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2016-2017学年河南省许昌市五校高二上学期第一次联考数学(文)试题

许昌市五校联考高二第一次考试

文科数学试卷
考试时间:120 分钟 一、选择题: (每题 5 分,计 60 分) 1. 已知集合 M ? ?s s ? 分值:150 分

? ? ? ?

sin x cos x tan x ? ? ? ? ? ,那么集合 M 的子集个数为( sin x cos x tan x ? ?
C. 8 个 ) C. a ? c ? b D. a ? b ? c D. 16 个



A. 2 个

B. 4 个

1 1 2 1 2. 设 a ? ( ) , b ? 2 5 , c ? log 2 ,则( 5 5

A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

3. 如果一个几何体的三视图如图所示,主视图与左视图是边长 为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形, (单位:cm) ,则 此几何体的侧面积是( A. 2 3 cm 2 C. 8 cm
2

) B. 4 3 cm 2

主 视 图

左视图

俯视图

D. 14 cm

2

?? x 2 ? ax ? 5, ( x ? 1) ? f ( x) ? ? a ? ( x ? 1) ?x 4. 已知函数 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是(



A. ?3 ≤ a <0

B. a ≤ ?2

C. ? 3 ≤ a ≤ ? 2 )

D. a <0

5. 函数 f ( x) ? 2 x ? loga ( x ? 1) ? 3恒过定点为( A. (0,3) B. (0,4)

C. ( ?1, )

7 2

D. (?1,4)

6.下列命题中错误的是( ) A.如果 ? ? ? ,那么 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果 ? ? ? ,那么 ? 内所有直线都垂直于平面 ? C.如果平面 ? 不垂直平面 ? ,那么 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? D.如果 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? ? 7. 阅读如下程序框图,如果输出 i ? 4 ,那么空白的判断框中应填入的条件是( )



1第

A. s ? 8

B. s ? 9

C. s ? 10

D. s ? 11

8. 一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方 体 6 个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行” ,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( A. 4π 81 B. 81-4π 81 C. 1 27 D. 7 16 )

9.在一个港口,相邻两次高潮发生的时间相距 12 h ,低潮时水深为 9m ,高潮时水深为

15m .每天潮涨潮落时,该港口水的深度 y ( m )关于时间 t ( h )的函数图象可以
近似地看成函数 y ? ? sin ??t ? ? ? ? k 的图象,其中 0 ? t ? 24 ,且 t ? 3 时涨潮到一 次高潮,则该函数的解析式可以是( A. y ? 3sin C. y ? 3sin 10.已知 ) B. y ? ?3sin D. y ? 3cos

?

?
12

6

t ? 12 t ? 12

?

?

6

t ? 12 t ? 12

cos ? cos ? ? 3 ,则 的值为( 1 ? sin ? sin ? ? 1

12



A.

3 3

B. ?

3 3

C. 3

D. ? 3

11.已知正四面体 ABCD 的表面积为 S,其四个面的中心分别为 E、F、G、H,设四面体 EFGH 的表面积为 T,则 等于( )

A.

B.
2 2

C.

D.

12.已知 AB 是圆 C : ( x ?1) ? y ? 1 的直径,点 P 为直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点,则

??? ? ??? ? PA ? PB 的最小值是(
A. 2 ? 1

) C. 0 D. 1

B. 2

二、填空题: (每题 5 分,计 20 分) 13.化简 sin(x ? 60?) ? 2 sin(x ? 60?) ? 3 cos( 120? ? x) 的结果是 .

14.已知两条直线 l1 : ? a ?1? x ? 2 y ?1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 3 ? 0 平行,则 a 等于_________. 15.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( x ? R ) ,且
页 2第

A ? 0, ? ? 0,?? ? ? ? 0 .若 f ( x) 的部分图象如下,
且与 y 轴交点 M (0,?

