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2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年福建省泉州市南安一中高二 (上) 期末数学试卷 (文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.把答案填在答题卡相应位置) 1.一位母亲记录了儿子 3﹣9 岁的身高,收集了好几组数据(略) ,由此建立的身高与年龄的回归模 型为 y=7.18x+73.95,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( ) A.身高在 145.75cm 以上 B.身高在 145.75cm 左右 C.身高一定是 145.75cm D.身高在 145.75cm 以下 2.已知直线方程为 x+y+1=0,则该直线的倾斜角为( A.45° B.60° C.90° D.135° )

3.原命题“若 x≤﹣3,则 x<0”的逆否命题是( ) A.若 x<﹣3,则 x≤0 B.若 x>﹣3,则 x≥0 C.若 x<0,则 x≤﹣3 D.若 x≥0,则 x>﹣3 4.当 K >6.635 时,认为事件 A 与事件 B( A.有 95%的把握有关 B.有 99%的把握有关 C.没有理由说它们有关 D.不确定
2 2 2



5.直线 4x+3y﹣5=0 与圆(x﹣1) +(y﹣2) =9 相交于 A、B 两点,则 AB 的长度等于( A.1 B. C.2 D.4 6.“x ﹣1>0”是“x>1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分 也不必要条件
2



7.已知焦点在 x 轴上的椭圆过点 A(﹣3,0) ,且离心率 e= A. =1 B. =1

,则椭圆的标准方程是(



C.

=1

D.

=1

[来源:Zxxk.Com]

8.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若△ ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.

1

9.设双曲线 ( A. ) B.y=±2x C.

的虚轴长为 2,焦距为

,则双曲线的渐近线方程为

D.

10.设线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,且|AB|=4,点 M 是线段 AB 的中点,则 点 M 的轨迹方程是( )

A.

=1

B.x +y =4 C.x ﹣y =4 D.

2

2

2

2

+

=1

11.直线 y=x﹣3 与抛物线 y =4x 交于 A、B 两点,过 A、B 两点向抛物线的准线 l 作垂线,垂足分 别为 P、Q,则梯形 APQB 的面积为( ) A.36 B.48 C.56 D.64

2

12.椭圆:

=1 上的一点 A 关于原点的对称点为 B,F2 为它的右焦点,若 AF2⊥BF2,则三 )

角形△ AF2B 的面积是(

A.15

B.32

C.16

D.18

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置) 13.命题 p“?x∈R,sinx≤1”的否定是 .

2

14.抛物线 x =﹣2y 的焦点坐标为
2 2

2



15.如果实数 x,y 满足(x+2) +y =3,则 的最大值是



16.已知 M(﹣5,0) ,N(5,0)是平面上的两点,若曲线 C 上至少存在一点 P,使|PM|=|PN|+6, 则称曲线 C 为“黄金曲线”.下列五条曲线: ① ﹣ =1; ②y =4x;
2





=1;



+

=1;

⑤x +y ﹣x﹣3=0 . (写出所有“黄金曲线”的序号)

2

2

其中为“黄金曲线”的是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知直线 l1:ax+2y+6=0,直线 (1)若 l1⊥l2,求 a 的值; (2)若 l1∥l2,求 a 的值. .

18.顶点在原点,焦点在 y 轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为 2. (1)求抛物线的标准方程; (2)若直线 l:y=2x+1 与抛物线相交于 A,B 两点,求 AB 的长度.

19.已知命题 p:“?x∈[1,2],x ﹣a≥0”,命题 q:关于 x 的方程 x +2ax+a+2=0 有解.若命题“p 且 q” 是真命题,求实数 a 的取值范围.

2

2

3

20.“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查,统计出售价 x 元和销售量 y 杯之间的 一组数据如下表所示: 5 5.5 6.5 7 价格 x 12 10 6 4 销售量 y 通过分析,发现销售量 y 对奶茶的价格 x 具有线性相关关系. (Ⅰ)求销售量 y 对奶茶的价格 x 的回归直线方程; (Ⅱ)欲使销售量为 13 杯,则价格应定为多少?

