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(人教版)数学必修五:2.3《等差数列的前n项和(1)》ppt课件


成才之路 · 数学
人教A版 · 必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
数 列

第二章

数列

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第二章
2.3 等差数列的前n项和 等差数列的前n项和

第1课时

第二章

数列

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1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

第二章

2.3

第1课时

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课前自主预习

第二章

2.3

第1课时

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拥有 8 万个正式座位, 1.1 万个临时座位的鸟巢堪称世界最大 的体育场馆之一,绕鸟巢一圈大约有 4 千米左右,普通人快走 一圈需要 40 分钟左右.为了方便初次 走进鸟巢的观众找到自己的看台座位, 体育场里的入场标志设计得非常醒目 清晰.鸟巢看台分 12 个区,分别以“A” 到“M”进行标志区分.观众手中的门票 还有一个小平面图, 来给观众指明安检口的大致位置和方向. 通 过观察鸟巢的某个区的最前排的座位数为 12 个, 后面每排比前 一排多一个,总共 23 排,则这个区能容纳多少观众?
第二章 2.3 第1课时

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1.请你快速算出1+3+5+7+?+99=________.
2 .二次函数 y = 2x2 + x 的图象开口 ________ ,最小值为 ________.

3.在等差数列{an}中,a11+a13=a9+________.
[ 答案] 1 1.2 500 2.向上 -8 3.a15

第二章

2.3

第1课时

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1.数列的前 n 项和 一般地, 我们称 a1+a2+a3+?+an 为数列{an}的前 n 项和, 用 Sn 表示. (1)记法:Sn=a1+a2+a3+?+an. (2)an 与 Sn 的关系:若数列的前 n 项和为 Sn,则通项公式
? ?S1?n=1?, an=? ? ?Sn-Sn-1?n≥2?.

第二章

2.3

第1课时

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设数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2,则 a8 的值为( A.15 C.49 [ 答案] [ 解析] B.16 D.64

)

A 解法一:S8=82=64,S7=72=49,

a8=S8-S7=64-49=15. 解法二:∵Sn=n2,∴a1=S1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. ∵a1=1 也适合 an=2n-1,∴an=2n-1. ∴a8=2×8-1=15.
第二章 2.3 第1课时

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2.等差数列前 n 项和公式及其推导 对于首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an},我们用两种方 法表示 Sn. Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+?+[ a1+(n-1)d] , Sn=an+(an-d)+(an-2d)+?+[ an-(n-1)d] . ①+②,得 2Sn=

=n(a1+an),

第二章

2.3

第1课时

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n?a1+an? ∴Sn= . 2 将 an=a1+(n-1)d 代入上式,可得 n[a1+a1+?n-1?d] 1 Sn = =na1+2n(n-1)D. 2 因此, 等差数列的前 n 项和公式有两种表达形式, 分别为: n?a1+an? 1 Sn = 或 Sn=na1+2n(n-1)D. 2

第二章

2.3

第1课时

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注意:(1)等差数列前 n 项和公式的推导方法“倒序相加 法”,是解决数列求和问题的一种重要方法.主要适用于具有 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?特征的数列求和. (2)若已知数列的首项 a1、末项 an 及项数 n,则用公式 Sn n?a1+an? a1+an = 来求和.这里 2 是 a1 与 an 的等差中项,应用时 2 要注意结合等差数列的性质.

第二章

2.3

第1课时

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n?a1+an? (3)公式 Sn= 中涉及四个量:Sn、n、a1、an;公式 2 n?n-1? Sn=na1+ 2 d 中也涉及四个量:Sn、n、a1,d、结合等差 数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,对于等差数列中的五个量: Sn、n、a1、an、d,已知其中的三个可以求另外的两个量.

第二章

2.3

第1课时

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(1)若 a1=25,a5=33,则 S5=________; (2)若 a1=4,d=-1,则 S8=________.
[ 答案]
[ 解析]

(1)145 (2)4
5?a1+a5? 5×?25+33? (1)S5= = =145. 2 2

8×7×d 8×7×?-1? (2)S8=8a1+ 2 =8×4+ =4. 2

第二章

2.3

第1课时

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3.等差数列的前 n 项和 Sn 的性质 等差数列的前 n 项和 Sn 有以下五个常用的性质: (1)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则 Sn,S2n-Sn,S3n -S2n,?仍是等差数列,且公差为 n2D. (2)若等差数列的项数为 2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+
1),用

S 偶表示前 2n 项中的 a2+a4+?+a2n,用 S 奇表示前 2n

S奇 an 项中的 a1+a3+?+a2n-1,则 S 偶-S 奇=nd, = . S偶 an+1

第二章

2.3

第1课时

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(3)若等差数列的项数为 2n-1,则 S2n-1=(2n-1)an,用 S


