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福建省南安一中2012-2013学年高二下学期期中数学理试题

南安一中 2012~2013 学年度高二下学期期中考

数学科(理科)试卷
试卷考试内容为:选修 2-3 及必修 3 第三章及选修 4-2,满分150分,考试时间120分 钟. 注意事项:1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.作答时,请将答案答在答题纸上,在本试卷上答题无效。 3.答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清 楚. 以下公式或数据供参考: ①独立性检验临界值表 概率 K0 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

②K ?
2

n ( ad ? bc ) 2 ( a ? b )( c ? d )( a ? c )(b ? d )

;③ R ? 1 ?
2

? (y
i ?1 n i ?1

n

i

? ? yi ) 2
;

? (y

i

? y)

2

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每题只有一个正确答案. 1.某公共汽车上有 10 名乘客,沿途有 5 个车站,乘客下车的可能方式有( A. 5
10





B. 10 种

5

C.50 种

D.10 种 )

2.随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B ?n, p ? ,且 E? ? 300 , D? ? 200 , 则 p 等于( A.

2 3

B.

1 3

C. 1

D.0

3.从 2,4 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的 个 ( A.6 B.12 C.18 D.24 )
n?k



为 )

4.在某一试验中事件 A 出现的概率为 p ,则在 n 次试验中 A 出现 k 次的概率为( A . 1- p
k

B. ?1 ? p ? p
k

n?k

C. 1- ?1 ? p ?

k

D. C n ?1 ? p ? p
k k

5.从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、 乙 两 名 志 愿 者 不 能 从 事 翻 译 工 作 , 则 选 派 方 案 共 有 ( ) A.96 种 B.180 种 C.240 种 D.280 种 6.在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法的种数是 ( ) A. C 6 C 94
1 2

B.C 6 C 99

1

2

C.C 100 -C 94 1 3 回 归 2 5 程

3

3

D.A 100 -A 94 3 7 为

3

3

7.已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 y 1 则 y 与 x 的 线 ( ) A.点 ?2,2 ? B.点 ?1.5,0 ?





? y

=bx+a





C.点 ?1,2 ?

D.点 ?1.5,4 ?

8.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件 A: “甲骰子的点数大于 4” ;事件 B: “甲、乙两骰子的点 数 之 和 等 于 7 ” , 则 的 值 等 于 P ( B | A) ( A.
1 3

) B.
1 18

C.

1 6

D.

1 9

9.设函数 f ( x) ? ? x ? 2, x ? [?5, 5] .若从区间 [ ?5, 5] 内随机选取一个实数 x0 ,则所选取的实 数 x0 满足 f ( x0 ) ? 0 的概率为 ( ) A. 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 ( )

?? ?1 0 ? ?? 10 10. 矩阵 A ? ? 向量 ? ? ? 1 ? , A ? ? 则 ?, ? ? ?0 2? ?2?
A. ?

?1 ? 10 ? ?2 ?

B. ?

?1 ? 11 ? ?2 ?

? 20 ? C. ? ? ? 60 ?

? 11 ? D. ? ? ? 22 ?

11.给出以下四个说法: ①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每间隔 20 分钟抽取一件产品进行某项指标的检 测 , 这样的抽样是分层抽样; ②在刻画回归模型的拟合效果时,相关指数 R 的值越大,说明拟合的效果越好;
2

? ? ③在回归直线方程 y ? 0.2 x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 平均增
加 0.2 个单位;

④对分类变量 X 与 Y ,若它们的随机变量 K 2 的观测值 k 越小,则判断“ X 与 Y 有关系” 的把握程度越大. 其中正确的说法是 A.①④ B.②④ C.①③ D.②③ ( )

12. 将一颗骰子抛掷两次, 所得向上点数分别为 m , n , 则函数 y ? 上 ( A. 为 ) 增 函 数 的

2 3

mx 3 ? nx ? 1 在 ?1 , ? ? ?
概 率 是

1 2
4

B.

5 6

C.

3 4

D.

2 3

二、填空题:每小题 4 分,共 16 分. 13. ( x ? 2) 展开式中含 x 项的系数等于
2



14. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2, ? ) , P (? ? 4) ? 0.4 ,则 P (? ≤ 0) ? 15. 将7个不同的小球全部放入编号为2 和3 的两个小盒子里, 使得每个盒子里 的球的个数不小于盒子的编号, 则不同的放球方法共有____________ 种(用 数字作答) . 16.如图, A1 , A2 ,? , Am ?1 ? m ? 2 ? 为区间 ? 0,1? 上的 m 等分点,直线 x ? 0 ,

x ? 1 , y ? 0 和曲线 y ? e x 所围成的区域为 ?1 ,图中 m 个矩形构成的阴影区
域为 ? 2 ,在 ?1 中任取一点,则该点取自 ? 2 的概率等于 ________ .