注:在回归直线 y=

中,



= ﹣



=146.5.

21.设 A、B 分别为双曲线 点到渐近线的距离为 . (1)求双曲线的方程; (2)已知直线

的左右顶点,双曲线的实轴长为

,焦

与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使

,求 t 的值及点 D 的坐标.

22.如图,中心在原点的椭圆的焦点在 x 轴上,长轴长为 4,焦距为 2 ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)是否存在过 M(0,2)的直线与椭圆交于 A,B 两个不同点,使以 AB 为直径的圆过原点? 若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.

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2015-2016 学年福建省泉州市南安一中高二(上)期末数学试 卷(文科)参考答案与试题解析
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.把答案填在答题卡相应位置) 1.一位母亲记录了儿子 3﹣9 岁的身高,收集了好几组数据(略) ,由此建立的身高与年龄的回归模 型为 y=7.18x+73.95,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( ) A.身高在 145.75cm 以上 B.身高在 145.75cm 左右 C.身高一定是 145.75cm D.身高在 145.75cm 以下 【考点】线性回归方程. 【专题】函数思想;分析法;概率与统计. 【分析】利用回归方程估计的数值都是估计值,有一定的误差. 【解答】解:将 x=10 代入回归方程得 y=71.8+73.95=145.75. 由于回归方程预测的数值估计值与真实值之间存在误差, 故孩子 10 岁时身高在 145.75cm 左右. 故选:B. 【点评】本题考查了线性回归方程的拟合效果,属于基础题. 2.已知直线方程为 x+y+1=0,则该直线的倾斜角为( ) A.45° B.60° C.90° D.135° 【考点】直线的倾斜角. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;直线与圆. 【分析】由直线方程求出直线的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角. 【解答】解:由直线方程 x+y+1=0, 得其斜率 k=﹣1, 设其倾斜角为 α(0°≤α<180°) , 则 tanα=﹣1, ∴α=135°. 故选:D. 【点评】本题考查直线的倾斜角,考查了直线倾斜角和斜率的关系,是基础题.
[来源:Zxxk.Com]

3.原命题“若 x≤﹣3,则 x<0”的逆否命题是( ) A.若 x<﹣3,则 x≤0 B.若 x>﹣3,则 x≥0 C.若 x<0,则 x≤﹣3 D.若 x≥0,则 x>﹣3 【考点】四种命题. 【专题】简易逻辑. 【分析】直接利用四种命题中题设和结论之间的关系求出结果. 【解答】解:原命题“若 x≤﹣3,则 x<0” 则:逆否命题为:若 x≥0,则 x>﹣3 故选:D 【点评】本题考查的知识要点:四种命题的应用转换.属于基础题型. 4.当 K >6.635 时,认为事件 A 与事件 B( A.有 95%的把握有关 B.有 99%的把握有关
2



5

C.没有理由说它们有关 D.不确定 【考点】独立性检验的应用. 【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计. 【分析】根据所给的观测值同临界值的比较,得到有 1﹣0.01=99%的把握认为事件 A 与事件 B 有关 系,得到结果. 2 【解答】解:∵K >6.635, ∴有 1﹣0.01=99%的把握认为两个事件有关系, 故选:B. 【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的作用,本题解题的关键是理解临界值对应的概率的意 义,本题是一个基础题.
[来源:学|科|网]

5.直线 4x+3y﹣5=0 与 圆(x﹣1) +(y﹣2) =9 相交于 A、B 两点,则 AB 的长度等于( A.1 B. C.2 D.4 【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】直线与圆. 【分析】根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可. 【解答】解:圆心坐标为(1,2) ,半径 R=3, 圆心到直线的距离 d= = ,

2

2



则|AB|=2

=2

=

=4



故选:D 【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用,利用弦长公式是解决本题的关键. 6.“x ﹣1>0”是“x>1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;定义法;不等式的解法及应用;简易逻辑. 2 【分析】由 x ﹣1>0,解得 x>1 或 x<﹣1.即可判断出结论. 2 【解答】解:由 x ﹣1>0,解得 x>1 或 x<﹣1. 2 “x ﹣1>0”是“x>1”必要不充分条件. 故选:B. 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题.
2

7.已知焦点在 x 轴上的椭圆过点 A(﹣3,0) ,且离心率 e= A. =1 B. =1

,则椭圆的标准方程是(



6

C.