2 ) ,则 ? ? ? ? 2

1 ? 16.对函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1 ( x ? R) ,有下列说法: 2 6

① f ( x) 的周期为 4? ,值域为 [ ?3,1] ;
? ③ f ( x) 的图象关于点 (? , 0) 对称;
3

② f ( x) 的图象关于直线 x ? ④ f ( x) 在 (?? ,

2? 对称; 3

2? ) 上单调递增; 3

⑤将 f ( x) 的图象向左平移

? 1 个单位,即得到函数 y ? 2cos x ? 1 的图象. 3 2

其中正确的是_______.(填上所有正确说法的序号). 三、解答题: (共 6 题,计 70 分) 17.(本题满分 10 分) 已知平面向量 a ? ?1, x ? , b ? ? 2x ? 3, ?x ?? x ? R? . (1)若 a / / b ,求 a ? b ;

?

?

?

?

? ?

(2)若 a 与 b 夹角为锐角,求 x 的取值范围.

?

?

18.(本题满分 12 分) (1)已知 cos ? ?? ?

?

? ? ?? 1 ? ? ,且 ? ? ? ,求 cos ? ; 6 2 6? 3
5 5
, cos ? ?
10 10

(2)已知 ? , ? 都是锐角,且 cos ? ? 19.(本小题满分 12 分)

求? ? ?

某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段 ?40,50? ,

?50,60? ?, [80, 90) , ?90,100? ,然后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及 60 分以上为及 格)和平均分; (3)把从 [80, 90) 分数段选取的最高分的两人组成 B 组, [90, 100] 分数段的学生组成 C 组,现从 B,C 两组中选两人参加科普知识竞 赛,求这两个学生都来自 C 组的概率.
页 3第

20.(本小题满分 12 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F 是 BC 的中 点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如

图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 (1) 证明: DE //平面 BCF ;

BC ?

2 2 .
(2) 证明: CF ? 平面 ABF ;

AD ?
(3) 当

2 3 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG .
A
A

G

E

D

G

E
D F C

B

F 图 4

C
B 图 5

21.(本题满分 12 分)
2 已知圆 C : x ? ? y ? 1? ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 ,且直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点. 2

(1)若 AB ? 17 ,求直线 l 的倾斜角. (2)若点 P ?1,1? 满足 2 AP ? PB ,求此时直线 l 的方程. 22.(本小题满分 12 分)

? 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 的部分图象如下图所示. 2
(1)求函数 f ( x) 的解析式;

? (2)当 x0 ? (0, ) , f ( x0 ) ? 3 ,若 g ( x) ? 1 ? 2cos 2 x , 求 g ( x0 ) 的值; 2
? ?? (3)若 h ? x ? ? 1 ? 2cos 2 x ? a, 且方程 f ( x) ? h( x) ? 0 在 ? 0, ? 上有解,求实数 a 的取值 ? 2?
页 4第

范围.



5第

数学答案(文科)

一.选择题 1—5 BACCB 二. 填空题 13. 0 14.

6---10

BBCAB 15.

11---12
? 5? 16

DD 16. ①②④

2 或 ?1

三.解答题 17. 解:(1) 2 或 2 5 ; (2) ? ?1,0? ? ? 0,3? 18.(本题满分 12 分) 解:(1)?

?
6

?? ?

?
2

, ?

?
6

?? ?

?
6

?

2? , 3

?? 2 2 ?? 1 ? ? , ? cos?? ? ? ? ,? sin?? ? ? ? 6? 3 6? 3 ? ?
? ?? ? ? cos ? ? cos?? ? ? ? 6 6? ?

?? ? ?? ? 3?2 2 ? ? ; ? cos?? ? ? cos ? sin?? ? ? sin ? 6 6 6 6 6 ? ? ? ?
(2)??,? 是锐角,且 cos ? ?

5 10 , cos ? ? , 5 10

? sin? ?

2 5 3 10 , sin ? ? , 10 5

?cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
? 5 10 2 5 3 10 2 , ? ? ? ?? 5 10 5 10 2
3? . 4

??,? 是锐角, 0 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ? ?
19.(本题满分 12 分)



6第

(3) [90, 100] 分数段的学生人数为: 0.005 ?10 ? 60 ? 3 人,即 C 组只有 3 人;把从 B 组抽取 的 2 人记为 b1 、 b2 ; C 组的 3 人记为 c1 、 c2 、 c3 ,则从 B、C 两组的 5 人中抽选 2 人去参加 竞赛的基本事件有: (b1,b2) , (b1,c1) , (b1,c2) , (b1,c3) ,(b2,c1) ,(b2,c2) ,(b2,c3) ,( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共 10 种.设选中的 2 人都来 C 组的事件为 x ,则 x 包含的基本事件有( c1,c2), ( c1, c3), ( c2,c3)共 3 种. 因此 P( x ) ? 3 . 故选中的 2 人都来自 C 组的概率为 3 ??????12 分
10
10

20. (1)

?

