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浙江省镇海中学2018-2019学年高中数学竞赛模拟(一)试题

2018-2019 学年镇海中学数学竞赛模拟试卷(1) 名_______ 平气和,不要紧张,像对待平时考试一样去做题,做完检查一下题目,不要直接交卷,检查下有没有错的地方,然后耐心等待考试结束。 姓 填空题温馨提示:多少汗水曾洒下,多少期待曾播种,终是在高考交卷的一刹尘埃落地,多少记忆梦中惦记,多少青春付与流水,人生,总有一次这样的成败,才算长大。高考保持心 一、 l n a) ? f ( l n 1、已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? a 2 x 2 ? ax) ? 1 (a ? 0) , 则 f( 1 ) ? ____________. a 2、A,B 两点分别在抛 物线 y 2 ? 6 x 和 ⊙C : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 上, 则 AB 的取值范围 是 ____________. 3、若 tan? ? 3 tan β ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ,则 ? ? ? 的最大值为____________. 2? 4、已知△ ABC 等腰直角三角形,其中∠C 为直角,AC=BC=1,过点 B 作平面 ABC 的垂线 DB, 使得 DB=1,在 DA、DC 上分别取点 E、F,则△ BEF 周长的最小值为____________. 5、已知函数 f ( x) ? x ? 3x ,对任意的 m ? ?? 2,2?, f (mx? 8) ? f (2 ) ? 0 恒成立,则正 . 3 x 实数 ..x 的取值范围为____________. 6、已知向量 a,b,c 满足 | a |:| b |:| c |? 2 : k : 3(k ? N * ) ,且 b ? a ? 2(c ? b) ,若 ? 为 a,c 的夹 角,则 cos? 的值为____________. 7、现有一个能容纳 10 个半径为 1 的小球的封闭的正四面体容器,则该容器棱长最小值为 ____________. 8、将 10 个小球(5 个黑球和 5 个白球)排场一行,从左边第一个小球开始向右数小球,无 论数几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________. 二、解答题 9.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 对 边 的 边 长 分 别 是 a,b,c , 向 量 p ? ?sin A ? sin C, sin B? ,向量 q ? (a ? c, b ? a) ,且满足 p ? q . (Ⅰ)求△ ABC 的内角 C 的值; (Ⅱ)若 c=2,2sin2A+sin(2B+C)=sinC,求△ ABC 的面积. 2 10.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ?满足: a1 ? 2,an?1 ? an ? 2an . (1)求证:数列 ?lg( an ? 1)?是等比数列,并求 ?an ?的通项公式; (2)若 bn ? 1 1 ,且数列 ?bn ?的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 1 . ? an an ? 2 11.(本小题满分 14 分)设 f ( x) ? e x ? ax ? a .(e 是自然对数的底数) (Ⅰ)若 f ( x) ? 0 对一切 x ? ?1 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求证: ( ? 2015 1008 ) ?e 2. 2016 1 12.(本小题满分 15 分)设正数 x,y 满足 x3 ? y3 ? x ? y ,求使 x 2 ? λ y2 ? 1 恒成立的实数 ? 的 最大值. 13.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C : 1 x2 ? y 2 ? 1及点 P (1, ) ,过点 P 作直线 l 与椭圆 C 交于 2 2 A、B 两点,过 A、B 两点分别作 C 的切线交于点 Q. (1)求点 Q 的轨迹方程; (2)求△ ABQ 的面积的最小值. 数学竞赛模拟试卷(1)答案 1.【解析】 f ( x) ? f (? x) ? ln( 1 ? a 2 x 2 ? ax) ? ln( 1 ? a 2 x 2 ? ax) ? 2 ? ln(1 ? a 2 x 2 ? a 2 x 2 ) ? 2 ? 2 . 2.【解析】由于 AB ? AC ?1 ,则只需要考虑 AC 的范围. 故 AB 的取值范围为 ?1 , ? ?? . 3.【解析】 tan?α ? ? ? ? AC ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? 6 x ? x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3, 又x ? 0, 故 AC min ? 2, 2 tan? ? tan ? 2 tan ? ? ? 1 ? tan? tan ? 1 ? 3 tan2 ? 2 1 ? 3 tan ? tan ? ? 3 ? ? tan 3 6 π π ? ?0 ? β ? α ? , ?0 ? α ? ? ? .? α ? β ? . 2 2 6 4.【解析】由题意可知, ?CDB ? 之和为 ? ? .如图, 将侧面 BDA 和侧面 CDB 分别折起至面 B1DA 2 和 B2 DC ,且与侧面 ADC 位于同一个平面上.则△ BEF 周长的 最小值即面 AB1DB2C 上两点 B1 , B2 之间的线段长. 由 前 面 的 分 析 可 知 , 4 ,且∠BDA 与∠CDA π π 3π ?B1 DB 2 ? ?B1 DA ? ?ADC ? ?CDB 2 ? ? ? , 2 4 4 2? 由余弦定理可得, B B ? B D 2 ? B D 2 ? 2B D ? B D ? cos?B DB ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ?? ? ? 2 ? 2. 1 2 1 2 1 2 1 2 ? ? ? 2 ? 所以,△ BEF 周长的最小值为 2 ? 2 . f (mx? 8) ? ? f (2x ) ?

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