三、解答题:本大题共 6 小题,其中第 22 题 14 分,其他每题 12 分,共 74 分。 17. 已知矩阵 M ? ?

?4 ?2

?3 ? ? ?1 ?

(1)求逆矩阵 M ?1 ; (2) 求矩阵 M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量.

18. 某广场上有 4 盏装饰灯, 晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯, 每盏灯出现红灯的概率 都是

2 3

,出现绿灯的概率都是

1 3

.记这 4 盏灯中出现红灯的数量为 ? ,当这排装饰灯闪

烁一次时: (1)求 ? ? 2 时的概率; (2)求 ? 的数学期望.

19. 口袋中有大小、质地均相同的 7 个球,3 个红球,4 个黑球,现在从中任取 3 个球。 (1)求取出的球颜色相同的概率; (2)若取出的红球数设为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。

20. 工商部门对甲、 乙两家食品加工企业的产品进行深入检查后, 决定对甲企业的 5 种产品 和乙企业的 3 种产品做进一步的检验.检验员从以上 8 种产品中每次抽取一种逐一不重复地 进行化验检验. (1)求前 3 次检验的产品中至少 1 种是乙企业的产品的概率; (2)记检验到第一种甲企业的产品时所检验的产品种数共为 X, X 的分布列和数学期望. 求

21. 今年十一黄金周, 记者通过随机询问某景区 110 名游客对景区的服务是否满意, 得到如 下的列联表:性别与对景区的服务是否满意 单位:名

男 满意 不满意 总计 50 10 60

女 30 20 50

总计 80 30 110

(1) 从这 50 名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样, 抽取一个容量为 5 的样本, 问样本中满意与不满意的女游客各有多少名? (2)从(1)中的 5 名女游客样本中随机选取两名作深度访谈,求选到满意与不满意的女游 客各一名的概率; (3)根据以上列联表,问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关. (提示:可能需要用到的公式或数据可参考试卷第 1 页)

22. 规定 Axm ? x( x ? 1)? ( x ? m ? 1) ,其中 x ? R , m 为正整数,且 Ax0 ? 1 ,这是排列数 Anm ( n, m 是正整数,且 m ? n )的一种推广.
3 (1)求 A?15 的值;

(2)排列数的两个性质:① Anm ? nAnm??1 ,② Anm ? mAnm ?1 ? Anm?1 (其中 m, n 是正整数).是否 1 都能推广到 Axm ( x ? R ,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不

能,则说明理由; (3)确定函数 Ax3 的单调区间.

南安一中 2012~2013 学年度高二下学期期中考 数学科(理科)试卷参考答案
一、选择题: (5×12=60)

题 号 答 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A

B

D

D

C

C

D

C

C

B

D

B

二、填空题: (4×4=16) 13. 32; 14. 0.4 ; 15. 91 ; 16.

1
1

m ( e m ? 1)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 17. (12 分)解: (1) M ? 4 ? ( ?1) ? 2 ? ( ?3) ? ?4 ? 6 ? 2 ks5u

M

?1

? ? ?? ? ? ?

d M ?c M

?b ? ? ?1 M ? ? 2 ??? a ? ? ?2 ? ? M ? ? 2

3? ? 1 2? ?? ?? 2 4? ? ? ? ?1 2?

3? 2? ? 2?

??ks5u???4 分

(2)矩阵 M 的特征多项式为 f ( ? ) ? 令 f (? ) ? 0 ,解得 ?1 ? 1 , ?2 ? 2 ,

? ?4
2

3

? ?1

? ? 2 ? 3? ? 2 ,
??????? 8 分

当 ?1 ? 1 时,得 ? ? ? ? ? ,当 ?2 ? 2 时,得 ? ? ? ? ? . ?????????12 分

?? ?

?1? ?1?

?? ?

?3? ?2?

18. (12 分) (1) P (? ? 2) ? C4 ( ) ( ) ?
2 2 2

2 3

1

24 81

3

?

8 27

???????? 3 分

即 ? ? 2 时的概率为

8 27

???????? 4 分

(2)法一:依题意, ? ~ B (4, ),? E? ? 4 ?

2 3

2 3

?

8 3

????????12 分

法二: ? 的可能取值为 0,1,2,3,4

1 1 0 2 P (? ? 0) ? C4 ( ) 0 ( ) 4 ? 3 3 81 1 24 8 2 2 P (? ? 2) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? ? 3 3 81 27

1 8 1 2 P (? ? 1) ? C 4 ( )1 ( ) 3 ? 3 3 81 1 32 3 2 P (? ? 3) ? C4 ( )3 ( )1 ? 3 3 81
???????? 10 分

1 16 4 2 P (? ? 4) ? C4 ( ) 4 ( ) 0 ? 3 3 81 ? E? ? 0 ? 1 81 ? 1? 8 81 ? 2? 24 81

? 3?

32 81

? 4?