=1

D.

=1

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设椭圆的方程为 + =1(a>b>0) ,由题意可得 a=3,由离心率公式和 a,b,c 的关系,

可得 b,进而得到椭圆方程. 【解答】解:设椭圆的方程为 + =1(a>b>0) ,

由题意可得 a=3,e= = 可得 c= ,b=

, = =2,

则椭圆方程为

+

=1.

故选:D. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的性质及离心率公式和 a,b,c 的关系,考查 运算能力,属于基础题. 8.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若△ ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) A. B. C. D.

【考点】椭圆的应用;椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】由△ ABF2 是正三角形可知 离心率. 【解答】解:由题 ∴ ∴ 解之得: , (负值舍去) . , ,∴ 即 ,即 ,由此推导出这个椭圆的

故答案选 A. 【点评】本题考查椭圆的基本性质及其应用,解题要注意公式的合理选取.

7

9.设双曲线 ( A. ) B.y=±2x C.

的虚轴长为 2,焦距为

,则双曲线的渐近线方程为

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题意知 线方程为 【解答】解:由已知得到 因为双曲线的焦点在 x 轴上, 故渐近线方程为 ; . , ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,由此可知渐近

故选 C. 【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质和运用.考查了同学们的运算能力和推理能力. 10.设线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,且|AB|=4,点 M 是线段 AB 的中点,则 点 M 的轨迹方程是( )

A.

=1

B.x +y =4 C.x ﹣y =4 D.

2

2

2

2

+

=1

【考点】轨迹方程. 【专题】直线与圆. 【分析】可以取 AB 的中点 M,根据三角形 ABO 是直角三角形,可知 OM=2 是定值,故 M 的轨迹 是以 O 为圆心,半径为 2 的圆.问题获解. 【解答】解:设 M(x,y) ,因为△ ABC 是直角三角形,所以||OM|= 故 M 的轨迹为:以 O 为圆心,2 为半径的圆. 2 2 故 x +y =4 即为所求. 故选 B 定值.

8

【点评】本题考查了圆的轨迹定义,一般的要先找到动点满足的几何条件,然后结合曲线的轨迹定 义去判断即可.然后确定方程的参数,写出方程. 11.直线 y=x﹣3 与抛物线 y =4x 交于 A、B 两点,过 A、B 两点向抛物线的准线 l 作垂线,垂足分 别为 P、Q,则梯形 APQB 的面积为( ) A.36 B.48 C.56 D.64 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】依题意联立方程组消去 y,进而求得交点的坐标,进而根据|AP|,|BQ |和|PQ|的值求得梯形 APQB 的面积. 2 【解答】解:直线 y=x﹣3 与抛物线 y =4x 交于 A,B 两点, 过 A,B 两点向抛物线的准线:x=﹣1 作垂线,垂足分别为 P,Q, 联立方程组得 消元得 x ﹣10x+9=0, 解得 ,和 ,
2 2



即有 A(9,6) ,B(1,﹣2) , 即有|AP|=10,|BQ|=2,|PQ|=8, 梯形 APQB 的面积为 ×(10+2)×8=48, 故选 B.

【点评】本题主要考查了抛物线与直线的关系.常需要把直线与抛物线方程联立根据韦达定理找到 解决问题的途径.