表示前 2n-1 项中的 a2+a4+?+a2n-2,用 S 奇表示前 2n-1

S奇 n 项中的 a1+a3+?+a2n-1,则 S 奇-S 偶=an, = . S偶 n-1 (4)若数列{an},{bn}均为等差数列,且前 n 项和分别是 Sn, an S2n-1 Tn,则b = . T n 2 n -1 (5)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则当 p≠q(p,q∈N*) Sp+q Sp-Sq 时,有 = . p+q p-q 注意:利用性质(2)(3)时一定要分清项数为偶数还是奇数, 否则极易出错.
第二章 2.3 第1课时

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(1)等差数列{an}的前 m 项的和为 30, 前 2m 项的和为 100, 则它的前 3m 项的和为( A.130 C.210 ) B.170 D.260

(2)已知{an},{bn}均为等差数列,其前 n 项和分别为 Sn、 a5 Sn 2n+3 Tn,且T = ,则b =________. n + 3 n 5 5 [ 答案] (1)C (2)3

第二章

2.3

第1课时

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[ 解析]

(1) ∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列,

∴Sm+S3m-S2m=2(S2m-Sm), ∴30+S3m-100=2(100-30),∴S3m=210. a1+a9 9?a1+a9? 2 2 a5 S9 2×9+2 5 (2)∵b = = =T = =3. b1+b9 9?b1+b9? 9+3 5 9 2 2

第二章

2.3

第1课时

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课堂典例探究

第二章

2.3

第1课时

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有关等差数列的前n项和的基本运算

已知等差数列{an}中, 1 (1)a1=2,S4=20,求 S6; 3 1 (2)a1=2,d=-2,Sn=-15,求 n 及 an; (3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求 D.

第二章

2.3

第1课时

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[ 解析] ∴d=3.

4?4-1? (1)S4=4a1+ 2 d=4a1+6d=2+6d=20,

6?6-1? 故 S6=6a1+ 2 d=6a1+15d=3+15d=48. 3 n?n-1? 1 (2)∵Sn=n· 2+ 2 (-2)=-15, 整理得 n2-7n-60=0, 解得 n=12 或 n=-5(舍去), 3 1 ∴a12=2+(12-1)×(-2)=-4.
第二章 2.3 第1课时

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n?a1+an? n?-512+1? (3)由 Sn= = =-1022, 2 2 解得 n=4. 又由 an=a1+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d, 解得 d=-171.

第二章

2.3

第1课时

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设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,求 S7.
[ 解析] 7?a1+a7? 7?a2+a6? 7?3+11? 方法一:S7= = = =49. 2 2 2
? ?a1=1, 解得? ? ?d=2,

? ?a2=a1+d=3, 方法二:? ? ?a6=a1+5d=11.

则 a7=1+6×2

=13, 7?a1+a7? 7?1+13? ∴S7= = =49. 2 2

第二章

2.3

第1课时

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等差数列前n项和性质的应用
两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn, 2n Sn an Tn,若T = ,求b . 3 n + 1 n n

[ 分析]

既可利用 Sn,Tn 列方程组,建立首项与公差的关

S2n-1 an 系进行求解,也可利用 = 来求解. T2n-1 bn

第二章

2.3

第1课时

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[ 解析]

解法一:设 an=a1+(n-1)d,bn=b1+(n-1)e.

a1 S1 1 取 n=1,则b =T =2,∴b1=2a1. 1 1 n?n-1? n-1 n d na1+ 2 d a1+ 2 d a1+2d-2 2n Sn ∴T = = = n e=3n+1, n?n-1? n-1 n nb1+ 2 e b1+ 2 e 2a1+2e-2 3 2 3 d d 故 en +(4a1-e)n=2dn +(3a1-2d+2)n+a1-2.
2

? 3 ?e=2d, ? 从而?4a1-e=3a1-d, ? d ?a1- =0. 2 ?

? ?d=2a1, 即? ? ?e=3a1.

an 2n-1 ∴b = . 3 n - 1 n

第二章

2.3

第1课时

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a1+a2n-1 n?a1+a2n-1? 2 2 an 解法二:b = = b1+b2n-1 n?b1+b2n-1? n 2 2 S2n-1 2?2n-1? 2n-1 = = = . T2n-1 3?2n-1?+1 3n-1

[ 方法总结]

求解等差数列的有关问题时,注意利用等差

数列的性质以简化运算过程.