16 81

?

8 3

?ks5u 12 分

19. (12 分)解: (1)设“取出的球颜色相同”为事件 A

P ( A) ?

C33 C
3 7

?

3 C4

C

3 7

?

5 35

?

1 7

所以取出的球颜色相同的概率为 (2) ? 的可能取值为 0,1,2,3

1 7

??????4 分

P (? ? 0) ?

3 C 30 C 4

C

3 7

?

4 35 12 35

P (? ? 1) ?

1 2 C3 C 4

C

3 7

?

18 35 ? 1 35
??8 分

P (? ? 2) ?

1 C 32 C 4

C

3 7

?

P (? ? 3) ?

0 C 33C 4

C

3 7

? 的分布列为 ?

0

1

2

3

P 4
35

18 35 4 35

12 35 ? 1? 18 35

1 35
????10 分

? E? ? 0 ?

? 2?

12 35

? 3?

1 35

?

45 35

?

9 7

??12 分

20. (12 分)解: (Ⅰ) P ? 1 ?

5 8

?

4 7

?

3 6

?

23 28


23 28

∴ 前 3 次检验的产品中至少 1 种是乙企业的产品的概率为 分 (Ⅱ) X 可取值 1,2,3,4
P ( X =1) = 5 8

.

????????4



3 5 15 , P ( X =2) ? ? = 8 7 56

3 2 5 5 3 2 1 1 , P ( X =4) ? ? ? , ???ks5u????8 P ( X =3) ? ? ? = = 8 7 6 56 8 7 6 56


X 的分布列如下表:

X P

1
5 8

2
15 56

3
5 56

4
1 56

X 的数学期望为:

5 15 5 1 3 E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . ????????????????? 8 56 56 56 2
12 分

21. (12 分)解: (1)根据分层抽样可得:样本中满意的女游客为 不满意的女游客为

5 50

? 30 ? 3 名,样本中

5 50

? 20 ? 2 名。

??????????3 分

(2)设“选到满意与不满意的女游客各一名”为事件 A 所以所求概率 P ( A) ?
1 1 C3C 2

C

2 5

?

3 5



??????????7 分

(3)假设 H 0 :该景区游客性别与对景区的服务满意无关,则 k 2 应该很小。 根据题目中列联表得: k ?
2
2

110 ? (50 ? 20 ? 30 ? 10 ) 2 80 ? 30 ? 60 ? 50

?

539 72

? 7.486 ??10 分

由 P ( k ? 6.635 ) ? 0.010 可知,有 99%的把握认为:该景区游客性别与对景区的服务满意 有关。 ????????????????12 分

3 22.(14 分) 解: (1) A?15 ? ( ?15) ? ( ?16) ? ( ?17) ? ?4080 ; ?? 2 分

(2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是 ① Axm ? xAxm??1 , ② Axm ? mAxm ?1 ? Axm?1 ( x ? R,m ? N ? ) . ??6 分 1 证明:在①中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 ? x , x
0 右边 ? xAx ?1 ? x ,等式成立;

当 m ≥ 2 时,左边 ? x( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? m ? 1) 右
? x( ? ? x ?1



左边=右边 即当 m ≥ 2 时,等式成立 因此① Axm ? xAxm??1 成立 1 ?? 8 分

0 在②中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 ? Ax ? x ? 1 ? A1?1 ? 右边,等式成立;ks5u x x

当 m ≥ 2 时,左边 ? x( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? m ? 1) ? mx( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? m ? 2)
? x( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? m ? 2)[( x ? m ? 1) ? m]
m ? ( x ? 1) x ( x ? 1)( x ? 2) ?[( x ? 1) ? m ? 1] ? Ax ?1 ? 右边,

因此② Axm ? mAxm ?1 ? Axm?1 ( x ? R,m ? N ? ) 成立. ????10 分 (3) Ax ? x ( x ? 1)( x ? 2) ? x ? 3 x ? 2 x
3 3 2
3 先求导数,得 ( Ax )? ? 3 x 2 ? 6 x ? 2 .

令 3x 2 ? 6 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 因此,当 x ? ? ?∞ , ?
? ?3? 3 ? 3 ?

3? 3 3

或x?

3? 3 3



3? 3 ? ? 时,函数为增函数, 3 ? ?

当 x?? ?

? , ∞ ? 时,函数也为增函数, ? ? ?

ks5u

令 3 x 2 ? 6 x ? 2 ≤ 0 ,解得 因此,当 x ? ?

3? 3 3

≤ x≤

3? 3 3



?3 ? 3 3 ? 3 ? , ? 时,函数为减函数, 3 ? ? 3

? ?3? 3 ? ?3 ? 3 3 ? 3 ? 3? 3 ? 3 , ∞ ? ;减区间为 ? ? , ∴ 函数 Ax 的增区间为 ? ?∞ , ? ,? ? . ??14 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 3




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