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湖南省衡阳八中2013届高三第三次教育质量检测数学(文)试题


一、选择题: (本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M={x|x<3} N={x|log2 x>1} , ,则 M∩N=( A. ? B. x|0<x<3} { 0 2.tan780 的值为( ) C. x|1<x<3} { ) D. x|2<x<3} {

3 3 B. 3 3 3.以下说法错误的是( ) ..
A. ?

C. 3

D. ? 3

A.命题“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0? 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”. B. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.若 p ? q 为假命题,则 p 、q 均为假命题. D.若命题 p: ?x ? R,使得 x2 ? x ? 1 ? 0? 则 ?p ? ?x ? R,则 x2 ? x ? 1 ? 0 4.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( A.①和② ) C.③和④ D.②和④ )

B.②和③

5.若对任意的 x ? R ,函数 f (x) 满足 f(x+1)=-f(x),且 f(2013)=-2013,则 f(-1)=( A.1 B.-1 C.2013 ) (C) [1,??) ) (D) (??,?1] ? [1,??) D.-2013

6.函数 y ? log2 ( x 2 ? 1) ? log2 x 的值域是( (A) [0,?? ) (B) (??,?? )

7.函数 f ?x? ? x ln x 的图象大致是(

8.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C 1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 的正三角形,侧棱长为 3,则 AA1 与平面 AB1C 1 所成的角为( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

9 . 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x 1)的 图 像 关 于 (1, 0 对 称 , 且 当 x? ? ??,0? 时 , ? )

f ( x)? x ? ( x? 0 ( f )





f ?( x )
?



f ( x)
?









) ,



a ? ? 30.3 ? ? f ? 30.3 ? , b ? ? log? 3? ? f ? log? 3? , c ? ? log3 1 ? ? f ? log3 1 ? ,则 a, b, c 的大小关系是( ) ? ? ? ? 9 9
A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b
? ? D. a ? c ? b

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中相应的横线上) 10.复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是___________ 11.曲线 y ? x3 ? x ? 3 在点 ?1,3? 处的切线方程为____________. 12.一个几何体的三视图及其尺寸(单位: cm )如图所 示,则该几何体的侧面积为

1 i

cm2 .

? ? ? ? ? ? ? 13.向量 a 、 b 满足| a |=1,| b |=2,且 a 与 b 的夹角为 , 3 ? ? 则| a +2 b |= 14.已知函数 f ( x ) ? ax ?

x 4 ?1
x

是偶函数,则常数 a 的值为

1 ? ,x ? 0 ?x ? 15.已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 x, g ( x) ? ? , 4x ? x ? 1, x ? 0 ?
2

(1) g[ f (1)] ?



(2)若方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 的实数根的个数有 4 个,则 a 的取值范围是 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

16、如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,SD 垂直于底面 ABCD,SB= 3 , (1)求证:BC⊥SC; (2)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小.

17、 已知 △ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , cs A ? 且o

2 5 , 5

cos B ?

3 10 . 10

(Ⅰ)求 cos? A ? B ?的值; (Ⅱ)设 a ? 10 ,求 △ ABC 的面积.

18.在棱长为 2 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,E 是棱 C1 D1 的中点,F 是 侧面 AA1 D1 D 的中心. (1)求三棱锥 A1 ? D1 EF 的体积; (2)求 EF 与底面 A1 B1C1 D1 所成的角的正切值.

19、某产品原来的成本为 1000 元/件,售价为 1200 元/件,年销售量为 1 万件。由于市场饱和 .. 顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查,若投入 x 万元,每件产品的 .. 成本将降低

2 3x 元,在售价不变的情况下,年销售量将减少 万件,按上述方式进行产品升 . x .. 4

级和销售,扣除产品升级资金后的纯利润记为 f (x) (单位:万元) (纯利润=每件的利润 .. . ×年销售量-投入的成本) ⑴求 f (x) 的函数解析式; ⑵求 f (x) 的最大值,以及 f (x) 取得最大值时 x 的值. 1 20、 f(x)=2x3 +ax2 +bx+1 的导数为 f′(x), 设 若函数 y=f′(x)的图像关于直线 x=- 对 2 称,且 f′(1)=0.