12.椭圆:

=1 上的一点 A 关于原点的对称点为 B,F2 为它的右焦点,若 AF2⊥BF2,则三 )

角形△ AF2B 的面积是(

9

A.15 B.32 C.16 D.18 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 【分析】AO=BO=c=3,设 A(x,y) ,则 x +y =9,由此能求出三角形△ AF2B 的面积. 【解答】解:椭圆 =1 中,a=5,b=4,c=3,

∵椭圆

=1 上的一点 A 关于原点的对称点为 B,F2 为它的右焦点,AF2⊥BF2,

∴AO=BO=c=3, 2 2 设 A(x,y) ,则 x +y =9, ∵ ∴|y|= =1, =4,

∴三角形△ AF2B 的面积是 2× ×4×4=16, 故选:C.

【点评】本题考查三角形面积的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置) 13.命题 p“?x∈R,sinx≤1”的否定是 ?x∈R,sinx>1 . 【考点】命题的否定. 【专题】综合题. 【分析】直接把语句进行否定即可,注意否定时?对应?,≤对应>. 【解答】解:根据题意我们直接对语句进行否定 命题 p“?x∈R,sinx≤1”的否定是:?x∈R,sinx>1. 故答案为:?x∈R,sinx>1.

10

【点评】本题考查了命题的否定,注意一些否定符号和词语的对应.
2

14.抛物线 x =﹣2y 的焦点坐标为 【考点】抛物线的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.



【分析】抛物线 x =﹣2py(p>0)的焦点坐标为(0,﹣ ) . 【解答】解:∵抛物线 x =﹣2y 中,2p=2,解得 p=1, ∴抛物线 x =﹣2y 的焦点坐标为 故答案为: .
2 2

2



【点评】本题考查抛物线的焦点坐标的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意抛物线的简单性 质的灵活运用.
2 2

15.如果实数 x,y 满足(x+2) +y =3,则 的最大值是 【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题;数形结合;综合法;直线与圆.



【分析】设 =k, 的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值,由数形结合法的方 式,易得答案 【解答】解:设 =k,则 y=kx 表示经过原点的直线,k 为直线的斜率. 所以求 的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值, 如图示: 从图中可知,斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切, 此时的斜率就是其倾斜角∠EOC 的正切值. 易得|OC|=2,|CE|=r= ,可由勾股定理求得|OE|=1, 于是可得到 k=tan∠EOC= 故答案为: . = ,即为 的最大值.

[来源:学&科&网]

11

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,数形结合是解决问题的关键,属中档题. 16.已知 M(﹣5,0) ,N(5,0)是平面上的两点,若曲线 C 上至少存在一点 P,使|PM|=|PN|+6, 则称曲线 C 为“黄金曲线”.下列五条曲线: ① ﹣ =1; ②y =4x;
2





=1;



+

=1;

⑤x +y ﹣x﹣3=0

2

2

其中为“黄金曲线”的是 ②⑤ . (写出所有“黄金曲线”的序号) 【考点】曲线与方程. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据双曲线的定义,可得点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,2a=6 的双曲线,由此算出所求双 曲线的方程.再分别将双曲线与五条曲线联立,通过解方程判断是 否有交点,由此可得答案. 【解答】解:∵点 M(﹣5,0) ,N(5,0) ,点 P 使|PM|﹣|PN|=6, 2 2 2 2 2 ∴点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,2a=6 的双曲线,可得 b =c ﹣a =5 ﹣3 =16, 则双曲线的方程为 =1(x>0) ,

对于①,两方程联立,无解.则①错; 对于②,联立 y =4x 和
2

=1(x>0) ,解得 x=

成立,则②成立;

对于③,联立



=1 和

=1(x>0) ,无 解,则③错;

对于④,联立

+

=1 和

=1(x>0) ,无解,则④错;

对于⑤,联立 x +y ﹣x﹣3=0 和

2

2

=1(x>0) ,化简得 25x ﹣9x﹣171=0,

2

由韦达定理可得两根之积小于 0,必有一个正根,则⑤成立. ∴为“黄金曲线”的是②⑤. 故答案为:②⑤. 【点评】本题考查双曲线的定义和方程,考查联立曲线方程求交点,考查运算能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知直线 l1:ax+2y+6=0,直线 .

