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高二数学必修二 第四章《圆与方程》导学案4.1圆的方程

高二数学必修 2

第四章 圆与方程

第四章 圆与方程 §4.1 圆的方程 §4.1.1 圆的标准方程(1)
【学习目标】 1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程. 2.利用圆的标准方程,会判断点与圆的位置关系. 【学习重点】 求圆的标准方程. 【学习难点】 根据不同的已知条件,判断点与圆的位置关系. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 118-119 页,完成自主学习) 1.已知两点 A(2, ? 5), B (6, 9),求它们之间的距离?若已知 C (3, ? 8), D (x , y ) ,求它们之间的 距离.

2.图中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?

3.具有什么性质的点的轨迹称为圆? 圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.

4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角 ,那么,在平 面内确定圆的条件是什么?

5.在平面直角坐标系中, 若一个圆的圆心 C (a, b) ,半径为 r (其中 a, b, r 都是常数, r ? 0 ), 圆的标准方程为__________________________________. 6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________
2 2 2

.

思考:圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被 确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形 条件. 二、合作探究 例 1:写出圆心为 A(2, ?3) 半径长等于 5 的圆的方程,判断 M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否在

这个圆上.

推广:设点 M ( x0 , y0 ) ,圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . 1, M 在圆上 ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 2, M 在圆外 ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 3, M 在圆内 ? ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2

r2 ; r2 ; r2 ;

例 2:圆的一条直径的两个端点分别是 A(2, 0), B(2, ?2) , 求圆的标准方程,并判断点 C (0,0),

D(2, ?2) 与该圆的位置关系

推广: 已知圆的一条直径的端点分别是 A( x1 , y2 ), B( x2 , y2 ), 求证此圆的方程是

( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0.
三、达标检测 1.写出下列各圆的标准方程. (1) 圆心在原点,半径是 3 ;

(2) 圆心在 C (3, 4) ,半径是 5 ;

(3) 经过点 P(5,1) ,圆心在点 C (8, ?3) ;

2.写出下列各圆的圆心坐标和半径: (1) ( x ? 1) ? y ? 6
2 2

(2) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 9
2 2

(3) ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 3
2 2

3.已知圆心在点 C (?3, ?4), 且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点 P 1 (?,0), P 2 (1, ?1),

P 3 (3, ?4) 和圆的位置关系.
四、学习小结 1.圆的标准方程 2.求圆的标准方程的方法有:

.

2

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第四章 圆与方程

§4.1.1 圆的标准方程(2)
【学习目标】 会用待定系数法求圆的标准方程. 【学习重点】 掌握求圆的标准方程的思路方法. 【学习难点】 领会用数形结合求圆的标准方程的思想. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 119-120 页,完成自主学习) 1.圆的定义是什么?

2.圆的标准方程是怎样的?

3.点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的关系的判断方法: (1)当点 M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上时,点 M 的坐标_____方程(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)当点 M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上时,点 M 的坐标______方程(x-a)2+(y-b)2=r2. (3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为: 1° 点到圆心的距离大于半径 ? 点在圆外 ? _________________. 2° 点到圆心的距离等于半径 ? 点在圆上 ? _________________. 3° 点到圆心的距离小于半径 ? 点在圆内 ? _________________. 二、合作探究 例 1: ?ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5,1), B(2, ?8), C (7, ?3) ,求它的外接圆的方程.

例 2:求经过点 A(1,1) , B(2, ?2) ,且圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上的圆的标准方程.

三、达标检测 1.写出下列各圆的标准方程: (1) 圆心在 y 轴上,半径长为 1 ,且过点 (1, 2) 的圆的方程;

(2)圆心在 x 轴上,半径长为 1 ,且过点 (2,1) 的圆的方程.

2.圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) ,求圆 C 的标准方 程.

3.求经过两点 A(?1, 4), B(3, 2) 且圆心在 y 轴上的圆的方程.