(1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值.

21、设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; 1 (2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系; x 1 (3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立. a

参考答案
一、选择题: (本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.只有一项是符合题目要求的)

4.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( D A.①和② ) C.③和④ D.②和④ D )

B.②和③

5.若对任意的 x ? R ,函数 f (x) 满足 f(x+1)=-f(x),且 f(2013)=-2013,则 f(-1)=(

A.1

B.-1

C.2013 C ) (C) [1,??)

D.-2013

6.函数 y ? log2 ( x 2 ? 1) ? log2 x 的值域是( (A) [0,?? ) (B) (??,?? )

(D) (??,?1] ? [1,??)

7.函数 f ?x? ? x ln x 的图象大致是( A )

8.如图,在三棱柱 ABC ? A B1C 1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 1 的正三角形,侧棱长为 3,则 AA1 与平面 AB1C 1 所成的角为( A. A )
A 1

B1 C1

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
A

B

C

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中相应的横线上) 10.复数 1 ? 在复平面上对应的点的坐标是 (1, ?1) 11.曲线 y ? x3 ? x ? 3 在点 ?1,3? 处的切线方程为____________. 2 x ? y ? 1 ? 0 12.一个几何体的三视图及其尺寸(单位: cm )如图所
5 5 8 5 8 5

1 i

示,则该几何体的侧面积为 80

cm2 .

? ? ? ? ? ? ? 13.向量 a 、 b 满足| a |=1,| b |=2,且 a 与 b 的夹角为 , 3 ? ? 则| a +2 b |= 21 14.已知函数 f ( x ) ? ax ?

正(主)视图

侧(左)视图

x 4 ?1
x

是偶函数,则常数 a 的值为 ?

1 . 2

8

俯视图

1 ? ,x ? 0 ?x ? 15.已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 x, g ( x) ? ? , 4x ? x ? 1, x ? 0 ?
2

(1) g[ f (1)] ?

-2



(2)若方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 的实数根的个数有 4 个,则 a 的取值范围是 [1, ) 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16、如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,SD 垂直于底面 ABCD,SB= 3 , (1)求证:BC⊥SC; (2)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小. (1)证:∵底面 ABCD 是正方形, ∴BC⊥DC.∵SD⊥底面 ABCD, ∴SD⊥BC.又 DC∩SD=D, ∴BC⊥平面 SDC.∴BC⊥SC. (2) :如下图,取 AB 的中点 P,连结 MP、DP. 在△ABS 中,由中位线定理得 PM∥BS. ∴DM 与 SB 所成的角即为∠DMP. 又 PM2 =

5 4

3 5 2 ,DP 2 = ,DM2 = .∴DP 2 =PM2+DM2.∴∠DMP=90°. 4 4 4

∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°.

公司计划投入资金进行产品升级。 据市场调查, 若投入 x 万元, .. 每件产品的成本将降低

3x 元, 4 .

在售价不变的情况下,年销售量将减少

2 万件,按上述方式进行产品升级和销售,扣除产 x ..

品升级资金后的纯利润记为 f (x) (单位:万元)(纯利润=每件的利润×年销售量-投入的 .. . 成本) ⑴求 f (x) 的函数解析式; ⑵求 f (x) 的最大值,以及 f (x) 取得最大值时 x 的值.

1 3 2 20、 f(x)=2x +ax +bx+1 的导数为 f′(x), 设 若函数 y=f′(x)的图像关于直线 x=- 对 2 称,且 f′(1)=0. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值.

f′(x)、f(x)随 x 变化如下表 x f′(x) f(x)
(-∞,-2) + ? -2 0 极大值 (-2,1) - ? 1 0 极小值 (1,+∞) + ?

∴当 x=-2 时,f(x)取得极大值 f(-2)=21,在 x=1 处取得极小值 f(1)=-6. 21、设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; 1 (2)讨论 g(x)与 g( )的大小关系;

x

1 (3)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立.

a


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