(1)若 l1⊥l2,求 a 的值; (2)若 l1∥l2,求 a 的值. 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关 系;直线的一般式方程与直线的垂直关系.

12

【专题】计算题. 【分析】 (1)当两条直线垂直时,斜率之积等于﹣1,解方程求出 a 的值. (2)利用两直线平行时,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求出 a 的值. 【解答】解: (1)l1⊥l2 时,a×1+2×(a﹣1)=0, 解得 a= . ∴a= . (2)∵a=1 时,l1 不平行 l2, ∴l1∥l2? ,

解得 a=﹣1. 【点评】本题考查两直线相交、垂直、平行、重合的条件,体现了转化的数学思想.属于基础题. 18.顶点在原点,焦点在 y 轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为 2. (1)求抛物线的标准方程; (2)若直线 l:y=2x+1 与抛物线相交于 A,B 两点,求 AB 的长度. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】综 合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)利用抛物线的定义,求出 p,即可求抛物线的标准方程; (2)直线 l:y=2x+1 与抛物线联立,利用韦达定理及抛物线的定义,即可求 AB 的长度. 【解答】解: (1)由题意,焦点在 y 轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为 2,可知 p=2.…(1 分) ∴抛物线标准方程为:x =4y…(4 分) (2)直线 l:y=2x+l 过抛物线的焦点 F(0,1) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ∴|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2…(8 分) 联立 得 x ﹣8x﹣4=0…(9 分)
2 2

∴x1+x2=8…(10 分) ∴|AB|=y1+y2+2=2x1+1+2x2+1+2=2(x1+x2)+4=20…(12 分) 【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查直线与抛物线的位置关系,正确运用抛物线的定义是关 键. 19.已知命题 p:“?x∈[1,2],x ﹣a≥0”,命题 q:关于 x 的方程 x +2ax+a+2=0 有解.若命题“p 且 q” 是真命题,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】综合题;转化思想;转化法;简易逻辑. 【分析】先求出命题 p,q 同时为真命题的条件,然后利用补集思想求“p 且 q”为假命题的条件即可. 2 【解答】解:若 p 是真命题.则 a≤x , 2 ∵x∈[1,2],1≤x ≤4, ∴a≤1,即 p:a≤1. 2 若 q 为真命题,则方程 x +2ax+a+2=0 有实根,
2 2

13

∴△=4a2﹣4(a+2)≥0, 即 a2﹣a﹣2≥0, 即 q:a≥2 或 a≤﹣1. 若“p 且 q”为真命题,则 p,q 都是真命题, 即 ,即 a≤﹣1

∴“p 且 q”是真命题时,实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣1]. 【点评】 本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系, 利用条件先求出 p, q 同时为真命题的条件, 解决本题的关键. 20.“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查,统计出售价 x 元和销售量 y 杯之间的 一组数据如下表所示: 5 5.5 6.5 7 价格 x 12 10 6 4 销售量 y 通过分析,发现销售量 y 对奶茶的价格 x 具有线性相关关系. (Ⅰ)求销售量 y 对奶茶的价格 x 的回归直线方程; (Ⅱ)欲使销售量为 13 杯,则价格应定为多少?

注:在回归直线 y=

中,



= ﹣



=146.5. 【考点】线性回归方程. 【专题】函数思想;综合法;概率与统计. 【分析】 (1)根据回归系数公式计算回归系数; (2)把 y=13 代入回归方程计算 x. 【解答】解: (Ⅰ) = =6, = =8.

= 5×12+5.5×10+6.5×6+7×4=182,

=5 +5.5 +6.5 +7 =146.5,

2

2

2

2

=

=﹣4,

=8+4×6=32.

∴销售量 y 对奶茶的价格 x 的回归直线方程为

=﹣4x+32.

(Ⅱ)令﹣4x+32=13,解得 x=4.75. 答:商品的价格定为 4.75 元. 【点评】本题考查了线性回归方程的解法和数值估计,属于基础题.