四、学习小结 1.确定圆的方程主要方法是_____________法,即列出关于 a、b、r 的方程组,求 a、b、r 或直 接求出圆心(a,b)和半径 r,一般步骤为: 1° 根据题意,设所求的圆的标准方程________________; 2° 根据已知条件,建立关于__________________的方程组; 3° 解方程组,求出___________的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. 2.思想方法总结:

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第四章 圆与方程

§4.1.2 圆的一般方程(1)
【学习目标】 能用圆的一般方程确定圆的圆心、半径. 【学习重点】 把握圆的一般方程的代数特征,能根据已知条件待定方程中的系数 D, E, F . 【学习难点】 根据已知条件选择待定圆的标准方程或一般方程. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 121-122 页,完成自主学习) 1.写出圆心为 ( a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程_______________________________. 2.将以 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程展开并整理得________________. 3.如果 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a2 ? b2 ? r 2 ,得到方程____________________,这说明圆的 方程还可以表示成另外一种非标准方程形式. 4.思考:能不能说方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 所表示的曲线一定是圆呢? 二、合作探究 1. ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 中 r ? 0 时表示___ _; r ? 0 时表示____________; 2.把式子 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 配方得_________________________________.
2 2
2 2 (ⅰ)当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示以_________为圆心,_____________

_为半径的圆;

2 2 (ⅱ)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ______ y ? ______,即只表示__________;

2 2 (ⅲ)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程______(有或没有)实数解,因而它_________________.

方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线_________(一定或不一定)是圆;但圆的方程
2 2

都能写成_________________的形式,只有当_____________时,它表示的曲线才是圆. 我们把形如 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的方程称为圆的_________方程.
2 2

3.圆的一般方程形式上的特点: (1)x2 和 y2 的系数_______且________. (2)没有_________这样的二次项. 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径. (1)

4x2 ? 4 y 2 ? 4x ? 12 y ? 9 ? 0

(2) x ? y ? 2by ? 0
2 2

例 2:求过三点 O(0, 0), M (1,1), N (4, 2) 的圆的一般方程,并求圆的半径长和圆心坐标.

三、达标检测 1.判断下列方程(1) x2 ? y 2 ? 6 y ? 0 (2) x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 (3) x2 ? y 2 ? 4mx ? 2my ? 20m ? 20 ? 0 能否表示圆,若能表示圆,求出圆心和半径.

2. ?ABC 的三个顶点分别为 A(?1,5), B(?2, ?2), C (5,5) ,求其外接圆的一般方程.

四、学习小结 用待定系数法求圆的方程的步骤是: 1.____________________________________________ 2._____________________________________________ 3._____________________________________________

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第四章 圆与方程

§4.1.2 圆的一般方程(2)
【学习目标】 掌握圆的一般方程及其特点, 会由圆的方程求出圆心、 半径会用待定系数法求圆的一般方程. 【学习重点】 圆的一般方程的特征和求圆的一般方程. 【学习难点】 用相关点法求轨迹方程. 【学习过程】 一、自主学习(阅读课本第 122-123 页,完成自主学习) 1.将下列圆的方程化为标准方程,并写出圆心坐标和半径: (1) x2 ? y 2 ? 2my ? 0(m ? 0);(2)2x2 ? 2 y 2 ? 4ax ? 2 ? 0.

2.圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ? _____ .

二、合作探究 例: 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3), 端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,求线段 AB
2 2

的中点 M 的轨迹方程.

三、达标检测 1.求以 A(1, ?1) 为圆心,且经过点 B(0,1) 的圆的一般方程.

2.若 A(5, 0), B(?1, 0), C (?3,3) 三点的外接圆为圆 M , 求圆 M 的方程,若点 D(m, 3) 在圆

M 上,求 m 的值.

3.求圆心在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上,且过点 A(5, 2), B(3, ?2) 的圆的方程.

4.已知点 P 在圆的 C : x ? y ? 8x ? 6 y ? 21 ? 0 上运动,求线段 OP 的中点坐标 M 的轨
2 2

迹方程.

四、学习小结 相关点法求轨迹方程的步骤: 1._______________________________________________________; 2._______________________________________________________; 3._______________________________________________________; 4._______________________________________________________;

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