第二章

2.3

第1课时

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等差数列{an}与{bn}的前 n 项和之比为(5n+ a10 求b 的值. 10 [ 解析]

n+5),

设数列{an}的前 n 项和为 Sn,

数列{bn}的前 n 项和为 S′n. 19 ?a1+a19? a + a 2 a10 1 S19 19 由于等差数列的性质,得b = =19 = . b + b S ′ 10 1 19 19 ? b + b ? 19 2 1 S19 5×19+13 4 a10 4 由题意得 = =3,所以b =3. S′19 4×19+5 10
第二章 2.3 第1课时

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等差数列前n项和公式的实际应用
某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套住 房,共需 1 150 万元,购买当天先付 150 万元,按约定以后每 月这一天都交付 50 万元, 并加付所有欠款利息, 月利率为 1%, 若交付 150 万元后的一个月开始算分期付款的第一个月,问分 期付款的第 10 个月应付多少钱?全部付清后,买这 40 套住房 实际花了多少钱?

[ 分析]

由已知可得数列的通项公式,由题意即求 a10、S20.

第二章

2.3

第1课时

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[ 解析]

因购房时付 150 万元,则欠款 1 000 万元,依题意

分 20 次付款,则每次付款的数额顺次构成数列{an}. 则 a1=50+1 000×1%=60, a2=50+(1 000-50)×1%=59.5, a3=50+(1 000-50×2)×1%=59, a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5, ∴an=50+[1 000-50(n-1)] ×1% 1 =60-2(n-1) (1≤n≤20,n∈N).

第二章

2.3

第1课时

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1 ∴{an}是以 60 为首项,-2为公差的等差数列, 1 ∴a10=60-9×2=55.5, 1 a20=60-19×2=50.5. 1 ∴S20=2×(a1+a20)×20 =10×(60+50.5)=1 105. ∴实际共付 1 105+150=1 255(万元).

第二章

2.3

第1课时

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“嫦娥”奔月,举国欢庆,据科学计算运载“嫦娥”飞船 的“长征 3 号甲”火箭,点火 1min 内通过的路程为 2km,以 后每 min 通过的路程增加 2km, 在到达离地面 240km 的高度时, 火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是( A.10min C.15min [ 答案] C B.13min D.20min )

第二章

2.3

第1课时

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[ 解析]

由题设条件知,火箭每分钟通过的路程构成以 a1

=2 为首项,公差 d=2 的等差数列,∴nmin 内通过的路程为 n?n-1? Sn=2n+ 2 ×2=n2+n=n(n+1). 检验选项知,n=15 时,S15=240km.

第二章

2.3

第1课时

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an与Sn关系的应用
已知数列{an}满足 a1+2a2+?+nan=n(n+1)(n +2),求 an.

[ 分析]

注意观察条件等式左边可以发现,各项具有相同

的构成规律, 如果令 bn=nan, 则左端就是数列{bn}的前 n 项和.

第二章

2.3

第1课时

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[ 解析]

令 bn=nan, 则{bn}的前 n 项和 Sn=b1+b2+?+bn

=n(n+1)(n+2), ∴b1=S1=6,n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=n(n+1)(n+2)-(n -1)· n· (n+1)=3n(n+1). 当 n=1 时也适合,∴bn=3n(n+1), ∴an=3(n+1).

第二章

2.3

第1课时

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已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-8,求通项公式 an.

[ 解析]

当 n=1 时,a1=S1=-7;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-8-(n-1)2+8=2n-1. 又 a1=-7 不满足上式,
? ?-7?n=1? ∴an=? ? ?2n-1?n≥2?

.

第二章

2.3

第1课时

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已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+3n+2,判断 {an}是否为等差数列. [ 错解] ∵an=Sn-Sn-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)

+2] =2n+2. an+1-an=[2(n+1)+2] -(2n+2)=2(常数), ∴数列{an}是等差数列.

[ 辨析]

an=Sn-Sn-1 是在 n≥2 的条件下得到的,a1 是否

满足需另外计算验证.

第二章

2.3

第1课时

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[ 正解] 2] =2n+2,

a1=S1=6,

n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2+3n+2)-[(n-1)2+3(n-1)+
? ?6 ∴an=? ? ?2n+2

n=1 , n≥2

显然 a2-a1=4-6=-2, a3-a2=2,∴{an}不是等差数列.

第二章

2.3

第1课时

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等差数列的? ?数列的前n项和 ? 前n项和 ? ?等差数列的前n项和公式、推导与应用 等差数列前n项 ? ?等差数列前n项和的性质 ? 和的性质及应用? ?等差数列前n项和比值问题

第二章

2.3

第1课时

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课时作业
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第二章

2.3

第1课时


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