AD AE ? DB EC ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中

也成立,? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF ,
BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ; ………………… 6 分

(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①,
BC ? 2 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ②

BF ? CF ?

1 2 . ? 在三棱锥

A ? BCF 中,

? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? 3 2 ? 3 324
页 7第

21、 (本题满分 12 分) (1)由圆 C : x 2 ? ? y ? 1? ? 5 ,得圆的半径 r ? 5 ,又 AB ? 17 ,
2

故 弦 心 距 d ? r2 ? (

AB 2

)2 ?

0 ?1?1? m 3 .再由点到直线的距离公式可得 d ? ,∴ 2 m2 ? 1

3 0 ?1?1? m ,解得 m ? ? 3 .即直线 l 的斜率等于 ? 3 , ? 2 m2 ? 1
故直线 l 的倾斜角等于

??? ? ??? ? (2)设 A? x1, mx1 ? m ? 1? , B ? x2 , mx2 ? m ? 1? ,由题意 2 AP ? PB 可得

? 2? 或 3 3

2?1 ? x1, ?mx1 ? m? ? ? x2 ? 1, mx2 ? m? , ∴ 2 ? 2x1 ? x2 ? 1 , 即 2 x1 ? x2 ? 3 . ① 再 把 直 线 方 程

y ? 1 ? m? x ? 1? 代入圆 C : x 2 ? ? y ? 1? ? 5 ,化简可得
2

?1 ? m ? x
2

2

? 2m 2 x ? m 2 ? 5 ? 0 ,

2m 2 由根与系数关系可得 x1 ? x2 ? 2 .②, m ?1

由①②解得 x1 ?

? m2 +3 1 ? 2m ? m2 ? m2 +3 A ,故点 的坐标为 ? 2 , ?. m2 ? 1 m2 ? 1 ? ? m ?1

把点 A 的坐标代入圆 C 的方程可得 m2 ? 1 ,即 m ? ?1 , 故直线 l 的方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 . 22.(1)由图知 A=2 , (解法只要合理,均可给分)
T 5 ? ? 2? = ? ? = ,T=? = ,? =2 , 4 12 6 4 ?

? ? ?? ? ? ? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? ,? f ? ? ? 2,? 2 ? 2sin ? 2 ? +? ?, ?= , 6 ?6? ? ? 6
?? ? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ; 6? ?
?? ? ? (2) f ? x0 ? ? 2sin ? ? 2 x0 ? ? ? 3, x0 ? 或 ,
? 6? 12 4

? ?? ? g ? x 0 ? =g ? ? =1+2cos =1+ 3或1+ 2 ; 6 ? 12 ?
?? ? ?? (3) 2sin ? ? 2 x ? ? ? 1 ? 2 cos 2 x ? a ? 0在 ?0, ? 上有解,
? 6? ? 2?

?? ? 等价于函数y=a和y=2sin ? 2 x+ ? ? 1 ? 2cos 2 x的图象有交点 6? ?
页 8第

,

?? ? ?? ? ? y=2sin ? 2 x + ? ? 1 ? 2 cos 2 x =2 ? sin 2 x cos + cos 2 x sin ? ? 1 ? 2 cos 2 x 6? 6 6? ? ?

?? ? = 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1=2sin ? 2 x ? ? ? 1 , 6? ?

? ? ? 5? ? ? ? 1 ? ? ?? ? x ? ?0, ? , 2 x ? ? ?? sin(2 x ? ) ? ?? ,, 1 y ? ? ?2,1? , ?, 2 6 6 , 6 6 ? 2 ? ? ? ? ? ?
? a ? ? ?2,1? .



9第


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