14

21.设 A、B 分别为双曲线 点到渐近线的距离为 . (1)求双曲线的方程; (2)已知直线

的左右顶点,双曲线的实轴长为

,焦

与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使

,求 t 的值及点 D 的坐标. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由实轴长可得 a 值,由焦点到渐近线的距离可得 b,c 的方程,再由 a,b,c 间的平方 关系即可求得 b; (2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,D(x0,y0) ,则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0, 联立直线方程与双曲线方程消掉 y 得 x 的二次方程,由韦达定理可得 x1+x2,进而求得 y1+y2,从而 可得 ,再由点 D 在双曲线上得一方程,联立方程组即可求得 D 点坐标,从而求得 t 值; ,得 y=0, ,

【解答】解: (1)由实轴长为 渐近线方程为 x,即 bx﹣2 ,
2 2

∵焦点到渐近线的距离为 ∴
2

,又 c =b +a ,∴b =3,

2

∴双曲线方程为:



(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,D(x0,y0) ,则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,





∴y1+y2=

﹣4=12,



,解得

,∴t=4,

∴ ,t=4. 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解,考查向量的线性运算,考 查学生分析问题解决问题的能力.

15

22.如图,中心在原点的椭圆的焦点在 x 轴上,长轴长为 4,焦距为 2 ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)是否存在过 M(0,2)的直线与椭圆交于 A,B 两个不同点,使以 AB 为直径的圆过原点? 若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.
[来源:学科网 ZXXK]

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (Ⅰ) 设椭圆的方程为: 继而得出椭圆方程.
2 2

, 由

继而求出 b =a ﹣c =1,

2

2

2

(Ⅱ)设直线斜率为 k,则直线 l 的方程为:y=kx+2,由

得: (4k +1)x +16kx+12=0,

由 OA⊥OB 得到 x1x2+y1y2=0.代入求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)设椭圆的方程为: ∵ …(2 分)∴b =a ﹣c =1…(3 分) …(4 分)
2 2 2

,∵2a=4∴a=2…(1 分)

所以,椭圆的方程为:

(Ⅱ)法一:假设存在过 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,使以 AB 为直径的圆过 原点,依题意可知 OA⊥OB. ①当直线 l 的斜率不存在时,A、B 分别为椭圆短轴的端点,不符合题意 …(5 分) ②当直线 l 的斜率存在时,设为 k,则直线 l 的方程为:y=kx+2
2 2



得: (4k +1)x +16kx+12=0…(6 分)

令△ >0,得: (16k) ﹣4?(4k +1)?12=4k ﹣3>0∴ 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

2

2

2

…(7 分) …(8 分)

16

又 y1=kx1+2, y2=kx2+2∴ = =

…(9 分)

∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…(10 分)∴



∴k=±2…(11 分)

∴直线 l 的方程为:y=±2x+2,即 2x﹣y+2=0 或 2x+y﹣2=0, 所以,存在过 M(0,2)的直线与椭圆交于 A、B 两个不同点,使以 AB 为直径的圆过原点,其方 程为:2x﹣y+2=0 或 2x +y﹣2=0.…(12 分) (Ⅱ)法二:假设存在过 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,使以 AB 为直径的圆过 原点,依题意可知 OA⊥OB,设直线 l 的方程为:x=m(y﹣2)…(5 分)
2 2 2 2



得: (m +4)y ﹣4m y+4m ﹣4=0…(6 分)

令△ >0,得:16m ﹣4? (m +4)?(4m ﹣4)=64﹣48m >0∴

4

2

2

2

…(7 分)

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

…(8 分)

又 ∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…(10 分) ∴ ∴ ,

=

…(9 分)



…(11 分)∴所求直线的方程为:

,即 2x﹣y+2=0 或 2x+y﹣2=0

所以,存在过 M(0,2)的直线与椭圆交于 A、B 两个不同点,使以 AB 为直径的圆过原点,其方 程为:2x﹣y+2=0 或 2x+y﹣2=0…(12 分) 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合题,属于难度较大的题目,计算量大,在高考中经常 在压轴题中出现.

17


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