 2 ?
2

m ?1 i m?3

(1)若 z 为纯虚数,求实数 m 的值 (2)若复数 z 在复平面中所对应的点位于第四象限,求实数 m 的取值范围

17. 已知实数 m ? 0 , 命题 p : 方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 命题 q : y ? x ? m m 3

与圆 x 2 ? y 2 ? 2 有两个交点,若 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围

18.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2, AD ? 1, AA 1 ?1 (1)求证:直线 BC1 //平面 ACD1 (2)求直线 AB 与平面 ACD1 所成角的正弦值

19.已知动圆过定点 F (1,0) ,且与直线 l : x ? ?1 相切 (1)求动圆圆心 C 的轨迹方程 (2)过点 P(2,0) 作直线交 C 的轨迹于 A、B 两点,交 l 于点 M ,若点 M 的纵坐标为 ? 3 , 求 AB 的长

20.如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA ? 底面 ABCD, AC ? 2 2 ,

PA ? 2, E 是线段 PC 上一点。
(1)若 PC ? 平面 BDE ,求

PE 的值 EC

(2)若二面角 A ? PB ? C 的余弦值为 ?

3 ,求线段 BD 的长 3

21.设椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂直 2 2 a b

的直线被椭圆截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程 (2) 已知 p 为非零常数, 若过点 P ( p,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同于椭圆长轴顶点的两点

M、 N , 且 MP ? ? PN , 问在 x 轴上是否存在定点 Q , 使 QM ? ?QN 与 x 轴垂直?若存在,
求定点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。


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