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(新课程)高中数学 3.3《幂函数》3教案 新人教B版必修1

借幂函数比较大小
比较大小问题是幂函数中的一种常见题型.下面介绍几种方法,供同学们学习时参考. 一、直接法 当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较. 例1 比较下列各组中两个值的大小:

0.6 ; (1) 0.7 ,
1.5 1.5

(2) 2.2

?

2 3

, 1.8

?

2 3



解析:题中两组值都是幂运算的结果,且指数相同, 因此可以利用幂函数的性质来判断它 们的大小. (1)∵幂函数 y ? x1.5 在[0,+∞)上为增函数,又 0.7>0.6, ∴ 0.7
1.5

? 0.61.5 ;
? 2 3

(2)∵幂函数 y ? x ∴ 2.2
? 2 3

在(0,+∞)上为减函数,又 2.2>1.8,

> 1.8

?

2 3


a

例 2 函数 f (x) ? (a ? b)x 3 ? b ? 3 是幂函数,比较 f ( a ) 与 f (b) 的大小. 解析:∵ f ( x ) 是幂函数,

∴?

?a ? 4, ?b ? 3 ? 0, ,解得 ? ?b ? 3. ?a ? b ? 1
4 3

∴ f (x) ? x . ∵函数 f ( x) ? x 3 在(0,+∞)上是增函数,且 a>b>0, ∴ f (a) ? f (b) . 二、转化法 当幂指数 不同时可先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小. 例3 比较 (? 2) , 0.7) , (? 1.1
2 3 ? 2
2 3 ? 2 3 ? 4 3 4

的大小.

4 2 2 2 ? ? ? 2? 3 ? ? 解析: (? 2) ? ? , 0.7) 3 ? 0.7 3 , 1.1 3 ? 1.21 3 . (? ? 2 ? ? ? ?

∵幂函数 y ? x

?

2 3

在(0,+∞)上单调递减,且 0.7<

2 <1.21, 2

1

∴ 0.7

2 ? 3

? 2? ?? ? 2 ? ? ? ?
? 2 3

?

2 3

? 1.21 3 .
2 ? 4

?

2

∴ (?0.7)

? (? 2) 3 ? 1.1 3 .

三、中间值法 当底数不同且幂指数也不同, 不能运用单调性比较大小时, 可选取适当的中间值与比较大小 的两数分别比较,从而达到比较大小的目的. 例4 比较 0.8
1 2

与 0.9 的大小.

1 3

解析: 由于这两个数的底数不同, 指数也不同, 所以可利用中间值来间接比较它们的大小. 注 意到这两个数的特点,中间值应选 0.9 或 0.8 . ∵
1 1 >0,∴幂函数 y ? x 2 在(0,+∞)上是 增函数. 2
1 1 1 3 1 2

又 0.8<0.9, ∴0.8 2 <0.9 2 .
1 1 1 1 2 又 0<0.9<1,指数函数 y ? 0.9 在(0,+∞)上是减函数,且 > ,∴0.9 <0.9 3 . 2 3

x

综上可得 0.8 <0.9 . 四、模型函数法 若函数 y ? f ( x) 满足性质: f ( xy) ? f ( x)?f ( y),f ?
a

1 2

1 3

? x ? f ( x) 等,则可以认为其模型函 ?? ? y ? f ( y)

数为幂函数 f ( x) ? x .对 于此类抽象函数的大小比较问题,我们常通过寻找、发现基本原 型函数来求 解. 例5 已知函数 f ( x ) 满足 f ? (填“>、=、<”).
? 解析: f ( x ) 的原型函数是 f ( x) ? x ( ? 为常数),

? x ? f ( x) ,且 f(8)=4,则 ?? ? y ? f ( y)

? 2? f? ? 2 ? _________ ? ? ?

? 3? f ?? ? 3 ? ? ? ?

又 f(8)=4,
? ∴ 4 ? 8 ,∴ ? ?
2 3

2 . 3

于是 f ( x) ? x ,显然该函数是偶函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,在(-∞,0) 上是减函数, f ? ? ?

? ?

? 3? ? 2? 3? ?? f ? ? ? 3 ?? f ? 2 ?. ? ? ? 3 ? ? ? ? ?

2

3


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